Статистическая (эмпирическая) функция распределения

Статистическим распределением выборки называют перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот {частостей).

В теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми значениями и их частотами или относительными частотами.

ПРИМЕР 2. Задана выборка объемом п = 20 с соответствующими частотами. Необходимо найти частости (относительные частоты).

^ 4 3 10 7 ,.

M 20 20 20.

Пусть исследуется статистическое распределение частот количественного признака (случайной величины) X. Введем обозначение:

v_x — число наблюдений, при которых отслеживалось значение признака меньшее х;

и — общее число наблюдений (объем выборки).

Очевидно, что относительная частота (частость) события X < х равна со_х = v_x / п.

Статистической функцией распределения случайной величины X называется функция, определяющая для каждого значения х относительную частоту события X < х:

Сравним статистическую и интегральную функции распределения. Вспомним (теорема Бернулли), что относительная частота события X <�х, то есть F*(х) стремится по вероятности к вероятности F (x) этого события.

Функция F (х) обладает теми же свойствами, что и F (x):

• 1. Значения F*(x)e[0; 1].
• 2. Эмпирическая функция распределения F*(x) — неубывающая.
• 3. Если X] - наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при х<�Х].
• 4. Если х_к — наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при х > х_к.

ПРИМЕР 3. Построить эмпирическую функцию по данной выборке:

РЕШЕНИЕ. Найдем объем выборки п — 12 + 18 + 30 = 60. Теперь найдем статистическую функцию распределения:

Представим F (х) в аналитическом и графическом виде:

Рис. 8.4. Статистическая функция распределения (гистограмма)