Модель «цена-спрос» для системы двух линейных дифференциальных уравнений

Модель «цена — спрос» для системы двух линейных дифференциальных уравнений

Моделирование динамики изменения цены и спроса посвящены работы [1] - [8]. В настоящей статье предлагается математическая модель динамики изменения цены и спроса, на основе системы двух линейных дифференциальных уравнений.

Введем обозначения:

то спрос растет по формуле.

решение этого уравнения:

Так же предположим, что цена y линейно зависит от скорости спроса x; чем выше спрос x, тем ниже скорость цены y. (рис.1) Очевидно, самая высокая цена y должна существовать при x=0; если x=0, то цена будет падать по закону.

решение этого уравнения;

Чем ниже цена, тем выше скорость спроса на товар. Если ax = 0, то x'= - by. В итоге получаем формулу:

С другой стороны, прибыль, получаемая от продажи, стимулирует увеличение цены. Чем больше спрос, тем больше скорость цены. Если.

Рис. 1. Модель «Цена — спрос»

Итак, получили систему уравнений модели «цена — спрос».

Если в этой системе мы избавимся от переменной x, то для переменной y, получим дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Это дифференциальное уравнение колебания рыночных цен, которое получено в работе [6], исходя из некоторых наблюдений Адама Смита. Решением этого уравнения в случае, когда a=c является периодическое затухание, а если a< c, то получим затухающую функцию.

Если спрос или цена выведены из состояния равновесия, то происходят периодические колебания спроса и цены, которые по прошествии какого-то времени вновь и вновь возвращают их в начальное состояние. Колебания спроса и цена имеют один и тот же период. (рис. 2).

Рис. 2. Экономический цикл колебания рыночной цены

Таковы колебания, присущие каждой рыночной экономике. Сами по себе они вряд ли представляют собой нечто привлекательное: конечно, было бы лучше, если бы экономика постоянно и равномерно росла умеренным (не слишком быстрым) темпом. Но, к сожалению, в рыночной экономике нет другого способа приводить совокупный спрос и совокупное предложение в соответствие друг с другом, кроме экономических спадов.

• 1. Автономов В. С., Голдстин Э. Экономика для школьников:[ Эксперим. учеб. для учащихся 9 — 11 кл.] М.: Эконом, 1995. 162 с.
• 2. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 160 с.
• 3. Ахтямов А. М. Математические модели экономических процессов. Уфа.: РИЦ БашГУ, 2009, с. 53 — 55.
• 4. Ахтямов А. М. Математика для социологов и экономистов. М.: Физматлит, 2004. с. 382 — 384.
• 5. Колбина Л. Новая модель оптового рынка // Эксперт — Урал. 2005. № 3, с. 12 — 14.
• 6. Суфьянова И. М. Колебание рыночных цен // Фундаментальная математика и ее приложение в естествознании: тезисы докладов VII Международной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. Уфа: РИЦ БашГУ, 2014. с. 321.
• 7. Шилова А. А. Экономическая динамика: методология исследования // NAUKA-RASTUDENT.RU. — 2014. — № 3 / [Электронный ресурс] - Режим доступа. — URL: http://nauka-rastudent.ru/3/1244/
• 8. Шикин Е. В., Чхартшивили А. Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. Пособие. 2 — е изд., испр. М.: Дело, 2002. 440 с. 2014 © Суфьянова И. М., Ахтямов А.М.