Дифференциальное уравнение многочленов Чебышева

Многочлены Чебышева возникают как решения некоторых типов дифференциальных уравнений и при разложении функций в ряды.

Многочлен является решением дифференциального уравнения.

.

Уравнение называется уравнением Чебышева. Заменив аргумент по формуле, получим уравнение.

Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим квадратурную формулу.

(9).

где B_i — постоянные коэффициенты.

Чебышев предложил выбрать абсциссы t_i таким образом, чтобы:

• 1) коэффициенты B_i были равны между собой;
• 2) квадратурная формула (9) являлась точной для всех полиномов степени n включительно.

Найдем коэффициенты B_i и узлы t_i, полагая B₁ = B₂ = K =B_n = B. Возьмем функцию f (t) =1, будем иметь:

Следовательно, квадратурная формула Чебышева имеет вид.

(10).

Подставляя эти функции в формулу (10), получим систему уравнений:

(11).

из которой могут быть определены неизвестные t_i (i =1, 2, K, n). Ре;

шение системы (11) сводится к нахождению корней алгебраического уравнения степени n. В табл. 2 приведены значения корней t_i систе;

мы (11).

Чтобы применить квадратурную формулу Чебышева к интегралу вида:

следует преобразовать его с помощью подстановки.

переводящей отрезок a? x? b в отрезок ?1 ?t ?1. Применяя к пре;

образованному интегралу формулу Чебышева (10), будем иметь:

Оценка ошибки интерполяции полиномами, с использованием в качестве узлов интерполяции корней многочлена Чебышева:

де .

Сравнение погрешностей рассматриваемых формул

К примеру вычислим интеграл.

По формуле средних прямоугольников.

(6).

Погрешность формулы трапеций оценивается числом.

I_трап=0.784 981 (погрешность около 0,054).

По формуле Симпсона.

Поскольку интегрирование с помощью квадратурной формул Чебышева относится к методам с наивысшей алгебраической степенью точности, то результат, полученное значение интеграла при расчете данной формулы, при n=5, равно I_{кв.Чебыш}=0.785 352 (отсюда следует что погрешность составляет 0,46).

Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.