Примеры решения задач

Задача 1.

Уравнение движения материальной точки вдоль оси Х имеет вид Х = A + Bt + Ct³, где A = 2 м; В = 1 м/с; С = - 0,5 м/с³.

Найти координату, скорость и ускорение точки в момент времени 2с.

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени.

v_x = = B + 3Ct² .

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени.

a_x = = 6Ct

Произведя вычисления для момента времени t = 2 c, получим:

v_x = (1 — 3 0,5 2²) м/с = - 5 м/с ,.

а_x = 6 (- 0,5) 2 м/с² = - 6 м/с² .

Задача 2.

Диск радиусом 0,1 м, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорение 0,5 рад/с². Найти тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска через две секунды после начала вращения.

В условии задано угловое ускорение, которое определяется выражением.

=. (3).

Следовательно, угловая скорость равна.

= ₀+ t, (4).

причем по условию начальная угловая скорость ₀ = 0. Учитывая соотношения (2) и (4), получаем формулу для нормального ускорения.

a_n = ²R = ²t²R.

В момент времени t = 2 с нормальное ускорение.

a_n = ²t²R = 0,5² 2² 0,1² = 0,1 м/с²,.

тангенциальное ускорение.

а = R = 0,5 0,1 = 0,05 м/с²,.

полное ускорение.

м/с²

Динамика. Законы Ньютона.

1. Импульс материальной точки массой m, движущейся поступательно со скоростью.

= m

2. Второй закон Ньютона в общем случае.

.

где — результирующая всех сил, приложенных к материальной точке.

3. Второй закон Ньютона в случае средней силы, действующей за время :

.

4. Если масса постоянна, то второй закон Ньютона может быть записан в виде:

.

• 5. Силы, рассматриваемые в механике:
  • а) сила упругости

F = - kx,.

где k — коэффициент жесткости пружины; x — абсолютная деформация;

б) сила гравитационного взаимодействия.

.

где G — гравитационная постоянная; m₁ и m₂ — массы взаимодействующих материальных точек; r — расстояние между материальными точками;

в) сила трения скольжения.

F = fN,.

где f — коэффициент трения скольжения, N — сила нормального давления.

Примеры решения задач Автомобиль массой 1 т поднимается по шоссе с уклоном 30^о под действием силы 7 кН. Коэффициент трения между шинами автомобиля и поверхностью шоссе равен 0,1. Определить ускорение автомобиля.

Таблица.

.

Спроецируем обе части этого уравнения на выбранные направления осей Х и У (см. рис. 1).

. (1).

. (2).

Из уравнения (2) находим .

Учитывая, что, запишем уравнение (1) в виде:

.

откуда.

. (3).

Подставив в формулу (3) числовые значения, получим:

.

Работа постоянной и переменной силы. Закон сохранения механической энергии.

1. Работа постоянной силы.

.

где — угол между вектором силы и перемещением.

2. Работа переменной силы.

.

где — проекция силы на направление перемещения dS.

3. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно.

или .

• 4. Потенциальная энергия:
  • а) упруго деформированной пружины

.

где k — коэффициент жесткости пружины, x — абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия.

.

где G — гравитационная постоянная; m₁ и m₂ — массы взаимодействующих тел; r — расстояние между ними (данные тела считаются материальными точками);

в) тела, находящегося вблизи поверхности Земли (в однородном поле силы тяжести).

.

где g — ускорение свободного падения тела; h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<, где R — радиус Земли).

5. Работа, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы.

.

6. Закон сохранения механической энергии.

E = E_k + E_П = const.

Задача 1

К нижнему концу пружины жёсткостью Н/м присоединена другая пружина жёсткостью Н/м, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружины, определить отношение потенциальных энергий пружины.

отсюда.

. (2).

Известно, что потенциальная энергия пружины имеет вид.

.

Запишем выражение для потенциальных энергий первой и второй пружин:

и .

Разделим на :

. (3).

Подставив (2) в выражение (3), получим:

.

Задача 2.

Поезд массой 600 т движется под гору с уклоном 0,3^о и за 1 минуту развивает скорость 18 км/ч. Коэффициент трения равен 0,01. Определить среднюю мощность локомотива.

Дано:	Решение:
m = 600 т = кг. t = 1 мин = 60 с. f = 0,01.	Средняя мощность, развиваемая локомотивом. (1). где Fт — сила тяги. Среднее значение скорости, , ускорение поезда .
= ?

Запишем уравнение II закона Ньютона в проекции на направление движения:

(2).

где.

. (3).

Тогда из уравнения (2) с учётом (3) запишем выражение для силы тяги локомотива:

(4).

средняя мощность, развиваемая локомотивом, <N> вычисляется по формуле.

.

Ответ: N = 195 кВт.

Задача 3.

Молот массой 5 кг, двигаясь со скоростью 4 м/с, ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием равна 95 кг. Считая удар неупругим, определить энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Определить коэффициент полезного действия (КПД) удара.

Во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, поэтому энергия Е_деф, затраченная на деформацию, равна разности значений механической энергии системы до и после удара.

(1).

где u — общая скорость всех тел, входящих в систему, после неупругого удара. Эту скорость найдем на основе закона сохранения импульса.

(2).

откуда.

. (3).

Подставив в формулу (1) значение u из выражения (3), определим Е_деф:

. (4).

Полезной считается энергия, затраченная на деформацию. Поэтому КПД равен.

. (5).

Подставив числовые значения заданных величин в формулу (5), получим:

.

Из выражения (5) видно, что КПД удара тем больше, чем больше масса наковальни по сравнению с массой молота.

Закон сохранения импульса. Совместное применение законов сохранения импульса и механической энергии.

1. Закон сохранения импульса.

.

то есть суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется постоянным.

2. Закон сохранения импульса для системы из двух тел.

.

где и — скорости тел в короткий момент до взаимодействия; и — скорости тех же тел после взаимодействия.

• 3. Применение законов сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров:
  • а) неупругий удар
  • — закон сохранения импульса

.

— скорость шаров после неупругого удара.

.

знак «минус» соответствует движению шаров навстречу;

б) упругий удар скорости упругих шаров после удара.

.

.

где и — скорости шаров до удара, и — после удара.

Задача 3

Человек массой 60 кг стоит на тележке массой 30 кг. Определить скорость тележки, если человек будет двигаться по ней с относительной скоростью 3 м/с. Трением между тележкой и дорогой пренебречь.

При движении человека его скорость относительно Земли будет равна, а импульс человека. Тележка получит импульс .

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось X в системе отсчета относительно Земли.

.

Отсюда.

.

Проведём вычисление u:

Задача 4

Пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в мешок с песком массой 4 кг, висящий на длинной нерастяжимой нити и застревает в нем. Найти высоту, на которую поднимется мешок после попадания в него пули.

На основе закона сохранения энергии запишем:

. (1).

Для определения скорости совместного движения мешка и пули используем закон сохранения импульса. Запишем его в проекции на ось Х:

(2).

откуда.

. (3).

Подставим выражение (3) в формулу (1) и тогда высота h равна.

. (4).

Выполним вычисления по формуле (4).

м = 5,1 см.

Динамика вращательного движения твёрдого тела.

1. Основной закон (основное уравнение) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

.

где — результирующий момент всех внешних сил относительно оси вращения; - момент импульса (момент количества движения) твёрдого тела относительно оси вращения.

.

где J — момент инерции твёрдого тела относительно той же оси вращения.

2. Основной закон динамики вращательного движения при J = const.

.

где — угловое ускорение тела.

3. Основной закон динамики вращательного движения для среднего значения момента силы.

.

где — изменение угловой скорости за промежуток времени .

4. Момент силы относительно оси вращения:

.

где l — плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы F); - угол между направлением действия силы и радиус-вектором, проведённым от оси вращения к точке приложения силы.

5. Момент инерции материальной точки относительно заданной оси:

.

где m — масса материальной точки; r — расстояние её до оси вращения.

• 6. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр симметрии:
  • а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню

;

б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра).

;

в) диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска.

;

г) шара радиуса R относительно оси, проходящей через центр шара.

.

Задача 5

К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с².

Дано:	Решение:
R = 0,5 м. F = 100 Н Мтр=. = 16 рад/с2	Для решения задачи используем основное уравнение динамики вращательного движения. (1). где М — результирующий момент внешних сил. (2).
m = ?

где FR — вращающий момент; М_тр — момент сил трения; - угловое ускорение,.

— (3).

момент инерции диска.

Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и получим:

(4).

откуда.

. (5).

Проведём вычисления в формуле (5), подставив туда числовые значения. Получим:

кг.

Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия вращающегося тела.

1. Закон сохранения момента импульса в случае замкнутой системы (- момент внешних сил равен нулю).

.

где — момент импульса тела с номером i, входящим в состав системы.

2. В случае системы из двух тел закон сохранения момента импульса запишется в виде.

.

где,; и — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия;,; и — те же величины после взаимодействия.

3. Работа постоянного момента силы, действующего на вращающееся тело,.

где — угол поворота тела.

4. Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,.

.

5. Кинетическая энергия вращающегося тела:

.

6. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,.

.

где — кинетическая энергия поступательного движения тела; - скорость центра инерции тела; - кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

7. Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением.

.

Задача 6

Частота вращения маховика, момент инерции которого равен, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за секунд. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент сил трения.

Дано:	Решение:
об/мин = 4 об/с. с.	Изменение кинетической энергии маховика равно работе сил трения: т. е. (1).
М = ?

где — угол поворота за промежуток времени t.

Из формулы (1) момент сил трения.

. (2).

Для равнозамедленного движения маховика угол поворота :

(3).

где — угловое ускорение.

По условию задачи тело останавливается через промежуток времени t, т. е.

.

откуда.

(4).

где .

Подставим выражение (4) в формулу (3), получим:

. (5).

После подстановки выражения для и в формулу (2) момент сил трения М имеем.

т. е.

. (6).

Проведём вычисления в формуле (6).

.

Задача 8

Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдёт ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

Дано:	Решение:
	В системе человек-платформа сумма моментов сил тяжести и реакции опоры равна нулю. Тогда для решения задачи можно применить закон сохранения момента импульса: (1). отсюда.
— ?

(2).

где.

(3).

. (4).

J₁ — момент инерции системы человек-платформа в начальном состоянии,.

J₂ — в конечном состоянии.

Подставим выражения (3) и (4) в формулу (2) и получим:

.

Элементы специальной теории относительности.

1. Длина тела l и длительность события в различных системах отсчета.

где l — длина тела в системе отсчета, относительно которой тело движется; l₀ - длина тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится; = v/c — скорость тела, выраженная в долях скорости света в вакууме (с); t — длительность события, измеренная в системе отсчета, относительно которой тело движется; t₀ — длительность события, измеренная по часам, движущимся вместе с телом.

2. Релятивистский импульс частицы.

.

3. Полная энергия частицы.

.

где — энергия покоя частицы; m₀ — масса покоя частицы; E — полная энергия частицы; - кинетическая энергия свободной частицы.

Кинетическая энергия свободной частицы.

.

Связь между энергией и импульсом свободной частицы.

.

или.

.

Задача 9

Определить, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы его скорость составила 90% скорости света.

Дано:	Решение:
кг. Кл. с.	Пройдя ускоряющую разность потенциалов u, протон приобретает кинетическую энергию. . (1). Так как скорость частицы велика (с), то кинетическую энергию частицы можно определить по релятивистской формуле.
U = ?

. (2).

Приравняв правые части выражений (1) и (2), получим:

. (3).

Проведём вычисления, подставляя в формулу (3) числовые значения.

ГВ.

3. Задание на контрольную работу № 1.

кинематика механический динамика.

• 101. Материальная точка движется под действием силы согласно уравнению Х = А + Вt + Ct² + Dt³, где С = 1 м/с²; D = - 0,2 м/с³. Определить, в какой момент времени сила равна нулю.
• 102. Движение материальной точки задано уравнением Х = At + Bt², где A = 4м/с; B = - 0,05 м/с². Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент.
• 103. Прямолинейное движение материальной точки описывается уравнением X = At + Bt³, где A = 2,0 м/с; B = 0,04 м/с³. Определить величину средней скорости и среднего ускорения за первые 4 с движения.
• 104. Зависимость скорости тела от времени при прямолинейном движении дана уравнением v = 0,3t². Найти величину ускорения тела в момент времени 2 с и путь, пройденный телом за интервал времени от 0 до 2 с.
• 105. Прямолинейное движение двух материальных точек описывается уравнениями X₁ = A₁ + B₁t + C₁t² и X₂ = A₂ + B₂t + C₂t², где A₁ = 20 м; B₁ = -2 м/с; C₁ = 4м/с²; A₂ = 2 м; B₂ = 2 м/с; C₂ = 0,5 м/с². В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения в этот момент времени?
• 106. Точка движется по окружности согласно уравнению = A + Bt + Ct³, где A = 2 рад; B = 3 рад/с; C = 1 рад/с³. Определить угол поворота, угловую скорость и угловое ускорение точки в момент времени 1 с.
• 107. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением 2 рад/с². Через 0,5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса стало равным 0,136 м/с². Найти радиус колеса.
• 108. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За 2 минуты оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1. Определить: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.
• 109. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости 20 рад/с через 10 оборотов после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.
• 110. По дуге окружности радиусом 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки равно 4,9 м/с², вектор полного ускорения составляет в этот момент угол 60^о с вектором нормального ускорения. Определить мгновенную скорость и тангенциальное ускорение точки в этот момент.
• 111. Автомобиль массой 1,5 т мчится по шоссе со скоростью 150 км/ч. Если отпустить педаль газа, то в течение 5 секунд его скорость снизится до 120 км/ч. Чему равна средняя сила сопротивления? Какую часть она составляет от веса автомобиля?
• 112. К нити подвешена гиря. Если поднимать эту гирю с ускорением 2 м/с², то натяжение нити будет вдвое меньше того натяжения, при котором нить разрывается. С каким ускорением надо поднимать эту гирю, чтобы нить не разорвалась?
• 113. Тело массой 0,5 кг движется прямолинейно согласно уравнению Х = А + Вt + Ct² + Dt³, где С = 5 м/с²; D = 1 м/с³. Найти величину силы, действующей на тело в конце первой секунды движения.
• 114. Масса автомобиля 2 т. Во время движения на автомобиль действует сила трения, равная 0,1 его веса. Определить силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, если он движется в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.
• 115. Решить предыдущую задачу при условии, что автомобиль движется под гору с тем же ускорением.
• 116. Масса поезда равна 3000 т. Коэффициент трения равен 0,02. Какова должна быть сила тяги локомотива, чтобы поезд набрал скорость 60 км/ч через 2 минуты после начала движения?
• 117. Два груза массами 0,5 кг и 0,7 кг связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К первому грузу массой 0,5 кг приложена горизонтально направленная сила в 6 Н. Пренебрегая трением, определить: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити.
• 118. Вагон массой 11 т движется со скоростью 18 км/ч. Какова должна быть сила торможения, чтобы остановить вагон на расстоянии 250 м?
• 119. К нити подвешен груз массой 0,5 кг. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с²; 2) опускать с ускорением 2 м/с².
• 120. Тело массой 0,5 кг движется так, что зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S = Asint, где А = 5· 10^-2 м, = рад/с. Найти силу, действующую на тело через 1/6 секунды после начала движения.
• 121. Какую работу совершает двигатель автомобиля массой 1,3 т, трогаясь с места, на первых 75 м пути, если это расстояние автомобиль проходит за 10 с? Коэффициент трения шин о дорогу равен 0,05.
• 122. Автомобиль массой 2 т движется в гору, уклон которой составляет 2 м на каждые 100 м. Определить: 1) работу, совершенную двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолён за 5 минут.
• 123. На горизонтальном участке пути длиной 3 км скорость автомобиля увеличилась от 36 км/ч до 72 км/ч. Масса автомобиля 3 т, коэффициент трения 0,01. Чему равна работа, совершаемая двигателем автомобиля?
• 124. В пружинном ружье пружина сжата на 10 см. При взводе её сжали до 20 см. С какой скоростью вылетит из ружья стрела массой 30 г, если жесткость пружины 144 Н/м?
• 125. Две пружины жесткостью Н/м и Н/м соединены последовательно. Определить работу по растяжению обеих пружин, если вторая пружина растянута на 3 см.
• 126. Пружина жесткостью 10⁴ Н/м сжата силой Н. Определить работу внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину ещё на 1 см.
• 127. Две пружины жесткостью 0,5 кН/м и 1 кН/м скреплены последовательно. Определить потенциальную энергию данной системы при действии внешней силы 10 Н.
• 128. Определить работу, которую совершат силы гравитационного поля Земли, если тело массой 1 кг упадет на поверхность Земли с высоты, равной радиусу Земли.
• 129. Найти значение второй космической скорости для Луны, то есть скорости, которую нужно сообщить телу, чтобы удалить его с поверхности Луны за пределы гравитационного поля Луны (масса Луны кг, радиус Луны м).
• 130. Какова будет скорость ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета запущена с Земли с начальной скоростью 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать.
• 131. Какую скорость приобретает ракета массой 0,6 кг, если продукты горения массой кг вылетают из ее сопла со скоростью 800 м/с?
• 132. Мальчик стоит на абсолютно гладком льду и бросает мяч массой 0,5 кг. С какой скоростью после броска начнет скользить мальчик, если горизонтальная составляющая скорости мяча равна 5 м/с, а масса мальчика равна 20 кг?
• 133. Вагон массой 3 т, движущийся по горизонтальному пути со скоростью 1,5 м/с, автоматически на ходу сцепляется с неподвижным вагоном массой 2 т. С какой скоростью движутся вагоны после сцепки?
• 134. Человек и тележка движутся навстречу друг другу. Масса тележки 32 кг, масса человека 64 кг. Скорость тележки 1,8 км/ч, скорость человека 5,4 км/ч. Человек прыгает на тележку. С какой скоростью и в каком направлении будет двигаться тележка с человеком?
• 135. Снаряд массой 20 кг, летящий горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в платформу с песком массой 10 т, движущуюся со скоростью 36 км/ч навстречу снаряду, и застревает в песке. Определить скорость, которую получит платформа.
• 136. С тележки, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью 3 м/с, в сторону, противоположную ее движению, прыгает человек, после чего скорость тележки изменилась и стала равной 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки 210 кг, масса человека 70 кг.
• 137. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние переместится лодка длиной 3 м, если масса человека 60 кг, масса лодки 120 кг? Сопротивление воды не учитывать.
• 138. При горизонтальном полете со скоростью 300 м/с снаряд массой 9 кг разорвался на две части. Большая часть массой 7 кг получила скорость 450 м/с в направлении полёта снаряда. Определить величину и направление скорости меньшей части снаряда.
• 139. С судна массой 750 т произведён выстрел из пушки в сторону, противоположную его движению, под углом 60^о к горизонту. На сколько изменилась скорость судна, если снаряд массой 30 кг вылетел со скоростью 1 км/с относительно судна?
• 140. Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определить скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда равна 50 г.
• 141. Теннисный мяч, летящий со скоростью 10 м/с, отброшен ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью 8 м/с. При этом его кинетическая энергия изменилась на 5 Дж. Найти изменение импульса мяча.
• 142. Движущийся шар массой 5 кг ударяется о неподвижный шар массой 0,5 кг. Кинетическая энергия обоих шаров непосредственно после удара равна 6 Дж. Определить кинетическую энергию первого шара до удара. Удар считать центральным, неупругим.
• 143. В деревянный шар массой 5 кг, подвешенный на нити, попадает горизонтально летящая пуля массой 5 г и застревает в нём. Найти скорость пули, если шар с застрявшей в нем пулей поднялся на высоту 10 см.
• 144. Два шара массами 2 кг и 3 кг, движущиеся по одной прямой навстречу друг другу со скоростями 8 м/с и 4 м/с, соответственно, неупруго сталкиваются и движутся после удара совместно. Определить работу деформации шаров после удара.
• 145. Шар массой 1,8 кг упруго сталкивается с покоящимся шаром большей массы. В результате прямого центрального упругого удара шар потерял 36% своей кинетической энергии. Определить массу покоящегося шара.
• 146. Молотком, масса которого 1 кг, забивают в стену гвоздь массой 75 г. Определить КПД удара.
• 147. По небольшому куску металла, лежащему на наковальне, масса которой 300 кг, ударяет молот массой 8 кг. Определить КПД удара, считая удар неупругим. Полезной энергией считать энергию, затраченную на деформацию металла.
• 148. Из орудия массой 5 т вылетает снаряд массой 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при вылете 7,5 Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?
• 149. Движущееся тело ударяется о неподвижное тело. Удар считать упругим и центральным. Чему должно равняться отношение масс тел, чтобы при ударе скорость первого тела уменьшилась в 1,5 раза?
• 150. Тело массой 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массой 10 г и застревает в нем. Скорость пули направлена горизонтально и равна 700 м/с. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,05?
• 151. Два различных груза подвешены на невесомой нити, перекинутой через блок радиусом 0,4 м, момент инерции которого равен м². Блок вращается с постоянным угловым ускорением 2,5 рад/с², причем момент сил трения равен 4 Н· м. Найти разность натяжений нити с обеих сторон блока.
• 152. Стержень массой 6 кг и длиной 40 см вращается вокруг оси, проходящей через его середину, перпендикулярно длине стержня. Угол поворота стержня изменяется во времени по закону = 6 + 4t — t² +3t³. Определить вращающий момент, действующий на стержень через 2 с после начала вращения.
• 153. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило за 1 минуту частоту вращения от 300 до 180 об/мин. Момент инерции колеса равен 2. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) тормозящий момент; 3) работу сил торможения; 4) число оборотов, сделанных колесом за эту минуту.
• 154. Двум одинаковым маховикам, находящимся в покое, сообщили одинаковую угловую скорость 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения один маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент больше и во сколько раз?
• 155. На барабан диаметром 0,8 м намотан трос с закрепленным на конце грузом массой 3 кг. Вращаясь равноускоренно под действием силы натяжения троса, барабан за 4 секунды приобрел угловую скорость 16 рад/с. Определить момент инерции барабана.
• 156. К ободу диска радиусом 0,2 м приложена постоянная касательная сила 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения, равный 0,5. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением 100 рад/с².
• 157. Маховик в виде диска радиусом 40 см и массой 20 кг вращается с частотой 60 об/с. Определить угловое ускорение и частоту вращения маховика через 3,14 секунды после того, как к ободу маховика с силой 1 кН была прижата тормозная колодка, коэффициент трения которой о диск равен 0,4.
• 158. Шар массой 10 кг и радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Угол поворота изменяется во времени по закону = А + Вt²+ Сt³, где А = 5 рад; B = 4 рад/c²; C = -1 рад/c³. Определить величину момента сил, приложенных к шару в момент времени 2 с.
• 159. Однородный диск массой 5 кг и радиусом 0,2 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени задана уравнением = А + Вt, где В = 8 рад/c². Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска. Трением пренебречь.
• 160. Маховик массой 10 кг и радиусом 0,2 м соединен с мотором при помощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно 14,7 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 секунд после начала движения? Маховик считать однородным диском. Трением пренебречь.
• 161. Стержень длиной 1,2 м и массой 1 кг закреплен на вертикальной оси, проходящей через его центр перпендикулярно длине стрежня. В конец стержня попадает пуля массой 8 г, летящая горизонтально со скоростью 100 м/с, и застревает в стержне. С какой угловой скоростью начнет вращаться стержень?
• 162. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гантели массой 6 кг каждая. Длина руки человека 60 см. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/c. С какой угловой скоростью будет вращаться скамья с человеком, если он опустит руки с гантелями вниз вдоль оси вращения? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5. Гантели считать материальными точками.
• 163. На краю горизонтальной платформы стоит человек массой 80 кг. Платформа представляет собой круглый однородный диск массой 160 кг, вращающийся вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр, с частотой 6 об/мин. Сколько оборотов в минуту будет делать платформа, если человек перейдет от края платформы к её центру? Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
• 164. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с угловой скоростью 4 рад/с. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи 5. Длина стержня 1,8 м, его масса 6 кг. Считать, что центр тяжести стержня с человеком находится на оси вращения скамьи.
• 165. Цилиндрический вал вращается вокруг оси, проходящей через центры оснований, с частотой 6 об/с. Диаметр вала 0,6 м, масса 200 кг. Определить, какое количество теплоты выделилось при трении, если из-за этого частота вращения уменьшилась в 2 раза.
• 166. К ободу диска массой 5 кг приложена постоянная касательная сила 2Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через 5 секунд после начала действия силы?
• 167. Маховик вращается по закону, который задан уравнением = А + Вt + Сt², где — угол поворота, A = 2 рад, В = 32 рад/с, а С = - 4 рад/с². Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки. Момент инерции маховика 100 .
• 168. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав 80 оборотов, остановился. Определить момент сил торможения.
• 169. С наклонной плоскости скатывается без скольжения диск. Высота наклонной плоскости 5 м. Найти скорость центра тяжести диска у основания наклонной плоскости, если его начальная скорость равна нулю.
• 170. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью 5 м/с. Во сколько раз кинетическая энергия обруча больше, чем у сплошного цилиндра?
• 171. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью v = 0,6с (с — скорость света в вакууме). Во сколько раз замедляется течение времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?
• 172. При какой относительной скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25%?
• 173. Мюоны, рождаясь в верхних слоях атмосферы, при скорости 0,995с (с — скорость света в вакууме) пролетают до распада путь в 6 км. Определить: 1) собственную длину пути, пройденную ими до распада; 2) время жизни мюона для наблюдателя на Земле; 3) собственное время жизни мюона.
• 174. Синхрофазотрон дает пучок протонов, кинетическая энергия которых равна 10⁴ МэВ. Какую долю скорости света составляет скорость протонов в этом пучке?
• 175. Найти скорость релятивистской частицы, если ее полная энергия в 10 раз больше энергии покоя.
• 176. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в 4 раза?
• 177. Протон влетает со скоростью v = 0,9с (с — скорость света в вакууме) в тормозящее электрическое поле Какую разность потенциалов он сможет преодолеть?
• 178. На сколько процентов изменится продольный размер протона после прохождения им ускоряющей разности потенциалов 1 МВ?
• 179. Частица движется со скоростью v = 0,5с (где с — скорость света в вакууме). Какую долю полной энергии составляет кинетическая энергия частицы?
• 180. Импульс релятивистской частицы равен m₀c (m₀ — масса покоя частицы, с — скорость света в вакууме). Под действием внешних сил импульс частицы увеличился в 2 раза. Во сколько раз при этом увеличилась кинетическая энергия