Расчет трехфазных цепей с симметричной нагрузкой

Исходными данными являются:

— схема трехфазной цепи,.

— фазные ЭДС генератора,.

— сопротивления фаз нагрузки.

Искомыми величинами являются токи.

Рис. 9.9.

1. Обмотки генератора и сопротивления нагрузки соединены в звездy, как показано нa рис. 9.9 (без нулевого провода).

По условию:

Заданные фазные ЭДС генератора в комплексной форме можно записать так.

если, то.

.

Напряжение между нейтральными точками нагрузки и генератора находим по методу двух узлов.

Так как для симметричной нагрузки и, то, учитывая соотношение (9.2), найдем.

Вывод, который необходимо запомнить: у симметричной нагрузки, соединенной звездой, потенциал нейтральной точки равен потенциалу нейтральной точки генератора. Отсюда следует, что эти точки можно соединить между собой проводником и тогда становится ясным, что =, =, = и токи в фазах нагрузки будут.

Из схемы очевидно, что фазный ток нагрузки является линейным током и он же есть ток в фазе генератора.

Покажем, что напряжение между любыми двумя линейными проводами, называемое — линейным напряжением, в раз больше фазного напряжения, т. е. .

Для этого найдем, например, разность комплексных потенциалов точек, А и В.

Таким образом, линейное напряжение в раз больше фазного и на 30° опережает его. Аналогично можно.

Рис. 9.10.

получить, что линейное напряжение опережает фазное напряжение на 30° и в раз больше его и линейное напряжение опережает фазное напряжение на 30° u в раз больше, его. Приведенные соотношения проще всего запомнить с помощью построения топографической диаграммы для фазных и линейных напряжений, приведенной на рис. 9.10. Векторы фазных напряжений, и этой диаграммы относятся ках к фазным напряжениям генератора, так и к фазным напряжениям нагрузки, т. е. топографические диаграммы фазных напряжений генератора и нагрузки совпадают. Векторная диаграмма токов для схемы рис. 9.9 показана на рис. 9.10 пунктирными линиями.

Следует отметить, что расчет токов и напряжений на отдельных участках трехфазной цепи с симметричной нагрузкой можно и нужно проводить на одну фазу, например, на фазу А, тогда соответствующие величины в фазе В будут отличаться только аргументом (углом) величиной -120°, а в фазе С. — аргументом величиной +120°.

Рис. 9.11.

Решение Так как точки 0 и 0' имеют одинаковые потенциалы, то для фазы, А =.

Принимаем.

==220 В, тогда .

Токи в фазах В и С отличаются от тока только своими аргументами, т. е.

Рис. 9.12.

Построение векторно-топографической диаграммы проведем в следующей последовательности. Отложим по действительной оси вектор фазного напряжения фазы, А генератора .

Затем в выбранном масштабе для напряжения под углами —120° и +120° по отношению к этому вектору из точки 0, потенциал которой принят равным нулю, отложим соответственно векторы и, как показано на рис. 9. I 2. Далее под углом —45°по отношению к вектору откладываем в маштабе для тока вектор тока Векторы токов и строим соответственно, под углами —120° и +120° по отношению к вектору тока. Затем для каждой из фаз нагрузки определяем комплексные потенциалы точек 1, 2 и 3 по отношеную к потенциалу точки 0', равному так-же нулю:

Найденные комплексные потенциалы откладываем от точки О' по направлениям соответствующих токов в масштабе для напряжения.

Далее определяем потенциалы точек А, В, С по отношению к потенциалу точки О':

Отметим, что напряжения на индуктивностях нагрузки можно было бы найти графически, используя соотношения:

; ;

При этом для получения. напряжения надо на диаграмме соединить точки А и 1 прямой и указать направление этой прямой к первому индексу, т. е. к точке А. Аналогично. получают напряжения ;

2. Обмотки генератора и сопротивления нагрузки соединены в треугольник, как показано на рис. 9.13.

Из схемы рис .9.13 непосредственно следует, что фазные напряжения генератора, именуемые теперь как ,.

Рис. 9.13.

линейные напряжения между соответствующими парами проводов и фазные напряжения нагрузки, - соответственно равны друг другу. Другими словами, при соединений треугольником линейные напряжения равны соответствующим фазным напряжениям. Поэтому фазные токи нагрузки определяются через заданные фазные ЭДС и сопротивления нагрузки по соотношениям:

Линейные токи, определяются через фазные по первому закону Кирхгофа:

,.

Покажем, что при симметричной нагрузке линейный ток в раз больше фазного,.

т. е.

Таким образом, линейный ток в раз больше фазного и на 30° отстает от него.

Рис. 9.14.

Аналогично можно получить, что линейный ток или отстает соответственно от фазного тока или и в раз больше последнего.

Рис. 9.15.

Эти соотношения проще запомнить, если построить векторно-топографическую диаграмму, показанную на рис 9.14. Следует отметить, что фазные токи генератора, если их положительное направление выбрать совпадающим с положительным направлением ЭДС, будут равны фазным тикам нагрузки одноименных фаз.

Пример 9.2. В цепи рис. 9.15 определить фазные и линейные токи, если r =25 Ом, С = 100 мкФ.

и e_A(f)=141sin (400е+30°) В.

Решение.

Запишем действующее значение ЭДС фазы А генератора в комплексной форме.

В. Вычислим емкостное сопротивление.

Ом.

Так как, то.

A.

Ток будет отставать от тока на 120^й, а ток будет опережать ток на 120°, поэтому.

A.

A.

Линейные токи найдем на основании первого закона Кирхгофа:

По результатам вычислений построена векторно-топографическая диаграмма, показанная на рис. 9.16.

3. Обмотки генератора соединены в звезду, а сопротивления нагрузки соединены в треугольник, 'как показано на рис. 9.17. .

Рис. 9.16 Рис. 9.17

Если принять, что фазная ЭДС фазы А генератора имеет нулевую начальную.

то.

Фазные токи в фазах нагрузки найдем .по закону Ома:

Линейные токи найдем по первому закону Кирхгофа:

Найденные величины иллюстрируются векторно-топографической диаграммой, приведенной на рис. 9.18, где ось вещественных чисел направлена по вертикали.

Рис. 9.18 Рис. 9.19

Пример 9.3. В цепи рис. 9.19 определить фазные и линейные токи при Х_L=22 Ом и фазном напряжении генератора .

Решение.

Определяем линейное напряжение генератора равное напряжению фазы АВ нагрузки.

Вычисляем ток фазе AB нагрузки.

Другие фазные токи можно просто определить по току, изменив соответствующим образом его аргумент, т. е.

Линейные токи выражаем через соответствующие фазные токи по соотношениям:

Векторнотопографическую диаграмму найденных величин можно изобразить как показано на рис. 9.20.

Рис. 9.20 Рис. 9.21

4. Обмотки генератора соединены в треугольник; а сопротивления нагрузки соединены в звезду, как показано на рис. 9.21.

Так как фазное напряжение нагрузки в раз меньше соответствующего линейного и отстает от последнего на 30°, то.

; ;

Поэтому.

Здесь — начальная фаза фазного напряжения фазы АВ генератора.

Фазные токи в фазах генератора можно найти на основании первого закона Кирхгофа. Для отыскания тока I_АВ запишем уравнения Кирхгофа для узлов, А и В:

Вычитая из первого уравнения второе, получим.

или.

Так как для симметричного режима, то, откуда.

Поступая аналогично для других пар узлов, найдем.

< :

Рис. 9.22.

Найденные величины иллюстрируются векторно-топографической диаграммой, приведенной на рис. 9.22.

Пример 9.4. Для цепи рис. 9.23 найти токи и построить векторно-топографпчеокую диаграмму, если фазное напряжение генератора U_AB =220 В, r =3 Ом, Х_С=4 Ом.

Рис. 9.23.

Решение По линейному напряжению находим фазное на нагрузке.

В.

Примем, что В. Тогда.

А А.

Фазный ток генератора в фазе АВ найдем из соотношения.

А.

Тогда А.

А Для построения топографической диаграммы напряжений вычислим напряжения на отдельных участках, приняв.

В В.

В В.

В.

В.

Вычисленные напряжения изображаем на комплексной плоскости, как показано на рис. 9.24.

Рис. 9.24 Рис. 9.25.

Напряжения, и фазные напряжения генератора, найдены графически (без вычислений). Векторная диаграмма токов совмещена с диаграммой напряжений.

5. Смешанное соединение сопротивлений нагрузки. В случае смешанного соединения сопротивлений нагрузки путем преобразований, т. е. замены треугольника на эквивалентную звезду (или наоборот) с последующим объединением элементов как при последовательном так и при параллельном соединении, упрощают схему. Для упрощенной схемы рассчитывают токи и напряжения эквивалентных участков; от этих токов и напряжений поэтапно с помощью — законов Кирхгофа находятся истинные значения токов и напряжений в исходной схеме. Сказанное поясним примером.

Пример 9.5. Для схемы рис. 9.25 рассчитать токи и напряжения и построить векторнотопографнческую диаграмму, если U_AB=220 В, r = 9 Ом, Х_L=3 Ом, Х_С =1,5 Ом.

Решение Можно выбрать решение по этапам.

1-й этап. Преобразуем треугольник сопротивлений r в эквивалентную звезду, сопротивления которой обозначим через r_Э (см. рис.9.26.):

Нейтральную точку эквивалентной звезды 0″ можно соединить 'с точкой 0', так как эти точки имеют равные потенциалы.

Рис. 9.26 Рис. 9.27

Поэтому сопротивления r_Э и Х_L одноименных фаз схемы рис. 9.26 оказываются соединенными параллельно.

2-й этап. Заменим параллельно соединенные элементы эквивалентными последовательно соединенными, тогдп получим схему, изображенную на рис. 9.27, где.

Напряжение на каждой фазе нагрузки этой схемы в раз меньше заданного линейного напряжения, т. е.

Принимая начальную фазу напряжения нулевой, найдем токи и напряжения на участках схемы рис. 9.27:

3-й этап. Так как найденные напряжения равны соответствующим напряжениям.

, для схемы рис. 9.26, то фазные токи нагрузок этой схемы будут.

4-й этап. Наиденные токи являются истинными токами и для схемы рис. 9.25. Поэтому фазные токи в треугольнике с сопротивлениями r будут в раз меньше соответствующих линейных токов и опережающими их на 30^й:

Линейные, напряжения, они же и фазные, проще вычислить через найденные токи.

Чтобы не усложнять изображения, целесообразно векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжения изобразить на отдельных рисунках. По результатам расчета на рис. 9.28.а построена векторная диаграмма токов,.

а) б) Рис. 9.28.

а на рис. 9.28.б построена топографическая диаграмма напряжений, где векторы напряжений на емкостях имеют значения:

а линейные напряжения, и получены как разность соответствующих фазных напряжений в схеме рис. 9.27: