Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра
Основная идея метода частотной выборки — замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье: Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид… Читать ещё >
Расчёт и анализ нерекурсивного цифрового фильтра (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
1. Краткое математическое описание методов расчёта
1.1. Общие положения
Цифровой фильтр полностью описывается своим разностным уравнением:
(1)
Для нерекурсивного цифрового фильтра и уравнение принимает вид:
(2)
Зная коэффициенты разностного уравнения, можно легко получить выражение для передаточной функции фильтра (для НЦФ):
(3)
Для образа выходного сигнала НЦФ справедливо выражение
(4)
где — z-преобразования выходного и входного сигналов фильтра.
Зная выражение (4) и учитывая, что z-преобразование функции единичного скачка равно 1, можно получить выражение для z-образа импульсной характеристики :
(5)
Из (5) следует, что отсчеты импульсной характеристики НЦФ численно равны коэффициентам разностного уравнения НЦФ, а сама импульсная характеристика и передаточная функция связаны парой z-преобразований (прямым и обратным).
Заменив в (4) z на, получим комплексную частотную характеристику:
(6)
Импульсная характеристика и комплексная частотная характеристика связаны парой преобразований Фурье:
(7)
(8)
Из комплексной частотной характеристики можно получить выражения для АЧХ и ФЧХ:
(9)
(10)
Во все вышеприведённые формулы входит интервал квантования. Чтобы от него избавиться, частоту обычно нормируют. Это можно сделать с помощью замены:
(11)
Так как интервал определения, то интервал определения. Исходными данными для проектирования фильтра является его АЧХ. Как правило, в зонах неопределённости АЧХ некоторым образом доопределяют с тем, чтобы избежать явления Гиббса («выбросы» характеристики в точках разрыва первого рода — «скачках»). В простейшем случае доопределить АЧХ можно линейным законом. В этом случае АЧХ проектируемого полосового фильтра будет выглядеть таким образом.
Аналитически АЧХ будет записываться в виде:
(12)
При проектировании часто полагают, что ФЧХ фильтра является линейной. В показывается, что в этом случае импульсная характеристика фильтра является либо симметричной (), либо антисимметричной (). Учитывая, что порядок фильтра может быть чётным и нечётным, существует четыре вида ИХ с линейной ФЧХ:
1. N — нечётное, ИХ — симметричная
2. N — чётное, ИХ — симметричная
3. N — нечётное, ИХ — антисимметричная
4. N — чётное, ИХ — антисимметричная цифровой фильтр выборка частотный
1.2 Метод частотной выборки
Основная идея метода частотной выборки — замену в выражениях (7) и (8) непрерывную частоту дискретизированной. В этом случае выражения (7) и (8) превращаются в пару дискретных преобразований Фурье:
(13)
(14)
Существует 2 метода дискретизации частоты (выражения записаны для нормированной частоты):
(15)
(16)
Выражения (13) и (14) записаны для первого метода дискретизации частоты. По условию задания необходимо использовать второй метод дискретизации частоты, в этом случае выражение (14) приобретает вид:
(17)
Из (17) следует, что для определения импульсной характеристики необходимо знать частотную характеристику. Её можно записать в показательной форме:
(18)
(19)
При чётном N:
(20)
При нечётном N:
(21)
Подставляя вместо, по выражениям (20) и (21) можно найти, а из (17) — .
1.3 Метод наименьших квадратов
При расчете коэффициентов импульсной характеристики используется формула вида:
после чего решается система уравнений:
и находятся коэффициенты Ск.
Далее из найденных Ск можно найти коэффициенты импульсной характеристики:
2. Расчётная часть
2.1 Расчёт методом частотной выборки
2.1.1 Расчёт импульсной характеристики
Расчёт импульсной характеристики для нечётных N осуществлялся по формулам (21) и (17), для чётных — по формулам (20) и (17). Результаты расчёта импульсной характеристики для N=15, 25 и 32 представлены в таблице 1.
Таблица 1. Результаты расчёта импульсной характеристики методом частотной выборки
i | Значение импульсной характеристики | |||
N=15 | N=25 | N=32 | ||
0,081 — 0,013 0,025 — 0,052 — 0,303 0,03 0,46 0,03 — 0,303 — 0,052 0,025 — 0,013 0,081 | 0,1 497 0,1 756 — 0,02 — 0,7 456 — 0,7 554 0,028 0,061 — 0,4 905 0,034 — 0,048 — 0,297 — 0,035 0,45 0,035 — 0,297 — 0,048 0,034 — 0,4 905 0,061 0,028 — 0,7 454 — 0,7 456 — 0,02 0,1 756 0,1 497 | 0,1 488 — 0,8 534 0,8 698 — 0,256 0,3 711 — 0,011 0,015 — 0,7 875 — 0,1 266 0,053 0,029 0,9 025 0,04 — 0,193 — 0,224 0,321 0,321 — 0,224 — 0,193 0,04 0,9 025 0,029 0,053 0,1 266 — 0,7 875 — 0,015 — 0,011 — 0,3 711 — 0,256 0,8 698 — 0,8 534 0,1 488 | ||
2.1.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ
Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты, взятой с шагом 0,01 (). На рисунках приведены графики рассчитанной АЧХ фильтра.
Для расчёта точности аппроксимации запишем функцию ошибки аппроксимации:
(32)
В таблице 2 приведены результаты расчёта точности аппроксимации .
Таблица 2. Результаты расчета точности аппроксимации для метода частотной выборки График функции точности аппроксимации для N=25
Максимальные ошибки аппроксимации (абсолютная погрешность) для трёх значений N приведены в таблице 3:
Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ, рассчитанной методом частотной выборки
Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ | |||
N=13 | N=25 | N=32 | |
0,125 | 0,082 | 0,049 | |
2.2 Расчёт методом наименьших квадратов
2.2.1 Расчёт импульсной характеристики
Результаты расчёта импульсной характеристики для N=13, 25 и 32 представлены в таблице. Учитывая симметрию импульсной характеристики, приведена только половина отсчётов.
Результаты расчёта импульсной характеристики методом наименьших квадратов
i | Значение импульсной характеристики | |||
N=13 | N=25 | N=32 | ||
0,055 — 0,4 049 0,035 — 0,042 — 0,296 0,03 0,45 | — 0,3 929 — 0,3 499 — 0,012 0,8 469 — 0,8 832 — 0,026 0,055 0,035 — 0,042 — 0,296 0,03 0,45 | 0,2 208 — 0,5 211 0,3 349 0,3 189 — 0,3 929 — 0,3 499 — 0,012 — 0,8 469 — 0,8 832 0,026 0,055 — 0,4 049 0,035 — 0,042 — 0,296 0,45 0,45 | ||
2.2.2 Расчёт АЧХ и ФЧХ
Расчёт АЧХ и ФЧХ осуществлялся по формулам (9) и (10) для 50 значений частоты, взятой с шагом 0,01 ().
Заданная по условию и рассчитанная АЧХ фильтра для N=25 (метод наименьших квадратов)
2.2.3 Расчёт точности аппроксимации
Точность аппроксимации оценивалась по формуле (32). В таблице (5) приведены результаты расчёта
Результаты расчета точности аппроксимации для метода наименьших квадратов В таблице 6 приведена максимальная (абсолютная) погрешность аппроксимации для различных значений N.
Абсолютная погрешность аппроксимации для метода наименьших квадратов
Абсолютная погрешность аппроксимации АЧХ | |||
N=135 | N=25 | N=32 | |
0,125 | 0,057 | 0,051 | |
2.3 Сравнение методов расчёта
Сравнивая результаты расчётов точности аппроксимации, приведённые в таблицах 2 и 6, можно сделать вывод, что метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при N=25 амплитудно-частотной характеристики по сравнению с методом частотной выборки. С увеличением порядка фильтра N точность аппроксимации увеличивается для обоих методов, но точность метода наименьших квадратов начинает уменьшаться по сравнению с методом частотной выборки.
Заключение
В данной курсовой работе был рассмотрен расчёт нерекурсивного цифрового фильтра двумя методами: методом наименьших квадратов и методом частотной выборки. Результаты расчётов точности аппроксимации для каждого метода позволяют сделать следующие выводы:
· Точность аппроксимации увеличивается с увеличением N (порядка фильтра)
· Метод наименьших квадратов обеспечивает более точную аппроксимацию при средних значениях N.