Частные случаи. 
Различные формы уравнений Максвелла. 
Анализ уравнений

Рассмотрим, как изменяются уравнения Максвелла, если существуют не все, а лишь определенные виды источников электромагнитного поля. В простейшем случае отсутствуют и электрические, и магнитные токи, а заряды не изменяются во времени. Такое приближение называют статическим. В зависимости от того, какие заряды присутствуют, говорят об электростатике и магнитостатике.

Электростатика.

В электростатическом приближении электрическое поле создается электрическими зарядами, не изменяющимися во времени. Магнитного поля нет. Уравнения Максвелла в интегральной форме запишутся так.

/;. (2.47).

Электрический векторный потенциал отсутствует, а для скалярного потенциала в электростатике принято обозначение .

= -, = - grad. (2.48).

Уравнения электростатики позволяют рассчитать электрическое поле при произвольном расположении зарядов. Задача по расчету электрического поля произвольной системы зарядов сводится к задаче по определению поля точечного источника. Заряд в объеме нужно представить в виде суммы конечного или бесконечного числа точечных зарядов. Рассчитать в интересующей нас точке электрическое поле и потенциал от каждого заряда, а результаты сложить и задача будет решена.

Определим напряженность электрического поля и потенциал, создаваемый точечным зарядом на расстоянии r от него. В качестве объема выберем сферу радиусом r. Из-за сферической симметрии электрическое поле на поверхности этой сферы одинаково во всех точках. Его можно посчитать из первого уравнения (2.47).

/.

. (2.49).

Из (2.48) определим потенциал в этой точке, учитывая симметрию задачи. И электрическое поле, и потенциал будут зависеть только от радиуса, поэтому градиент потенциала можно заменить производной по радиусу.

= - grad =; , (2.50).

где, А — значение потенциала на бесконечности.

Для описания системы зарядов используют понятие — электрическая емкость. Пусть два тела расположенные на расстоянии R друг от друга имеют одинаковый по величине, но противоположный по знаку заряд q. Электрической емкостью называют отношение заряда q к разности потенциалов U этих двух тел:

C = q / U. (2.51).

Чтобы рассчитать электрическую емкость системы зарядов нужно рассчитать распределение потенциалов в объеме.

Для пары точечных зарядов, расположенных на расстоянии R.

; С = 4R. (2.52).

Магнитостатика.

В магнитостатическом приближении магнитное поле создается магнитными зарядами, не изменяющимися во времени. Уравнения для расчета магнитного поля будут выглядеть так:

rot = 0;; = - grad. (2.53).

Магнитостатическое приближение используется при расчете поля постоянного магнита.

Стационарные магнитные процессы (Магнитные цепи).

В этом приближении отсутствуют всякие заряды. Существует только электрический ток. Электрическое поле возникает за счет конечной проводимости вещества и описывается законом Ома (1.5).

= Э .

Магнитное поле порождается электрическим током и описывается уравнениями Максвелла, которые в этом случае выглядят так:

;. (2.54).

Первое уравнение (2.54) утверждает, что поток вектора замкнут и суммарный поток через замкнутую поверхность равен нулю. Поток этого вектора через незамкнутую поверхность может быть отличен от нуля. Его называют магнитным потоком.

Магнитный поток имеет знак и может подходить к точке разветвления или выходить из нее. Как следует из первого равенства (2.54), сумма магнитных потоков в узле равна нулю.

. (2.56).

На рисунке 2.1 сумма магнитных потоков в узле, А равна нулю.

Ф1 — Ф2 — Ф3 — Ф4 = 0.

Если считать магнитный поток аналогом тока в электрической цепи, то уравнение (2.56) аналогично первому уравнению Кирхгофа для электрической цепи. Его можно считать первым уравнением Кирхгофа для магнитной цепи.

Если магнитный поток равномерно распределен по сечению, то связь между В и Ф упрощается. Вместо (2.55) получим:

Ф = В S. (2.57).

Пусть имеется катушка, витки которой пронизываются различным магнитным потоком (рис. 2.2). Сумма магнитных потоков, пронизывающих интересующий нас виток называется потокосцеплением. На рис. 2.2 потокосцепление различно у различных витков катушки.

• 1 = Ф1 + Ф2 + Ф3 + Ф4; 2 = Ф2 + Ф3 + Ф4;
• 3 = Ф3 + Ф4; 4 = Ф4.

Полное потокосцепление для всей катушки.

= 1 +2 +3 +4 =Ф1 + 2Ф2 + 3Ф3 +4Ф4.

Если в катушке с током отсутствует магнитный поток рассеяния и все w витков пронизываются одним и тем же магнитным потоком Ф, то потокосцепление для нее.

= wФ.

Между током в катушке и потокосцеплением существует линейная связь,.

= L IЭ.

Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью катушки.

Если первое уравнение в (2.54) приводит к первому закону Кирхгофа для магнитной цепи, то второе уравнение — ко второму. Действительно, пусть магнитная цепь состоит из отдельных элементов длиной? i и площадью Si, по которым проходит один и тот же магнитный поток Ф. Тогда второе уравнение (2.54) можно переписать в виде:

H1?1 + H2 ?2 + H3 ?3 = IЭ, где IЭ — сумма электрических токов, создающих магнитный поток Ф. Произведение Hi?? i называют падением магнитного напряжения на участке? i, а сумму токов, возбуждающих магнитный поток, — магнитодвижущей силой F.

(2.58).

Это равенство можно интерпретировать, как второй закон Кирхгофа для магнитной цепи. Чаще всего магнитный поток создается с помощью катушки. Если по катушке с w витками проходит электрический ток I, то магнитодвижущая сила.

F = I w.

Для магнитной цепи выполняются не только законы Кирхгофа, но и законы Ома. Преобразуем второе равенство в (2.54) так, чтобы слева было произведение магнитного потока на какую-то величину. Эту величину можно будет назвать магнитным сопротивлением, а равенство — законом Ома для магнитной цепи. Для этого из (2.57) и (1.3.5) получим:

Hi = (2.59).

Подставим это значение в (2.54), заменив интеграл суммой, а электрический ток — на магнитодвижущую силу.

. (2.60).

Тогда выражение, стоящее под знаком суммы в правой части можно назвать сопротивлением i — го участка магнитной цепи.

. (2.61).

В дальнейшем можно рассчитывать разветвленные и неразветвленные магнитные цепи, пользуясь законами Кирхгофа и Ома, однако при аналитическом расчете точность невелика из-за нелинейной зависимости магнитной индукции от магнитного поля. Поэтому здесь чаще, приходится пользоваться графоаналитическими методами. В этом основная сложность расчета магнитных цепей.

Задачи и упражнения

• 1. Получите уравнение Гельмгольца для вектора из волнового уравнения для этого вектора.
• 2. Известно, что некоторый электромагнитный процесс характеризуется тем, что все декартовы проекции полей зависят только от z. Используя уравнения Максвелла, покажите, что продольные составляющие вдоль оси z отсутствуют и возможно только постоянное поле вдоль этой оси.
• 3. Вектор поляизменяется по гармоническому закону с частотой 2ГГц, имея в фиксированной точке пространства комплексную амплитуду =120exp (-i300)+50exp (i450)+75 exp (i600). Найдите мгновенное значение этого вектора, как функции времени.
• 4. Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля = 28exp (-i0,15) + 105 exp (i1,2) + 75 exp (i2,3).
• 5. Частота колебаний 2 ГГц. Найдите мгновенное значение вектора при t = 0,1 с.
• 6. В фиксированной точке пространства известны мгновенные значения векторов поля = Е0 cos (t + 1); = H0 cos (t + 2). Определите вектор Пойнтинга в этой точке, если Е0 = 10 В/м; Н0 = 0,1 А/м; = 12,56 109 1/с; 1 = 2 = 600.
• 7. Векторы напряженности электромагнитного поля не имеют составляющих вдоль оси z. Покажите, что вектор Пойнтинга имеет единственную проекцию на ось z, а проекции на оси х и у отсутствуют
• 8. В некоторой точке пространства заданы вектор напряженности электрического поля = 20 В/м и вектор Пойнтинга = 10 + 30. Определите вектор напряженности магнитного поля в этой точке.
• 9. В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды полей

= (5 + 8i + 12exp (i300));

= (0,4 exp (i450) + 1,6 + 0,75).

Найдите комплексный вектор Пойнтинга.

• 10. Пользуясь законом Гаусса рассчитайте емкость коаксиального кабеля.
• 11. Рассчитайте емкость двухпроводной линии.