Плоская волна в сверхпроводнике

Явление сверхпроводимости состоит в том, что при очень низкой температуре у некоторых материалов полностью пропадает электрическое сопротивление. Постоянный ток, возбужденный в сверхпроводящем кольце циркулировал по нему в течение нескольких месяцев, если температура образца поддерживалась достаточно низкой. Если же температура становилась выше некоторого значения — критической температуры, то явление сверхпроводимости скачком пропадало. Сверхпроводящие свойства присущи многим неферромагнитным металлам. В 1986 году был открыт класс редкоземельных керамических материалов, у которых критическая температура достигает 92К. Эти материалы находятся в сверхпроводящем состоянии при температуре жидкого азота.

Явление сверхпроводимости можно объяснить так. В сверхпроводнике существует два типа носителей заряда: нормальные, которые подчиняются закону Ома, и сверхпроводящие, перемещающиеся по сверхпроводнику без какого-либо сопротивления. Электрический ток имеет две составляющие, и его плотность можно записать в виде:

(3.63).

где н и с — плотность тока для нормальных и сверхпроводящих носителей соответственно.

Нормальная составляющая состоит из тока проводимости и тока смещения.

(3.64).

где Nн и vн — концентрация и скорость нормальных носителей заряда.

Ток проводимости сверхпроводящих носителей.

. (3.65).

Получим связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля для сверхпроводящих носителей. Эта связь заменит для них закон Ома. Сверхпроводящие носители при столкновениях не теряют энергию, и их скорость связана с напряженностью электрического поля не через подвижность, а с помощью второго закона Ньютона.

Теперь продифференцируем (3.65) и подставим в него полученное значение для производной от скорости.

. (3.66).

Для сверхпроводящих носителей не выполняется закон Ома. Вместо него действует соотношение (3.66).

Электрический ток в сверхпроводнике создают методом электромагнитной индукции, воздействуя на него переменным во времени магнитным полем. Выразим электрическое поле в (3.66) через изменяющееся магнитное поле, его вызывающее. В соответствии с законом электромагнитной индукции в отсутствие внешних зарядов и токов в среде с магнитной проницаемостью равной единице.

. (3.67).

Чтобы подставить Е из (3.67) в (3.66) нужно в (3.66) взять ротор от обеих частей.

(3.68).

Величину лL называют лондоновской длиной. Название произошло от фамилии немецких ученых, впервые получивших ее. Лондоновская длина выполняет роль скин слоя в сверхпроводнике. Покажем это, получив волновое уравнение для магнитной индукции в сверхпроводнике. Для этого запишем закон полного тока в сверхпроводнике, воспользовавшись (1.3.4).

возьмем ротор от обеих его частей.

и используем выражения (3.67), (3.68) для того, чтобы исключить все зависимые переменные, кроме магнитной индукции.

Распишем левую часть в виде лапласиана и градиента от дивергенции вектора, воспользовавшись известным равенством векторного анализа.

(3.69).

поскольку divB = 0.

Волновое уравнение для сверхпроводника отличается от волнового уравнения для вакуума последними двумя слагаемыми в левой части. Первое из них описывает затухание волн, возникающее из-за конечной проводимости нормальных носителей заряда и будет присутствовать в уравнении для любого проводящего вещества, а второе учитывает сверхпроводящие носители. Рассмотрим стационарный процесс, когда магнитное поле перестанет изменяться и его производная по времени равна нулю.

Выберем прямоугольную систему координат с осью х, направленной по магнитному полю. Тогда векторное уравнение переходит в скалярное.

которое легко решается.

Второе слагаемое описывает экспоненциально нарастающее поле и не имеет физического смысла, поэтому В1(0) = 0, и для магнитного поля в сверхпроводнике получим:

В (х) = В (0) ехр (-л/лL). (3.70).

Магнитное поле с ростом х уменьшается по экспоненциальному закону. Постоянная затухания равна L. Оценим эту величину. Считаем, что сверхпроводящие носители заряда — электроны. Типичная концентрация свободных электронов в металле N=1029 м-3, заряд электрона е =1.610−19Kл, масса электрона m = 9.110−31кг, а магнитная проницаемость вакуума = 4р10−7Гн/м. Подставив все эти значения в выражение (3.68) получим L?1610−9м.

Итак, лондоновская длина — это глубина проникновения постоянного магнитного поля в сверхпроводник. Поверхностный эффект в сверхпроводнике и явление вытеснения высокочастотного поля на поверхность проводника во многом схожи и являются следствием закона электромагнитной индукции. В проводящей среде возникает наведенное поле, которое препятствует проникновению электромагнитного поля в проводящую среду. Глубина проникновения электромагнитного поля в металл задается соотношением (3.45).

.

Используем это выражения для анализа проникновения постоянного поля в сверхпроводник. У сверхпроводника проводимость э>, а круговая частота щ>0. Возникает неопределенность, которая раскрывается предыдущими рассуждениями и глубина проникновения поля в сверхпроводникбудет рассчитываться по выражению:

. (3.71).

Высокочастотные свойства сверхпроводника можно проанализировать, если известна диэлектрическая и магнитная проницаемости. Магнитную проницаемость сверхпроводника можно считать равной единице, а диэлектрическая имеет особенности, связанные с его свойствами. Комплексная диэлектрическая проницаемость в соответствии с (2.1.5).

Действительная часть ?. Обычно она много меньше мнимой части и не влияет на поведение сверхпроводника в электромагнитном поле. Мнимая часть определяется проводимостью нормальных у1 и свeрхпроводящих у2 носителей.

Нормальная проводимость определяется законом Ома.

.

Для сверхпроводящих носителей связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля определяется дифференциальным уравнением (3.66).

Будем считать процесс монохроматическим с круговой частотой щ и воспользуемся методом комплексных амплитуд, чтобы перейти от дифференциального уравнения для временных функций к алгебраическому уравнению для комплексных амплитуд.

. (3.72).

Для диэлектрической проницаемости можно записать.

(3.73).

Оценим отдельные слагаемые в (3.73) на частоте 10 ГГц для типичного металла. е0=10−9/4р; 107Cм/м; с?5109 См/м, с/?¼р, 1/?10−3/2р. Таким образом, все слагаемые намного меньше второго и для диэлектрической восприимчивости с большой точностью можно записать.

(3.74).

Теперь можно посчитать постоянную распространения электромагнитного поля в сверхпроводнике,.

(3.75).

Электромагнитное поле в полупроводнике не распространяется (в = 0). Это равенство приближенное, так как мы пренебрегли малой действительной частью. Ее учет приведет к волне с очень малым волновым числом. Однако и этот волновой процесс затухает на расстоянии лондоновской длины волны от поверхности сверхпроводника.

Рассчитаем волновое сопротивление.

(3.76).

Волновое сопротивление сверхпроводника носит чисто индуктивный характер.