Множественная корреляция. 
Математические методы в психологии

Наряду с анализом связей между двумя рядами данных можно проводить анализ многомерных корреляционных связей. Наиболее простым случаем нахождения подобной зависимости является вычисление коэффициентов множественной корреляции между тремя переменными х, у и г. В соответствии с числом переменных вычисляется три коэффициента множественной корреляции. Собственно говоря, коэффициент множественной корреляции оценивает тесноту линейной связи одной переменной, например х, с двумя остальными у иг и обозначается как r_xyzy При оценке тесноты линейной связи переменной у с переменными х и г коэффициент множественной корреляции обозначается как г_{у (<�Х2}у Вычисление коэффициентов множественной корреляции базируется на коэффициентах линейной корреляции между переменными х и (у — г_лу), х и (г — г_Х2), у и (г — r_yz). Для вычисления одного из коэффициентов множественной корреляции, например r_{x (yz}y используется следующая формула (9.9):

где Гф г_Х2, г_у2 — коэффициенты линейной корреляции между парами переменных хи у, х и г, у и г. Коэффициент множественной корреляции принимает значения от 0 до 1. Значимость этого коэффициента оценивают по величине критерия t Стьюдента с числом степеней свободы k = п — 3.

Собственно говоря, формулы для вычисления коэффициентов r^jcz) и г₂(ху) аналогичны формуле (9.9) и получаются из нее перестановкой индексов.

Формула для вычисления коэффициента г_у^_Х2у

Формула для вычисления коэффициента г₂(хуу

Задача 9.4. У 10 менеджеров 15 экспертов оценивали степень выраженности следующих характеристик: тактичность, решительность и критичность по пятибалльной системе. Психолога интересует три вопроса — в какой степени тактичность (переменная х) одновременно связана с требовательностью (переменная у) и критичностью (переменная г); в какой степени требовательность одновременно связана с тактичностью и критичностью; и, наконец, в какой степени критичность одновременно связана с тактичностью и требовательностью?

Решение. Результаты исследования представим в виде табл. 9.4, в которой даны суммарные экспертные оценки по каждой характеристике. В таблице произведем сразу нужные вычисления.

Таблица 9.4

Для подсчета необходимых коэффициентов множественной корреляции используем следующие выражения:

Отсюда:

Далее:

Тогда коэффициенты линейной корреляции Пирсона таковы:

Для вычисления r_X{y_Z) подставляем полученные величины в формулу (9.9), получаем:

Для вычисления Гу^) подставляем полученные величины в формулу (9.10), получаем:

Для вычисления r_Z(_Xy) подставляем полученные величины в формулу (9.11), получаем:

Поскольку из трех коэффициентов первый, r_x^_zy оказался наименьшим по абсолютной величине, то проверим значимость только этого коэффициента по хорошо знакомой нам формуле (9.5) при к = п — 3:

По табл. 9 Приложения для критерия t Стьюдента, при к = = 10−3 = 7, находим, что.

Строим соответствующую «ось значимости»:

Полученный коэффициент множественной корреляции попал в зону значимости. Следовательно, необходимо принять гипотезу Н об отличии полученного коэффициента от нуля. Очевидно также, что остальные коэффициенты множественной корреляции также окажутся в зоне значимости. Поэтому возможна следующая интерпретация полученного результата — все три оцениваемых качества тесно взаимосвязаны. Иными словами, такие качества личности менеджера, как критичность, тактичность и требовательность выступают единым комплексом и в очень большой степени необходимы для успешности его профессиональной деятельности.

Расчет множественного коэффициента корреляции, к очень большому сожалению, не предусмотрен в анализируемых пакетах.

Для применения множественного коэффициента корреляции необходимо соблюдать следующие условия.

• 1. Сравниваемые переменные должны быть измерены в шкале интервалов или отношений.
• 2. Предполагается, что все переменные имеют нормальный закон распределения.
• 3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных должно быть одинаковым.
• 4. Для оценки уровня достоверности корреляционного отношения Пирсона следует пользоваться формулой (9.5) и таблицей критических значений для критерия t Стыодента при k = п — 3.