Понятие квантового кубита

Прежде чем начать говорить о реализации квантовых протоколов с неклассическими состояниями света, отметим основные положения квантовой механики и теории квантовой информатики. Изложение основ квантовой информатики лучше всего провести в сравнении с классической информатикой.

Бит —- это основная единица классической информации. Бит может принимать два значения или или. Бит —- это наименьшее количество информации. Классический бит может быть реализован в простейших физических системах. Так электрический сигнал, который принимает два значения: сигнал включен (значение бита) и сигнал выключен (значение бита). может служить моделью классического бита. Классическая теория информации затрагивает вопросы кодирования и раскодирования информации наиболее эффективными методами, проблемы защиты и передачи классической информации, представимой последовательностью битов. Шэннон (Shannon) в своей пионерской работе впервые [28] детально затронул вопросы сжатия и передачи классической информации.

Для описания квантовых объектов используется аппарат квантовой механики. В квантовой механике вводятся два фундаментальных понятия: наблюдаемые и состояние квантового объекта. Используется эрмитовый оператор (Hermitian operator), называемый наблюдаемой, для каждой измеряемой величины. Состояние физической системы представляется вектором состояний в некотором Гильбертовом пространстве состояний, которое может быть как конечным, так и бесконечным. Квантовая механика в отличии от классической физики допускает существование линейной комбинации или, тоже самое, линейной суперпозиции (linear superposition) двух или более различных состояний из Гильбертового пространства состояний. Классического аналога линейной суперпозиции состояний не существует. Такая квантовая суперпозиция состояний кардинально отличается от статистической смеси различных состояний.

Рассмотрим квантовую частицу, обозначаемую буквой, и примем, что обозначает состояние частицы в точке с координатой и —- это состояние той же частицы в точке. Правила квантовой механики допускают существование суперпозиционного состояния частицы, которое может быть записано как.

(1.2.1).

где множитель —- нормировочный множитель и —- локальный фазовый множитель. Данный факт можно схематически отображен на рисунке 1.3. Если мы измеряем координату частицы, то мы «реально найдем» где находится частица. Согласно измерительному постулату квантовой механики состояние (1.2.1) разрушается в процессе измерения, и частица может быть найдена с вероятностью либо в точке с координатой либо в точке с координатой после измерения. Если быть более точным, то компоненты и на рисунке 1.3 —- это собственные локализованные состояния, подобно Гауссовым волновым пакетам. В то же время классическая частица может находиться только в одной из двух потенциальных ям, она не может преодолеть энергетический барьер в силу нарушения закона сохранения энергии. Квантовая частица может находиться в суперпозиционном состоянии, до тех пор, пока не будет выполнено квантовое измерение в случае если процессами декогерентности можно пренебречь. Стоит отметить тот факт, что уравнение (1.2.1) не означает, что частица либо находится в потенциальной яме, локализованной вблизи координаты с некоторой вероятностью, либо в потенциальной яме, локализованной вблизи координаты с другой вероятностью (так называемая статическая смесь двух состояний). Выражение (1.2.1) также не означает и то, что частица находится в какой-либо промежуточной точке между точками и .

Рисунок 1.3.

Схематическое изображение двух Гауссовых волновых пакетов в двойной потенциальной яме. Классическая частица может находиться только в одной из двух потенциальных ям или в левой яме (a) или в правой яме (б), в то время как квантовая частица может находиться в суперпозиционном состоянии ©, которой соответствует одновременному нахождению частицы одновременно в двух потенциальных ямах.

Стоит говорить, что частица находится в точках и одновременно в один и тот же момент времени, т. е. частица как бы размазана в пространстве. Тем не менее данный факт невозможно проверить экспериментально прямыми измерениями в силу разрушения суперпозиционного состояния в процессе измерения. Другая замечательная особенность суперпозиционного состояния (1.2.1) заключается в том, что интерференция между состояниями и может влиять на распределение вероятностей нахождения частицы. Проявление интерференционных эффектов возникает в случае изменения фазы .

Существуют и другие парадоксальные примеры демонстрации странности принципа линейной суперпозиции (1.2.1). Например, Шредингеровский парадокс котов [1] показывает каким странным было бы описание природы, когда принцип линейной суперпозиции применить к макроскопическим объектам. Упрощенный мысленный эксперимент с двумя щелями (double split) объясняет интерференционный эффект одной квантовой частицы, находящейся в суперпозиционном состоянии [29]. Парадокс Хади (Hardy) показывает какой абсурдный результат может выдать квантовая суперпозиция, если применить ее для описания взаимодействия между материей и анти-материей [30]. Эти примеры показывают, что квантовая суперпозиция двух состояний, скажем и, может давать не обычный экспериментальный результат (квантовая интерференция), который никогда не может быть получен просто при использовании или состояния или или в случае применения классической смеси состояний и. Эти эффекты (в частности, интерференционные биения в мысленном эксперименте с двумя щелями [29]) исчезают, когда производится попытка проследить пути развития квантового состояния. До сих пор существуют дебаты по происхождению этих странностей в квантовой механике [31,32], включая определенные экспериментальные усилия, чтобы закрыть эти дебаты [33,34]. Тем не менее, обсуждение данных вопросов квантовой механики выходит за рамки целей данной диссертации.

Фундаментальный принцип квантовой суперпозиции позволяет ввести единицу квантовой информации. Квантовый бит (кубит qubit) —- основной элемент в квантовой информатике определяется как произвольная суперпозиция двух базисных состояний в двух-уровневой физической системе, одно из которых определяет логический ноль, а другое определяет логическую единицу .

Схематическое изображение классического бита и квантового кубита. В то время как классический бит принимает одно из двух возможных значений, или или, (один из возможных полюсов), квантовый бит (кубит) может занимать любое положение на сфере Блоха. Положение точки на сфере Блоха соответствует суперпозиции двух состояний. В общем случае, кубит может также расположен и внутри сферы Блоха, что соответствует смешанному состоянию кубита.

Как уже было упомянуто выше, квантовая единица информации (кубит) не представляет собой статистическую смесь и, не некое значение между этими двумя величинами. Кубит с произвольными волновыми амплитудами и определяется в двухмерном Гильбертовом пространстве с двумя базисными состояниями.

(1.2.2).

как.

. (1.2.3).

Волновые амплитуды кубита (1.2.3) удовлетворяют условию, и величины, соответствуют вероятностям, того что кубит будем измерен либо в состоянии либо в состоянии, соответственно. Стоит отметить, что базис (1.2.2) может быть трансформирован с помощью унитарного преобразования. Например, можно выбрать два других ортонормированных базисных состояния и и записать выражение для кубита уже в другом базисе.

Наиболее общая форма оператора плотности (матрицы плотности) для кубита может быть записана как.

(1.2.4).

где —- вектор в трехмерном пространстве и —- оператор Паули (раздел 2.1). Так как рассматриваются только физические состояния, то данное условие накладывает на матрицу плотности условие. Любой произвольный кубит определяется вектором внутри шара с единичным радиусом, как это показано на рисунке 1.4. Такой шар называется сферой Блоха. Если кубит находится в чистом состоянии, тогда соответствующая точка, определяющая данный кубит, находится на поверхности шара. Если кубит изначально создан в смешанном состоянии (не чистое состояние), то определяющая его точка будет находиться уже внутри сферы Блоха.

Можно подумать, что можно получить больше информации, закодированной в кубите, по сравнению с классическим битом, поскольку кубит может существовать в безграничном числе суперпозиций. На самом деле это не так, благодаря измерительному постулату квантовой механики. Согласно данному постулату невозможно измерить квантовое состояние, не разрушая его. Поэтому невозможно получить информацию из кубита, не разрушив его в процессе измерения. В то же время процесс измерения не влияет на состояние классического бита. Таким образом, процесс измерения разрушает кубит и оставляет его либо в состоянии или, и последующие преобразования возможны только уже с классическим битом (не с кубитом).

По той же самой причине, не известный кубит не может быть полностью скопирован, факт который известен как теорема о невозможности клонирования кубитов (no cloning theorem) [35]. Квантовый детерминизм утверждает, что чистое квантовое состояние эволюционирует в другое чистое квантовое состояние посредством унитарного преобразования как [36]. Тем не менее, правила квантовый механики допускают эволюцию чистого состояния в смешанное (не чистое) состояние благодаря взаимодействию с окружающей средой, как это показано на рисунке 1.5.

Если рассмотреть физическую систему, состоящую из микроскопического объекта, взаимодействующего с окружающей средой, то может случиться так, что данная система (объект + окружающая среда) будет находиться в чистом квантовом состоянии (рисунок 1.5). Тем не менее, изучаемое микроскопическое состояние будет уже в смешанном состоянии (после взятия следа матрицы, описывающей полное состояние системы). Зурек (Zurek) объяснил появление классического мира из законов квантовой механики на основе того, что квантовый объект взаимодействует с окружающей средой [37]. В матричном представлении матрицы плотности квантовой системы, не диагональные корреляционные члены становятся все меньше и меньше по амплитуде с течением времени, до тех пор пока матрица не станет полностью диагональной (классической). В случае кубитов, данное обстоятельство вызывает потерю информации о локальной фазе кубита. Данный процесс, называемый в научной литературе декогерентностью, проявляется еще сильнее с увеличением размеров объекта. Так Зурек показал, что для типичных макроскопических объектов, типичное время декогерентности (время, за которое система трансформируется в смешанное состояние) составляет порядка [37]. Данный порядок временной величины объясняет тот факт, что мы не испытываем квантовых эффектов в повседневной жизни. Трудности в реализации на практике Шредингеровского парадокса котов [1] также определяются эффектом декогерентности.

Рисунок 1.5.

Схематическое изображение (a) унитарной эволюции квантовой системы, изначально описываемой состоянием и (b) процесс декогерентности системы, взаимодействующей со средой. Система теряет свою когерентность и превращается в смешанное состояние, которое описывается матрицей плотности .

Эффект декогерентности является наиболее значимым препятствием в разработке протоколов квантовой информации. К сожалению невозможно полностью изолировать квантовую систему от окружающей среды. Поэтому были разработаны разные протоколы такие как квантовые корректирующие коды [17], протоколы очищения запутанности [38], чтобы преодолеть влияние эффектов декогерентности на кубиты и запутанные квантовые каналы необходимые для квантовой обработки информации.

Существуют разнообразные физические системы (атомные, оптические), которые могут быть использованы для квантовой обработки информации. В принципе, любая двухуровневая система (двухуровневый атом, состояние поляризации фотона, спин электрона) может быть рассмотрена в качестве физической системы, которая может быть использована для осуществления квантовых протоколов. Поэтому существует проблема выбора той или иной физической системы. Но это накладывает следующие обязательства при выборе физической системы. Система должна быть легко контролируемой, компактной и сопротивляться как можно дольше эффектам декогерентности.

Оптические кубиты имеют ряд замечательных свойств, которые делают их серьезными кандидатами для выполнения протоколов квантовой информации оптическими методами. Например, подавляющее большинство операций, используемых для оптической обработки информации, могут быть реализованы при комнатной температуре. Время когерентности фотонов более чем достаточное, чтобы осуществить соответствующие унитарные преобразования. Фотоны распространяются со скоростью света, что особенно важно в протоколах квантовой криптографии и квантовой коммуникации. Фотоны практически не подвергаются эффектам декогерентности при своем распространении в свободном пространстве. Декогерентность возникает при взаимодействии света со средой. Данные обстоятельства позволяют считать методы линейной оптики наиболее реалистическими при реализации многих протоколов квантовой информатики [26].