Анализ вероятностей состояния энергоблока

С использованием этой системы уравнений определим вероятности текущих состояний энергоблока мощностью 200 МВт, надёжность которого характеризуется следующими показателями:

среднее время безотказной работы 2 000 ч;

среднее время восстановления после отказа t_восст = 200 ч;

среднее время обнаружения (индикации) отказа t_инд = 20 ч.

среднее время приготовления к действию энергоблока t_приг из состояния готовности 20 ч.

Примем, что функции надёжности, а также восстановления работоспособного состояния соответствуют экспоненциальному закону. Для определённости допустим, что время индикации отказа и время приготовления к действию энергоблока также распределены экспоненциально. Тогда согласно приведённым выше параметрам надёжности получим:

₁₂= 1/Т_ср = ½ 000 = 0,0005; ₂₃= 1/t_инд = 1/20 = 0,05; ₃₁= 1/t_восст = 1/200 = 0,005; ₃₄= ₃₁= 1/200 = 0,005; ₄₁= 1/t_приг = 1/20 = 0,05;

Допустим, что в начальный момент времени вероятности состояний энергоблока равны: р₁ = 0,95; р₂ = 0,05; р₃ = 0,041; р₄ = 0,004;

Решение системы (5) выполним в среде Mathcad 7 при помощи процедуры rkfixed (p, a, b, n, D), содержащей четыре параметра. Параметр р[1:N] представляет собой вектор начальных условий, т. е. вероятностей исходных состояний объекта. Размерность этого вектора равна числу уравнений в системе, следовательно, в данном случае N = 4. Величины a, b определяют границы начала и конца интервала интегрирования системы уравнений. Обычно принимают a = 0. Величину b выбирают, исходя из задач исследования. Число n разбиений интервала [a, b] при интегрировании назначают с учётом предполагаемого характера изменения искомых функций. При увеличении числа разбиений повышается точность интегрирования, но при этом растёт время решения. Примем в данной задаче b = 1000, n = 500.

Для использования стандартной процедуры rkfixed (p, a, b, n, D) необходимо сформировать матрицу D, содержащую правые части системы уравнений (5).

Результаты интегрирования показаны на рис. 3.

Как следует из рис. 3, с увеличением наработки энергоблока вероятности состояний претерпевают значительное изменение: — растёт вероятность безотказной работы р₁; - уменьшается вероятность нахождения в состоянии отказа р₃. Примерно через 250 часов работы происходит стабилизация показателей надёжности. Стационарность процессов отказов и восстановлений с увеличением времени является общим свойством восстанавливаемых систем, о чём упоминалось в лекции № 3. Свойство стационарности часто позволяет в практических расчётах систем, состоящих из многих элементов, применять установившиеся (иногда применяют термин — финальные) параметры надёжности при любых начальных значениях вероятностей состояний и при любых интенсивностях переходов.

При изменении величин интенсивностей переходов меняются как текущие, так и стационарные значения вероятностей состояний. Так, на рис. 4 показано решение системы (5) для того же энергоблока при увеличении времени индикации отказа до 50 ч.

Рис. 3. Изменение вероятностей состояний энергоблока с увеличением наработки: р₁ — вероятность безотказной работы; р₂ — вероятность нахождения в состоянии скрытого отказа; р₃ — вероятность нахождения в состоянии восстановления после отказа; р₄ — вероятность нахождения в готовности

Как показано на рис. 4 при увеличении времени индикации снижается вероятность безотказной работы р₁ за счёт увеличения времени нахождения в состоянии скрытого отказа, о чём свидетельствует рост вероятности р₂ .

Предыдущие решения задачи оценки надёжности энергоблока получены для однородного марковского процесса, соответствующего этапу стабильной эксплуатации на графике зависимости (t). В случае усиления деградационных процессов старения (коррозия, износ, усталость металла и т. п.) функция интенсивности отказов будет возрастать. Предположим, что вследствие указанных процессов получен линейный закон увеличения интенсивности отказов (t) = ₀+ к · t, где к — коэффициент, определяемый по результатам наблюдения за эксплуатацией энергоблоков; - интенсивность отказов на этапе стабильной эксплуатации. Допустим, что к = 2 · 10^-7 и, кроме того, примем, что время восстановления работоспособности энергоблока после отказа увеличилось до 2 000 часов. Остальные показатели надёжности остались без изменений. Решение системы (5) при новых значениях интенсивностей переходов показаны на рис. 5.

Рис. 4. Вероятности состояний энергоблока при увеличении времени индикации отказа: р₁ — вероятность безотказной работы; р₂ — вероятность нахождения в состоянии скрытого отказа; р₃ — вероятность нахождения в состоянии восстановления после отказа; р₄ — вероятность нахождения в готовности

Рис. 5. Вероятности состояний энергоблока при возрастающей интенсивности отказов и увеличенном времени восстановления после отказа: р₁ — вероятность безотказной работы; р₂ — вероятность нахождения в состоянии скрытого отказа; р₃ — вероятность нахождения в состоянии восстановления после отказа; р₄ — вероятность нахождения в готовности

Как показано на рис. 5. деградационные процессы старения объекта и возрастание времени восстановления вызвали резкое снижение вероятности безотказной работы р₁ и увеличение вероятности отказа р₃. Вероятности остальных состояний не изменились по сравнению с предыдущим случаем.

Выполненные расчёты подтвердили наблюдаемые на практике явления снижения безотказности энергоблоков с увеличением наработки в тех случаях, когда наработка объекта приближается к назначенному ресурсу основных элементов (см. лекции №№ 9,11). Практика подтверждает, что при этом постоянно растут время восстановления работоспособности после отказа и время, затраченное на плановые регламентные работы.

Для графа, показанного на рис. 1, можно получить аналитическое решение для двух состояний, которые можно рассматривать как работоспособное состояние (1) и состояние полного отказа (2). Переход их состояния 1 в состояние 2 осуществляется по принципу марковского однородного процесса с интенсивностью, а восстановление после отказа в работоспособное состояние с интенсивностью. Дифференциальные уравнения состояний 1 и 2 имеют вид.

(6).

Из первого уравнения системы (6) находим.

.

После подстановки во второе уравнение получаем дифференциальное уравнение второго порядка.

(7).

При экспоненциальных законах отказов и восстановлений решение уравнения получается наиболее простым. Напишем характеристическое уравнение для (7).

k² + (l + m)· k = 0, откуда k₁ = 0; k₂ = - (l + m).

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид.

. (8).

Произвольные постоянные С₁ и С₂ находят по начальным условиям при t=0. Если принять, что в начальный момент функционирования объект исправен и вероятность его нахождения в состоянии 1 равна единице, то, соответственно, получим р₁=1,0; р₂ = 0. Подставляя начальные условия в уравнения (8) находим.

С₁ +С₂ =1; .

Отсюда.

После подстановки в общее решение окончательно получим.

(9).

Результат решения в графическом виде, полученный по уравнениям (9), показан на рис. 8.6.

Рис. 6. Изменение вероятностей состояния объекта во времени

Как следует из рис. 6. для простейшего случая двух состояний системы также наблюдается асимптотическое приближение вероятностей р₁ и р₂ к стационарным значениям. Эти стационарные значения выражаются в конечном виде через интенсивности отказов и восстановлений, показанные на рис. 6.

Полученные закономерности изменения вероятностей состояния восстанавливаемых систем можно использовать для анализа надёжности объектов с резервированием.