Гистограмма. 
Основы экономико-математического моделирования

Гистограмма — инструмент, который позволяет наглядно изобразить и легко выявить структуру и характер изменения полученных данных (оценить распределение), которые трудно заметить при их табличном представлении.

Проведя анализ формы полученной гистограммы и ее местоположения относительно интервала допуска можно сделать заключение о качестве рассматриваемой продукции или состоянии изучаемого процесса. На основе заключения вырабатываются меры по устранению отклонений качества продукции или состояния процесса от нормы.

Методика построения диаграммы

• 1) Полученные данные сведите в один документ в удобном для дальнейшей обработки виде (например, в виде таблицы).
• 2) Вычислите диапазон значений показателя (выборочный размах) по формуле:

(1).

где x_max — наибольшее полученное значение,.

x_min — наименьшее полученное значении.

3) Определите количество интервалов гистограммы.

Для этого можно воспользоваться таблицей (рисунок 2), рассчитанной на основе формулы Стерджесса:

(2).

Рисунок 2.

Можно также воспользоваться таблицей (рисунок 3), рассчитанной на основе формулы:

(3).

Рисунок 3.

4) Определите ширину (размер) интервалов по формуле:

(4).

Округлите полученный результат в большую сторону до удобного значения. Обратите внимание, что вся выборка должна быть разделена на интервалы одинакового размера.

• 5) Определите границы интервалов. Сначала определите нижнюю границу первого интервала таким образом, чтобы она была меньше x_min. К ней прибавьте ширину интервала, чтобы получить границу между первым и вторым интервалами. Далее продолжайте прибавлять ширину интервала (Н) к предыдущему значению для получения второй границы, затем третьей и т. д. После произведенных действий следует удостовериться, что верхняя граница последнего интервала больше x_max.
• 6) Для выбранных интервалов подсчитайте частоты попадания значений исследуемого показателя в каждый интервал. Если значение показателя точно соответствует границе интервала, то добавьте по половинке обоим интервалам, на границу которых попало значение показателя.
• 7) Вычислите среднее значение исследуемого показателя по формуле:

(5).

• 8) На горизонтальную ось нанесите границы выбранных интервалов. Для удобства восприятия рекомендуется перед первым и после последнего интервалов оставить место размером не менее одного интервала. Также необходимо предусмотреть место для нанесения границ допуска, если он есть. Если в дальнейшем планируется сравнивать гистограммы, описывающие похожие факторы или характеристики, то стоит при нанесении шкалы на ось абсцисс руководствоваться не интервалами, а единицами измерения данных.
• 9) На вертикальную ось нанесите шкалу значений в соответствии с выбранным масштабом и диапазоном.
• 10) Для каждого выбранного интервала постройте столбик (прямоугольник), ширина которого равна интервалу, а высота равна частоте попадания результатов наблюдений в соответствующий интервал (частота уже подсчитана ранее).
• 11) Нанесите на график линию, соответствующую среднему арифметическому значению исследуемого показателя. При наличии поля допуска постройте линии, соответствующие границам и центру интервала допуска.
• 12) Проведите анализ графика.

Анализ гистограммы также разбивается на 2 варианта, в зависимости от наличия технологического допуска.

I вариант. Допуски для показателя не заданы. В этом случае производим анализ формы гистограммы:

1) Обычная (симметричная, колоколообразная) форма. Среднее значение гистограммы соответствует середине размаха данных. Максимальная частота также приходится на середину и постепенно уменьшается к обоим концам. Форма симметричная.

Рисунок 4.

Такая форма гистограммы встречается наиболее часто. Она свидетельствует о стабильности процесса.

2) Отрицательно скошенное распределение (положительно скошенное распределение). Среднее значение гистограммы располагается правее (левее) середины размаха данных. Частоты резко уменьшаются при движении от центра гистограммы вправо (влево) и медленно влево (вправо). Форма ассиметричная.

Рисунок 5.

Такая форма образуется либо, если верхняя (нижняя) граница регулируется теоретически или по значению допуска либо, если правое (левое) значение невозможно достигнуть.

3) Распределение с обрывом справа (распределение с обрывом слева). Среднее значение гистограммы располагается далеко правее (левее) середины размаха данных. Частоты очень резко уменьшаются при движении от центра гистограммы вправо (влево) и медленно влево (вправо). Форма ассиметричная.

Рисунок 6.

Такая форма часто встречается в ситуации 100%-го контроля изделий по причине плохой воспроизводимости процесса.

4) Гребенка (мультимодальный тип). Интервалы через один или два обладают более низкими (высокими) частотами.

Рисунок 7.

Такая форма образуется либо, если количество единичных наблюдений, входящих в интервал, колеблется от интервала к интервалу либо, если применяется определенное правило округления данных.

5) Гистограмма, не имеющая высокой центральной части (плато). Частоты в середине гистограммы примерно одинаковые (для плато все частоты примерно равны).

Рисунок 8.

Такая форма встречается, если объединяется несколько распределений со средними значениями близко расположенными друг к другу. Для дальнейшего анализа рекомендуется применить метод стратификации.

6) Двухпиковый тип (бимодальный тип). В окрестностях середины гистограммы частота низкая, но с каждой стороны есть по пику частот.

Рисунок 9.

Данная форма встречается, если объединяется два распределения со средними значениями, далеко отстоящими друг от друга. Для дальнейшего анализа рекомендуется применить метод стратификации.

7) Гистограмма с провалом (с «вырванным зубом»). Форма гистограммы близка к распределению обычного типа, но есть интервал с частотой ниже, чем в обоих соседних интервалах.

Рисунок 10.

Данная форма встречается, если ширина интервала не кратна единице измерения, если неправильно считаны показания шкалы и др.

8) Распределение с изолированным пиком. Совместно с обычной формой гистограммы появляется небольшой изолированный пик.

Рисунок 11.

Такая форма образуется при включении небольшого количества данных из другого распределения, например, если нарушена управляемость процесса, произошли ошибки при измерении или произошло включение данных из другого процесса.

II вариант. Для исследуемого показателя существует технологический допуск. В этом случае производится анализ, как формы гистограммы, так и ее расположение по отношению к полю допуска. Возможны варианты:

1) Гистограмма имеет вид обычного распределения. Среднее значение гистограммы совпадает с центром поля допуска. Ширина гистограммы меньше ширины поля допуска с запасом.

Рисунок 12.

2) Гистограмма имеет вид обычного распределения. Среднее значение гистограммы совпадает с центром поля допуска. Ширина гистограммы равна ширине интервала допуска, в связи с чем возникают опасения появления некондиционных деталей как со стороны верхнего, так и со стороны нижнего полей допуска.

Рисунок 13.

В этом случае необходимо либо рассмотреть возможность изменения технологического процесса с целью уменьшения ширины гистограммы (например, увеличение точности оборудования, использование более качественных материалов, изменение условий обработки изделий и т. д.) либо расширить поле допуска, т.к. требования к качеству деталей в данном случае трудновыполнимы.

3) Гистограмма имеет вид обычного распределения. Среднее значение гистограммы совпадает с центром поля допуска. Ширина гистограммы больше ширины интервала допуска, в связи с чем обнаруживаются некондиционные детали как со стороны верхнего, так и со стороны нижнего полей допуска.

Рисунок 14.

В этом случае необходимо реализовать меры, описанные в пункте 2.

4) Гистограмма имеет вид обычного распределения. Ширина гистограммы меньше ширины поля допуска с запасом. Среднее значение гистограммы сдвинуто влево (вправо) относительно центра интервала допуска, в связи с чем имеются опасения, что могут находится некондиционные детали со стороны нижней (верхней) границы поля допуска.

Рисунок 15.

В данной ситуации необходимо проверить, не вносят ли систематическую ошибку применяемые средства измерения. Если средства измерения исправны, следует отрегулировать процесс таким образом, чтобы центр гистограммы совпал с центром поля допуска.

5) Гистограмма имеет вид обычного распределения. Ширина гистограммы примерно равна ширине поля допуска. Среднее значение гистограммы сдвинуто влево (вправо) относительно центра интервала допуска, причем один или несколько интервалов выходят за границу поля допуска, что свидетельствует о наличии дефектных деталей.

Рисунок 16.

В этом случае первоначально необходимо отрегулировать технологические операции таким образом, чтобы центр гистограммы совпадал с центром поля допуска. После этого нужно принять меры для уменьшения размаха гистограммы или увеличения размера интервала допуска.

6) Центр гистограммы смещен к верхнему (нижнему) пределу допуска, причем правая (левая) сторона гистограммы рядом с верхней (нижней) границей допуска имеет резкий обрыв.

Рисунок 17.

В этом случае можно сделать вывод, что изделия со значением показателя, выходящим за пределы поля допуска, исключили из партии или умышленно распределили как годные, для включения в пределы допуска. Следовательно, необходимо выявить причину, которая привела к появлению данного явления.

7) Центр гистограммы смещен к верхнему (нижнему) пределу допуска, причем правая (левая) сторона гистограммы рядом с верхней (нижней) границей допуска имеет резкий обрыв. Кроме того один или несколько интервалов выходят за границы поля допуска.

Рисунок 18.

Случай аналогичен 6, но интервалы гистограммы, выходящие за границы поля допуска указывают на то, что измерительное средство было неисправно. В связи с эти необходимо провести поверку средств измерения, а также провести повторный инструктаж работникам по правилам выполнения измерений.

8) Гистограмма имеет два пика, хотя измерение значений показателя проводилось у изделий из одной партии.

Рисунок 19.

В этом случае можно сделать вывод, что изделия были получены в разных условиях (например, использовались материалы разных сортов, изменялась настройка оборудования, изделия производились на разных станках и т. д.). В связи с этим для дальнейшего анализа рекомендуется применить метод стратификации.

9) Основные характеристики гистограммы в порядке (соответствуют случаю), при этом имеются дефектные изделия со значениями показателя, выходящими за пределы поля допуска, которые образуют обособленный «островок» (изолированный пик).

Рисунок 20.

Данная ситуация могла возникнуть в результате небрежности, при которой дефектные детали были перемешаны с доброкачественными. В этом случае необходимо выявить причины и обстоятельства, приводящие к возникновению данной ситуации, а также принять меры к их устранению.