Линии тока и вихревые линии при ламинарном движении в круглой трубе

При установившемся ламинарном движении линии тока и траектории частиц совпадают, это — прямые, параллельные направлению движения.

Если направить ось ОХ вдоль оси трубы, то.

а; .

Таким образом, единственная отличная от нуля проекция скорости не зависит от координаты .

Найдем по (3.9) компоненты угловой скорости.

(8.16).

Дифференциальное уравнение вихревой линии (3.12).

после подстановок в соответствии с (8 16) и примет вид.

.

а после интегрирования.

.

Таким образом, вихревые линии в этом случае представляют собой концентрические окружности с центрами на оси трубы.

Угловая скорость частиц жидкости.

.

или, учитывая, что по (8.9).

.

получим.

. (8.18).

Угловая скорость частиц при ламинарном движении в трубе тем больше, чем больше средняя скорость и чем дальше расположена точка от оси трубы.

На оси (), а у стенок.

. (8.19).

Сопоставив (8.18) и (8.19), получим.

т. е эпюра угловых скоростей частиц аналогична эпюре касательных напряжений.

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОСРЕДНЕННЫХ СКОРОСТЕЙ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ

Турбулентный режим движения.

Рассмотрим плоское равномерное турбулентное движение вдоль твердой границы, в системе координат. Направление оси ОХ совпадает с направлением линий тока осредненного движения, которые представляют собой параллельные прямые. Тогда,, гдерасстояние данной точки от стенки по нормали.

Согласно (6.9) касательное напряжение в турбулентном потоке.

Если поток сильно турбулизирован, то первый член пренебрежимо мал и тогда.

Для вывода закона распределения скоростей при турбулентном движении сначала введем предположения относительно длины пути перемешивания. Для определения длины пути перемешивания существует несколько формул, наиболее простой из них является формула Прандтля, согласно которой в безграничном потоке, движущемся вдоль плоской твердой стенки,, где коэффициент.

Измерения показывают, что вблизи стенки трубы при можно принять где — толщина вязкого подслоя. Однако при удалении от стенки эта зависимость становится не соответствующей данным измерений и должна быть уточнена.

Примем по А. А. Саткевичу для трубы.

. (8.21).

Согласно (8.21) приобретает наибольшее значение при, а на стенке и на оси трубы длина пути перемешивания .

Численные значения коэффициента зависят от числа Re, коэффициент изменяется при переходе от одних точек к другим в пределах живого сечения. Если поток взвесенесущий или аэрированный, то зависит от концентрации твердых частиц или воздуха в жидкости: с увеличением концентрации наносов воздуха уменьшается.

Для турбулентных потоков в трубах приближенно можно принять равным 0,4. Это значение получено Никурадзе по данным опытов при турбулентном режиме движения в круглых цилиндрических трубах с искусственно созданной равнозернистой шероховатостью. Для зоны живого сечения, в которой можно вследствие интенсивного перемешивания пренебречь чисто вязкостными напряжениями, т. е. в турбулентном ядре, можно принимать по (6.8).

.

Здесь и далее обозначаем .

Подставив в эту формулу значение из (8.21), получим.

.

Так как по (7.33), то.

.

Но по (7.30) и тогда.

. (8.22).

Здесь можно принять не зависящим от местоположения рассматриваемой точки по отношению к стенке трубы, т. е. от. Тогда, вынеся за знак интеграла, получим.

+const, (8.23).

т. е. логарифмический закон распределения скоростей в турбулентном потоке.

Отметим, что хотя измерение длины пути перемешивания нельзя осуществить, можно сопоставить измеренные в опыте значения скоростей (это легко сделать) с вычисленными по формуле распределения скоростей. Их полное или удовлетворительное совпадение будет свидетельствовать о правильности принятой формулы для как функции (т. е. в зависимости от удаления от стенки).

Логарифмический закон распределения скоростей вполне удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными для труб и открытых потоков, за исключением области вблизи стенок. Это и понятно, так как формула (6.8), на основе которой получена формула (8.23), соответствует условиям, имеющимся при развитой турбулентности, т. е. в ядре турбулентного потока. В пристенной области нельзя пренебречь вязкостными напряжениями, ибо здесь касательные напряжения должны определяться по (6 9).

При турбулентном движении перемешивание частиц жидкости и происходящий при этом обмен количеством движения приводят к выравниванию осредненных скоростей в различных точках живого сечения. Особенно это заметно при сравнении распределения осредненных скоростей в трубе при ламинарном (рис. 8.1) и турбулентном (рис. 8.3) движений. При ламинарном движении =0,5, а при турбулентном движении это отношение переменное и увеличивается с увеличением числа Рейнольдса.

Рис, 8.3

Для распределения местных осредненных скоростей по сечению турбулентного потока применяется формула.

.

где или — относительное расстояние от дна открытого потока или от стенки трубы.

Хотя эта формула менее точна, чем логарифмическая (8.23), ее иногда применяют для описания осредненных скоростей на достаточном удалении от стенки трубы или дна. Показатель зависит от и коэффициента Дарси. В экспериментах было найдено, что показатель степени в трубах зависит от числа и уменьшается от 1/6 при до 1/10 при .