Зависимость распределения вероятностей перемещенных фотонных состояний в двух-модовом сжатом вакууме от для различных значений

Рассмотрим подробнее действие проекционных операторов в модах и вспомогательного двух-модового сжатого вакуума. APD детектор используется в моде, чтобы зарегистрировать единичный фотон и тем самым сгенерировать желаемый выход в моде. Амплитуда представления состояния (3.3.30) может быть выбрана любой, в частности, малой величиной в случае согласно формуле (3.3.29, 3.3.57). С физической точки зрения очевидно, что состояния и будут преобладающими в суперпозиционном состоянии (3.3.30) в случае. В частности, зависимости распределения вероятностей (3.3.40) показаны на рисунке 3.16 для различных значений. Для построения данных зависимостей менялся параметр сжатия, в то время как параметр, связанный с параметром перемещения, оставался постоянным. Как видно из данного рисунка максимальное значение зависимости смещается в сторону вакуума в случае не больших значений. И наоборот, максимальное значение смещается в сторону больших значений в случае увеличения значения параметра, как это уже наблюдалось на рисунке 3.12.

График зависимости отношений, где изменяется от до, от показан на рисунке 3.17. Из данного графика видно, что уменьшение параметра сжатия вспомогательного состояния (3.3.30) значительно увеличивает вероятность по сравнению с,. Вклад фотонных состояний с становится незначительным в случае, что ведет к незначительному отклонению точности выходного состояния от идеального единичного значения. Таким образом, уменьшение параметра позволяет успешно реализовать проекционный оператор на состояние единичного фотона в моде посредством APD на рисунке 3.15. Когда APD регистрирует клик, то это значит, что с вероятностью приближающейся к единице регистрируется именно единичный фотон в случае. Выбор значения параметра определяет также амплитуды начальных базисных когерентных состояний (3.3.48, 3.3.49), амплитуду перемещения (3.3.57) и параметры пучковых делителей (3.3.61, 3.3.61). Таким образом можно утверждать, что генерация гибридных состояний (3.3.78, 3.3.79), реализация двух-кубитовой операции controlled-Z гейта (3.3.77), а также реализация прямого действия матрицы Адамара с выходными гибридными базисными элементами (3.3.85−3.3.87) происходит с почти идеальной единичной точностью и с большой вероятностью успеха. Причина данного эффекта заключается в том, что суперпозиционные состояния с не большим количеством членов превалируют в двух-модовом сжатом вакууме. Более того реализация данных выходных состояний требует минимальное количество усилий, поскольку требуется только извлечь перемещенный единичный фотон из начального коррелированного состояния. Данные обстоятельства делают перспективным данный подход именно с извлечением одного перемещенного фотона и генерации гибридных состояний.

Помимо уже упомянутых операций с использованием только операции извлечения перемещенного единичного фотона выше была рассмотрена возможность реализации прямого действия матрицы Адамара в микроскопическом двухмерном Гильбертовом пространстве с вакуумом и единичным фотоном в качестве базисных элементов (3.3.63, 3.3.64, 3.3.70−3.3.74). Было показано, что реализация такого действия требует дополнительного измерения в одной из вспомогательных мод (в моде на рисунке 3.15). Отметим, что измерение не четного числа фотонов дает возможность реализовать прямое действие матрицы Адамара в выходном базисе (3.3.51, 3.3.52), а измерение четного числа фотонов позволяет выполнить тоже действие уже в перестановочном базисе выходных состояний. Данная операция могла бы быть реализована с помощью детектора, распознающего число приходящих фотонов. Но как было уже отмечено в Главе 2 современные технологии не позволяют производить такие детекторы числа фотонов [81]. В идеальном случае возможно наблюдение вакуумного состояния, когда применяемый APD не регистрирует наличие фотонов в измеряемой моде. Стоит только отметить, что в моде находятся когерентные состояния.

(3.3.88).

большой амплитуды, что может значительно понизить вероятность успеха регистрации вакуумного состояния. Для того чтобы увеличить вероятность успеха зарегистрировать вакуумное состояние вполне возможно пропустить моду через поглощяющую среду. На выходе из среды амплитуда когерентного состояния уменьшится, где —- коэффициент поглощения среды, что позволяет увеличить вероятность успеха обнаружить вакуумного состояние в моде при условии, что поглощение не влияет на корреляционные свойства генерируемого состояния. Регистрация единичного фотона (не четное число) на рисунке 3.15 может быть реализовано с помощью пучкового делителя либо с большим коэффициентом пропускания, либо, наоборот, с большим коэффициентом пропускания (вставка на рисунке 3.15). Техника реализации таких измерений обсуждалась в разделе 2.3. Тогда регистрация следующего состояния в случае или в случае гарантирует реализацию желаемого проекционного оператора. Можно только отметить, что и в этом случае возможно также использование поглощающей среды для значительного уменьшения амплитуды когерентных состояний (3.3.83) как это имеет место во моде, где влияние фотонов с пренебрежимо мало. В общем случае регистрация вакуума или единичного фотона в моде ведет к уменьшению точности генерируемых состояний и вероятности успеха и требует больших усилий.

Рассмотрим возможность реализации обратного преобразования Адамара на примере гибридных состояний (3.3.81, 3.3.82), которые должны быть преобразованы в входные базисные состояния (3.3.48, 3.3.49). Пусть на входе дана суперпозиция гибридных состояний.

(3.3.89).

с амплитудами и, которые удовлетворяют условию нормировки. Механизм, который ответственен за реализацию обратного действия матрицы Адамара — это механизм извлечения перемещенного фотона из суперпозиционного состояния вакуума и единичного фотона. Для реализации перемещенного единичного фотона из гибридных состояний стоит воспользоваться представлением (3.3.43, 3.3.44) суперпозиций (3.3.42). Для упрощения расчетов рассмотрим действие данной операции на суперпозициях гибридных состояний (3.3.83, 3.3.84). Имеет место следующая цепочка преобразований с двух-модовоыми раздельными состояниями, составленными из суперпозиций микроскопических состояний и когерентных состояний в соседних модах.

(3.3.90).

(3.3.91).

где,. В преобразованиях (3.3.90, 3.3.91) когерентное состояние в моде играет роль оператора перемещения на величину при смешивании на пучковом делителе с большим значением коэффициента пропускания (3.3.58). После пучкового делителя проекционный оператор на состояние единичного фотона используется в первой моде. В качестве такого проекционного оператора используется стандартный APD.

Воспользуемся формулами (3.3.90, 3.3.91) для того, чтобы показать, что имеет место следующее преобразование.

. (3.3.92).

Стоит отметить, что амплитуды выходных состояний (3.3.90−3.3.92) совпадают с амплитудами входных базисных состояний (3.3.48, 3.3.49) поскольку. Выходное состояние (3.3.92) является выходным состоянием матрицы Адамара в когерентном базисе.

. (3.3.93).

Имеют место частные случаи. Так в случае, (,) имеет место следующее преобразование.

(3.3.94).

. (3.3.95).

В тоже время равновесные суперпозиции гибридных состояний преобразуются как.

(3.3.96).

(3.3.97).

в случае, соответственно, как это следует из выражений (3.3.92, 3.3.93).

Точность генерируемых состояний близкая к единичному значению может обеспечиваться выбором параметра перемещения в представлении состояний (3.3.42−3.3.44). Соответствующие графики зависимостей вероятностей перемешенных фотонных состояний от для данных состояний для различных значений показаны на рисунках 3.13 и 3.14. Так визуальный анализ графиков на данных рисунках позволяет найти возможные значения, которые могут быть использованы. Так график на графике 3.13(б) показывает, что вероятность обнаружить перемещенный единичный фотон в суперпозиции (3.3.42) превалирует над другими вероятностями в случае. Естественно можно допустить, что выбор именно такого значения может гарантировать, что клик APD будет вызван регистрацией единичного фотона. Данное обстоятельство гарантирует почти идеальную единичную точность обратного действия матрицы Адамара, которое преобразует гибридные состояния в двух-мерное пространство когерентных состояний. Стоит только отметить, что данная ситуация напоминает случай рассмотренный выше в случае реализации прямого действия матрицы Адамара с использованием вспомогательного двух-модового сжатого вакуума с малым значением амплитуды сжатия.

Рассмотрим также возможность реализации обратного преобразования Адамара для базисных элементов (3.3.51, 3.3.52). Данное преобразование может быть реализовано с помощью оператора одно-модового сжатия (2.3.13). Из обзора литературы [82−89, 96,97, 102, 106−110] следует, что сжатый вакуум и сжатый единичный фотон аппроксимируют четную и не четную СКС определенной амплитуды как.

(3.3.98).

. (3.3.99).

Известно, что суперпозиции когерентных состояний генерируются с некоторой точностью. И точность генерируемых состояний падает с увеличением амплитуды генерируемых когерентных состояний. Существует способ увеличить амплитуду генерируемых СКС посредством извлечения нескольких фотонов либо из сжатого вакуума (3.3.98) либо из сжатого единичного фотона (3.3.99). В частности, извлечение двух фотонов из состояний (3.3.98, 3.3.99) позволяет сгенерировать четную и не четную сжатую СКС большей амплитуды с точностью. Отчасти данные заключения следуют из результатов работ [96, 97, 102, 106], где уже обсуждались вопросы генерации СКС большой амплитуды посредством извлечения нескольких фотонов из начальных состояний света. Возможная оптическая схема для реализации извлечения двух фотонов из состояний (3.3.69−3.3.72) представлена на рисунке 2.8. Соответствующий математический аппарат использовался в разделе 2.3 в применении к генерации четной и не четной СКС в зависимости от амплитуды входного когерентного состояния. На основе выражений (3.3.98, 3.3.99) можно предположить, что может выполняться следующие преобразования суперпозиций выходных базисных элементов.

(3.3.100).

(3.3.101).

соответственно. Извлечение определенного числа фотонов из начальных базисных элементов может быть использовано, чтобы увеличить амплитуду генерируемых когерентных состояний. В настоящем разделе данный вопрос не рассматривается. Таким образом, может быть реализовано обратное действие преобразования Адамара с выбранными входными и выходными базисными состояниями.

В настоящем разделе рассмотрены разнообразные возможности реализации как одно-кубитовых, так и двух-кубитовых элементарных квантовых блоков. Данные элементарные квантовые блоки реализуются с помощью оптической схемы на рисунке 3.15. В основе данного подхода лежит идея представления нужного состояния света. В частности, использовались представления двух-модового сжатого вакуума и суперпозиции вакуума и единичного фотона. Другая ключевая идея данного рассмотрения —- это идея извлечения перемещенного фотонного состояния из начального состояния. Волновые амплитуды используемых состояний в представлении являются либо четными либо не четными функциями амплитуды перемещения, что гарантирует равенство их вероятностей не зависимо от знака параметра. Так представление сжатого вспомогательного состояния может быть рассмотрено с положительным значением при взаимодействии с некоторым когерентным состоянием. И в тоже время можно использовать представление сжатого вспомогательного состояния с отрицательным значением для описания взаимодействия этого состояния с когерентным состоянием с отрицательной амплитудой.

Как уже отмечалось в Главе 2 (в частности, в разделе 2.3), идея извлечения (или добавления) фотонного состояния из начального Гауссового состояния является известной (можно даже сказать популярной) и широко используемой в научной литературе. Развиваемая в настоящей диссертации идея извлечения перемещенного фотонного состояния является новой и свежей [148, 153]. Отчасти, данный подход (извлечение когерентного состояния) уже использовался в разделе 2.4 при обсуждении оптической схемы на рисунке 2.14. Преимущества данного подхода очевидны. Данный метод дает расширить возможности по генерации желаемых не Гауссовых состояний, о чем уже отмечалось в конце раздела 2.5. Сильная сторона такого подхода —- это наличие дополнительной степени свободы, амплитуды перемещения. С другой стороны анализ задач подобного рода является сложным и не тривиальным. В частности, проблема нахождения точного представления двух-модового сжатого вакуума отнимает не меньше усилий, чем вопрос реализации элементарных квантовых гейтов на основе извлечения перемещенного фотонного состояния из начального состояния. Вывод точного представления двух-модового сжатого вакуума (3.3.30) является важным с фундаментальной точки зрения. Вполне возможно, что именно сложность используемого математического аппарата ранее не позволяла исследователям приступить к изучению подобного рода проблем. Естественно, что возможности данного метода не ограничиваются решением только данного типа задач, рассмотренных в данном разделе. Возможности данного метода намного шире. Данный подход может быть применим к решению других задач необходимых для реализации тех или иных протоколов квантовой информатики, что уже является предметом настоящий и будущих исследований.

В заключении стоит отметить, что анализ оптической схемы на рисунке 3.53 показывает, что точность выходных состояний приближается к идеальному единичному значению даже в реалистическом сценарии. Экспериментальная реализация данной оптической схемы возможна. Стоит говорить о практической реализации обусловленного преобразования Адамара методами линейной оптики [153]. Нелинейные взаимодействия в данной оптической схеме не используются. Как уже отмечалось в разделе 2.3, реализация СКС состояний посредством нелинейного взаимодействия на Керрвоской нелинейности невозможна в силу малости Керровской константы взаимодействия. Регистрация кликов в дополнительных модах гарантирует генерацию выходных состояний с единичной вероятностью. Если клики не наблюдаются в дополнительных модах, то такой случай автоматически отбрасывается, что ведет к уменьшению вероятности успеха. Еще один важный момент связан с разной физической природой входных и выходных базисных состояний (гибридные состояния). Это может быть как преимуществом, так и возможным недостатком для построения квантового компьютера, что требует дополнительных исследований. Но (2.1.3) преобразование, необходимое для построения одно-кубитовых преобразований (как об этом говорилось в разделе 2.1) на базисных элементах может быть реализовано как на входных базисных когерентных состояниях, так и на выходных состояниях вакуума и единичного фотона, но это может потребовать дополнительного исследования. Окончательно можно отметить, что построение квантовых гейтов на основе взаимодействия света с атомами также может потребовать введение отличных входных и выходных базисных состояний.