Разложение двух-фотонного сжатого вакуумного состояния и суперпозиции вакуума и единичного фотона по перемещенным фотонным состояниям, метод извлечения перемещенных фотонных состояний как способ генерировать новые состояния и использование данного метода для реализации элементарных квантовых гейтов

В разделе 2.2 был представлен математический метод разложения перемещенных фотонных состояний с произвольным параметром перемещения в терминах перемещенных фотонных состояний с отличным параметром перемещения. Коротко говоря, решение данной проблемы заключено в нахождении скалярного произведения перемещенных состояний с различными амплитудами перемещения [150].

. (3.3.1).

Данное скалярное произведение выражается через специальные функции [150], что является существенным затруднением в понимании и применении данных выражений к практическим вычислениям в квантовой оптике. Метод вывода представления, предложенный в разделе 2.2, является более наглядным и приспособленным к реалистическим вычислениям. Стоит также отметить, что свойства перемещенных состояний подробно изучались в работах [151,152].

В частности, представление было получено для СКС состояний (2.2.38−2.2.40). Естественно, что данный подход не ограничивается только СКС состояниями. Интересно получить представления и других неклассических состояний света, которые используются в квантовой обработке информации. Более того, метод извлечения перемещенных фотонных состояний, о котором уже говорилось в разделе 2.3, может стать новым мощным способом как для генерации новых неклассических состояний света, так и для реализации обусловленных квантовых протоколов [153]. Рассмотрим данный подхода на примере состояния двух-модового сжатого вакуума (3.1.52).

Двух-модовое сжатое вакуумное состояние (3.1.52) генерируется посредством применения двух-модового оператора сжатия с параметром сжатия. Известное выражение двух-модового сжатого вакуума (3.1.52) представлено в терминах фотонных состояний. По данной причине данное выражение можно назвать представлением в рамках математического подхода, развитого в разделе 2.2, поскольку. Найдем представление двух-модового сжатого состояния с произвольным значением амплитуды перемещения. Представим двух-модовое сжатое состояние (3.1.52) в виде матричного произведения.

(3.3.2).

где бесконечные вектор столбцы имеют вид.

(3.3.3).

(3.3.4).

где символ означает транспонирование матрицы.

Вектор столбец может быть записан как матричное произведение унитарной матрицы (2.2.23) на бесконечный вектор столбец перемещенных фотонных состояний (2.2.23), что позволяет представить матричное произведение в следующем виде.

. (3.3.5).

Введем бесконечный вектор-столбец новых состояний как.

(3.3.6).

что позволяет переписать двух-модовое сжатое состояние (3.3.2) как.

. (3.3.7).

Волновое не нормированное состояние является бесконечной суперпозицией фотонных состояний.

. (3.3.8).

Волновые амплитуды суперпозиции (3.3.8) формируются из элементов столбца унитарной матрицы (2.2.23) посредством дополнительного умножения на множитель Вклад дополнительного множителя проистекает из действия оператора двух-модового сжатия. Можно доказать, что волновая амплитуда для произвольного значения может быть разложена в конечный ряд по следующему набору базисных функций.

(3.3.9).

где. Набор базисных функций состоит из члена. Математическое доказательство данного факта является достаточно сложной задачей и здесь не приводится. Стоит только отметить, что коэффициенты в формуле (3.3.8) являются функцией амплитуды, в то время как аргумент базисных функций (3.3.9) определяется выражением. Амплитуды разложения волновой амплитуды по базисным функциям находятся из решения матричных уравнений, которые здесь не приводятся в виду их сложности и громоздкости. Можно показать, что разложение по базисным функциям (3.3.9) для произвольного значения имеет вид.

(3.3.10).

где амплитуды разложения определяются как.

(3.3.11).

(3.3.12).

(3.3.13).

(3.3.14).

(3.3.15).

. (3.3.16).

Рассмотрим следующую матрицу.

(3.3.17).

которая поясняет суть проделанных преобразований. Первый бесконечный столбец —- это столбец фотонных состояний от до. Последний бесконечный столбец с элементами, где меняется от до, описывает состояние (3.3.8). Первая строка матрицы (3.3.17) —- это строка из амплитуд разложения (3.3.11−3.3.16), где меняется от до. Базисные функции, по которым происходит разложение элементов последнего столбца, расположены в последующих строках матрицы. Можно доказать, что амплитуды разложения для каждого набора базисных функций одинаковы. Также базисные функции сгруппированы по столбцам, каждый из которых соответствует определенной амплитуде разложения. Можно заметить, что столбцы из элементов, где индекс соответствует номеру столбца, а параметр меняется от до, формируют перемещенное фотонное состояние с амплитудой перемещения с учетом нормировочного множителя. Действительно, данное равенство следует из сравнения столбцов матрицы (3.3.177) со строками матрицы (2.2.24). Суммируя сказанное про матрицу (3.3.17), отметим только, что состояние с произвольным значением параметра может быть представлено как бесконечная суперпозиция фотонных состояний с волновыми амплитудами (последний столбец матрицы) или как конечная суперпозиция перемещенных фотонных состояний с амплитудами разложения (последняя строка матрицы).

Таким образом, состояние (3.3.8) может быть представлено как.

(3.3.18).

где волновые амплитуды имеют вид.

(3.3.19).

(3.3.20).

(3.3.21).

(3.3.22).

(3.3.23).

(3.3.24).

где.

. (3.3.25).

Рассмотрим конечную сумму фотонных состояний. Можно заметить, что величины (3.3.19−3.3.24) являются коэффициентами разложения степени оператора.

. (3.3.26).

Отметим, что имеет место следующее соотношение.

. (3.3.27).

Тогда состояние (3.3.18) может быть окончательно переписано как.

(3.3.28).

где параметр определяется как.

. (3.3.29).

Окончательно, состояние двух-модового сжатого вакуума (3.3.2) определяется как.

(3.3.30).

где нормированное состояние имеет вид.

(3.3.31).

и нормировочный множитель дается выражением.

. (3.3.32).

В формуле (3.3.31) использован оператор рождения перемещенного фотонного состояния.

(3.3.33).

с амплитудой перемещения. Соответственно вводится оператор уничтожения перемещенного фотонного состояния с той же самой амплитудой.

. (3.3.34).

По аналогии с оператором числа фотонов вводим оператор числа перемещенных фотонов.

. (3.3.35).

Действительно, по аналогии с (2.2.3, 2.2.4) имеем.

(3.3.36).

(3.3.37).

. (3.3.38).

В случае состояния двух-модового сжатого вакуума (3.3.30) оператор рождения перемещенного фотонного состояния действует на вакуумное состояние. Поэтому и состояния (3.3.31) преобразуются к соответствующей суперпозиции. Выражение (3.3.30) является представлением двух-модового сжатого вакуума и применимо к произвольному значению параметра перемещения. Данное состояние в представлении зависит от двух параметров и. Интересно только отметить, что амплитуды перемещения и в коррелированных модах отличаются друг от друга. В силу симметрии состояния двух-модового сжатого вакуума состояния в модах (3.3.30) могут быть поменяться местами. Рассмотрим случай. Тогда параметр (3.3.29) становится равным нулю, что ведет к тому, что выражение (3.3.30) преобразуется к общеизвестному виду (3.3.2) [66]. В случае если параметр сжатия стремится к бесконечности, то согласно определению (3.3.29) параметр. В данном предельном случае получаем следующее не физическое ЭПР состояние [2] в представлении.

(3.3.39).

состояние, в котором вероятности нахождения состояний одинаковы для любых значений .

Вероятность обнаружить коррелированное состояние двух перемещенных фотонных состояний в состоянии двух-модовом сжатого вакуума равна.

. (3.3.40).

Зависимость распределения вероятностей перемещенных фотонных состояний в двух-модовом сжатом вакууме от для различных значений и .

Можно показать, что выполняется условие нормировки.

(3.3.41).

для любых значений и. Примеры зависимостей вероятностей от для различных значений и показаны на рисунке 3.12. Как видно из данных графиков распределение принимает максимальное значение при некотором значении. Значение величины, при котором распределение принимает максимальное значение, зависит от параметров и. Численные расчеты показывают, что увеличение значения параметра ведет к сдвигу максимального значения распределения в сторону больших значений .

Таким образом, получено представление состояния двух-модового сжатого состояния. Естественно получить представление и других возможных неклассических состояний света, что является не тривиальной задачей и может вести к значительным математическим преобразованиям. Для наших целей рассмотрим представление суперпозиционных состояний, составленных из вакуума и единичного фотона.

. (3.3.42).

Состояния являются ортогональными друг другу. Воспользовавшись формулами для разложения вакуумного состояния (2.2.25) и единичного фотона (2.2.26, 2.2.27) в ряд по перемещенным фотонным состояниям, для суперпозиций имеем.

(3.3.43).

. (3.3.44).

Выражения (3.3.43. 3.3.44) представляют собой бесконечную суперпозицию перемещенных фотонных состояний. Можно показать, что выражения (3.3.43, 3.3.44) преобразуются в (3.3.42) в случае .

Функции распределения вероятностей обнаружить перемещенное фотонное состояние в суперпозициях (3.3.43, 3.3.44) определяется выражениями Зависимость распределения вероятностей перемещенных фотонных состояний в суперпозиции вакуума и единичного фотона от для различных значений амплитуды перемещения .

Зависимость распределения вероятностей перемещенных фотонных состояний в суперпозиции вакуума и единичного фотона от для различных значений амплитуды перемещения .

(3.3.45).

где функции и связаны между собой соотношениями.

. (3.3.46).

Можно показать, что данных распределений вероятностей (3.3.45) выполняется условие нормировки.

(3.3.47).

Интересно сравнить распределения и (3.3.45) для различных значений амплитуды перемещения. Графики зависимостей и от представлены на рисунках 3.13 и 3.14, соответственно. Как видно из данных зависимостей, графики вероятностей и существенно отличаются друг от друга. Но данное отличие проявляется при больших значениях амплитуды перемещения. Пики функций сдвинуты в сторону больших значений. Графики распределения и имеют два пика каждый. Один из пиков превалирует над другим. Расположение пиков зависит от функции распределения и, соответственно. Так в случае функции маленький пик расположен справа от большого пика (Рис. 3.13), в то время как местоположение данных пиков меняется на противоположное в случае рассмотрения функции (Рис. 3.14). Поведение зависимостей и становится отличным в случае маленьких значений. Маленький пик уже не проявляется. Так вероятность перемещенного вакуума превалирует в распределении (Рис. 3.13(а)) в случае не больших значений. В распределении превалирует вероятность обнаружить перемещенный единичный фотон (Рис. 3.14(а)) в случае .

Использование неклассических состояний в новом виде (представление) позволяет по новому взглянуть на эти состояния и попытаться использовать из для квантово-механической обработки информации. Для построения преобразования Адамара (2.1.9) рассмотрим оптическую схему на рисунке 3.15. Состояние коррелированного двух-модового вакуума в модах и используется как вспомогательное. Входной кубит на рисунке 3.15 находится в третьей моде.

Схематическое изображение оптической схемы, которая используется для реализации прямого действия преобразования Адамара. Оптическая схема является интерферометром Маха-Цендера с пучковыми делителями и. Смешение входного кубита с вспомогательным состоянием двух-модового сжатого вакуума происходит внутри интерферометра с помощью пучковых делителей и. Выходное состояние наблюдается в моде при условии регистрации двух одновременных кликов в модах и. Вставка показывает возможную реализацию проекционного оператора на состояние единичного фотона с помощью пучкового делителя с параметрами и, соответственно.

Моды и смешиваются на пучковых делителях и, образуя интерферометр Маха-Цендера. Перед финальным смещением на пучковом делителе моды и смешиваются с модами и вспомогательного двух-модового вакуума на пучковых делителях и, соответственно. Используются пучковые делители с отличными друг от друга по величине коэффициентами пропускания и отражения. Выходное состояние генерируется в моде при условии, что во вспомогательных модах и регистрируются фотонные клики.

Рассмотрим подробно оптическую схему на рисунке 3.15. В качестве входных базисных состояний выбираются когерентные состояния с равными по модулю, но противоположными по знаку амплитудами.

(3.3.48).

(3.3.49).

где амплитуда принимает положительные значения, —- параметр сжатия вспомогательного двух-модового сжатого вакуума, и —- параметры пучкового делителя. Входные базисные состояний (3.3.48, 3.3.49) являются асимптотически ортогональными в случае увеличения амплитуды перемещения. Соответствующая произвольная суперпозиция базисных когерентных состояний определяются как.

.

(3.3.50).

где и —- амплитуды базисных состояний (3.3.48, 3.3.49) и —- нормировочный множитель суперпозиционного состояния (3.3.50). Можно считать, что нормировочный множитель равняется в силу того, что амплитуды когерентных состояний принимают большие значения, что позволяет пренебречь наложением когерентных состояний с отличными только по знаку амплитудами друг на друга. Наложение условия нормировки на волновые амплитуды позволяет уточнить значение нормировочного коэффициента. Суперпозиционные состояния (3.3.50) становятся (четной, не четной) СКС состояниями (2.2.37) в случае,. В качестве выходных базисных состояний выбираем состояния вакуума и единичного фотона.

(3.3.51).

. (3.3.52).

Тогда, в частности, выходные равновесные суперпозиционные состояния определяются как (3.3.42).

. (3.3.53).

Отметим, что используются два отличных двухмерных Гильбертовых пространства.

Реализация прямого действия преобразования Адамара основывается на представлении двух-модового сжатого вакуума (3.3.30). Рассмотрим один член данной бесконечной суперпозиции с номером.

. (3.3.54).

Очевидно, что проецирование второй моды на состояние единичного фотона порождает следующее состояние.

(3.3.55).

в случае, где оператор проецирования имеет вид.

(3.3.56).

где —- номер моды, к которой применяется оператор, а верхний индекс отвечает за проецирующее фотонное состояние. По определению (3.3.29) значение параметра соответствует значению амплитуде перемещения.

(3.3.57).

Значение вещественной амплитуды перемещения варьируется в зависимости от изменения параметра сжатия. Именно эти значения используется в выражениях (3.3.48−3.3.50). Соответственно используется представление двух-модового сжатого вакуума (3.3.30) с данной амплитудой перемещения. Стоит отметить, что волновые амплитуды состояния (3.3.30) и вероятности (3.3.40) не зависят от знака параметра, так как данные величины определяются квадратом его модуля .

Отметим, что для реализации прямого действия преобразования Адамара используются следующие пучковые делители на рисунке 3.15.

(3.3.58).

где амплитуда пропускания стремится к единице, а амплитуда отражения стремится к нулю ,.

(3.3.59).

(3.3.60).

с амплитудами пропускания и отражения.

(3.3.61).

. (3.3.62).

Используя приведенные значения параметров, можно показать, что выполняется следующая цепочка преобразований на рисунке 3.15.

(3.3.63).

Состояние (3.3.63) является результатом действия прямого действия матрицы Адамара на произвольное состояние в выходном Гильбертовом пространстве с базисными элементами (3.3.51, 3.3.52). Таким образом реализуется прямое действие матрицы Адамара из входного двухмерного пространства когерентных состояний в выходное двухмерное пространство с вакуумом и единичным фотоном в качестве базисных элементов.

. (3.3.64).

Отметим один момент. Реализация цепочки преобразований (3.3.63) возможна в силу того, волновые амплитуды коррелированных состояний в сжатом вакууме являются четными функциями по параметру (3.3.32), то есть данные волновые амплитуды не зависят от знака параметра.

. (3.3.65).

Рассмотрим частные случаи. Так в случае имеем из (3.3.63).

(3.3.66).

(3.3.67).

соответственно. Можно показать, что если данная цепочка операторов как в (3.3.63) применяется к входным базисным состояниям (3.3.48, 3.3.49), (,), то данные состояния трансформируются в равновесные суперпозиции состояний вакуума и единичного фотона.

(3.3.68).

. (3.3.69).

Рассмотрим физические основы преобразования (3.3.63). При рассмотрении преобразований (3.3.63) было принято то, что пучковые делители действуют на входные состояния как операторы перемещения. Более подробно данный вопрос обсуждался в разделе 2.3 (2.3.7). Было показано, что пучковый делитель с коэффициентом пропускания, на котором смешиваются исходное произвольное и когерентное состояния с большой амплитудой, аппроксимирует оператор перемещения для входного состояния. Данные оптические элементы используются в оптической схеме на рисунке 3.15 для того, чтобы применить операторы перемещения к обеим модам двух-модового сжатого вакуума (3.3.30). Мода —- это мода, в которой происходит извлечение перемещенного фотона с соответствующей амплитудой перемещения. Извлечение перемещенного единичного фотона в моде позволяет наблюдать как конструктивную (3.3.63, 3.3.64), так деструктивную интерференцию (3.3.66, 3.3.67) базисных элементов в моде при условии, что некоторый результат измерения зафиксирован также в моде .

Рассмотрим случай, когда в третьей моде регистрируется вакуумное состояние. Данный случай напрямую проистекает из формулы (3.3.63) в случае замены проекционных операторов.

. (3.3.70).

Соответственно, в случае из выражения (3.3.70) следует.

(3.3.71).

(3.3.72).

Случай, (,) соответствует генерации следующих равновесных.

суперпозиционных состояний вакуума и единичного фотона.

(3.3.73).

. (3.3.74).

Данное прямое преобразование с выбранным набором базисных входных (3.3.48, 3.3.49) и выходных состояний (3.3.51, 3.3.52) описывается матрицей (2.1.2).

(3.3.75).

где —- унитарное преобразование (2.1.1). Соответственно преобразование Адамара может быть получено из (3.3.75) как.

. (3.3.76).

Тем не менее, перестановка выходных базисных состояний (3.3.51, 3.3.52) позволяет рассмотреть преобразование (3.3.70) как прямое действие матрицы Адамара с перестановочным набором базисных элементов выходного Гильбертова пространства. В целом можно заключить, что извлечение не четного числа фотонов в моде, содержащей когерентные состояния, ведет к прямому действию матрицы Адамара (3.3.63−3.3.64) с выходными базисными элементами (3.3.51, 3.3.52). В тоже время извлечение четного числа фотонов из этой же моды дает возможность реализовать преобразования (3.3.70−3.3.74), которое может быть также рассмотрено как прямое действие матрицы Адамара в перестановочном базисе выходных состояний.

Рассмотрим реализацию двух-кубитовой операции controlled-Z гейт с помощью оптической схемы на рисунке 3.15.Controlled-NOT и controlled-Z гейты были упомянуты в разделе 2.1 в качестве основных универсальных блоков квантового компьютера. В оптической схеме на рисунке 3.5 квантовый входной кубит (3.3.50) является управляющим, а кубит, составленный из вакуума и единичного фотона, является управляемым. Реализация выходного состояния двух-кубитового controlled-Z гейт может быть реализована посредством извлечения перемещенного единичного фотона в моде и требует меньших оптических элементов. В частности, не требуется проекционный оператор в моде. Действительно имеет место следующая цепочка преобразований.

(3.3.77).

где использовано обозначение для амплитуды когерентного состояния и использована замена нумерации мод в отличная от нумерации мод на рисунке 3.15 таким образом, что когерентный (управляющий) кубит находится в моде, а кубит из микроскопического двухмерного пространства занимает моду. Волновые амплитуды микроскопического кубита определяются как и, соответственно. Из выражения (3.3.77) следует, что в перестановочном базисе (3.3.51, 3.3.52) наблюдается реализация controlled-Z гейта между двумя кубитами, один из которых (управляющий) макроскопический, а другой (управляемый) микроскопический. Стоит только отметить, что замена входных базисных элементов на, также позволяет выполнить controlled-Z гейт.

Рассмотрим частные случаи. Так в случае имеет место генерация следующих состояний.

(3.3.78).

. (3.3.79).

Можно показать, что данные двух-модовые состояния ортогональны друг другу и являются ортонормированными состояниями.

,. (3.3.80).

Естественно назвать состояния (3.3.78, 3.3.79) гибридными, так как данные состояния формируются кубитами из отличных Гильбертовых пространств. Можно даже сказать даже более. Данные кубиты построены из суперпозиционных состояний разной физической природы. Один кубит, взятый из двухмерного пространства когерентных состояний большой амплитуды, можно признать макроскопическим, а другой кубnт с вакуумом и единичным фотоном в качестве базисных элементов является микроскопическим.

Рассмотрим возможность реализации прямого преобразования матрицы Адамара на примере гибридных состояний (3.3.78, 3.3.79) с помощью оптической схемы на рисунке 3.15. В качестве базисных элементов выходного Гильбертова пространства выбираются гибридные состояния (3.3.78, 3.3.79).

(3.3.81).

. (3.3.82).

Тогда суперпозиции гибридных состояний имеют следующий вид.

(3.3.83).

.

(3.3.84).

Имеет место следующие преобразования с учетом используемой в (3.3.78, 3.3.79) нумерации мод.

. (3.3.85).

Данное преобразование является прямым действием матрицы Адамара из двухмерного Гильбертова пространства когерентных состояний (3.3.48, 3.3.49) в двухмерное пространство с гибридными состояниями (3.3.81, 3.3.82) в качестве базисных элементов. Данная операция реализуется посредством извлечения перемещенного фотонного состояния из вспомогательного состояния сжатого вакуума. Соответственно имеет место набор преобразований.

(3.3.86).

(3.3.87).

в случае, (,), соответственно. В случае имеет место генерация гибридных состояний (3.3.78, 3.3.79).

Таким образом, было показана возможность реализовать прямое действие матрицы Адамара в различных вариациях, включая микроскопические выходные состояния (3.3.63, 3.3.66−3.3.69, 3.3.70−3.3.74), а также гибридные состояния (3.3.78, 3.3.79). Кроме того была рассмотрена возможность выполнить двух-кубитовый controlled-Z операцию (3.3.77). Во всех рассмотренных случаях точность преобразования равна. Можно предположить, что идеальная точность может быть несколько ниже единичного значения в реальных условиях.