Зависимость теплоёмкостей от температуры. 
Истинная и средняя теплоёмкости

Опытные значения зависимости теплоёмкостей от температуры представляются в виде таблиц, графиков и эмпирических зависимостей. У большинства технических газов cv и cp возрастают с ростом температуры.

Из физики известно, что температура газа не связана колебательным движением атомов и молекул, а зависит от кинетической энергии их поступательного движения. Подводимая к газу теплота по мере роста температуры перераспределяется всё более и более в пользу колебательного движения и поэтому прирост температуры на одинаковый подвод теплоты замедляется.

Рис. 8. Зависимость теплоемкости от температуры

На рис. 8 опытные данные обозначены в виде звездочек. Сплошная линия — аппроксимирующая их кривая, подчиняющаяся уравнению:

c=c0 + at + bt2 + dt3 +… (93).

Здесь c0, a, b, d и т. д. — эмпирические коэффициенты (коэффициенты, полученные опытным путем). Аппроксимирующая кривая проводится с использованием метода наименьших квадратов или других аналогичных математических методов. В инженерных расчетах ограничиваются первыми двумя слагаемыми в правой части (93), то есть полагают зависимость теплоемкости от температуры линейной:

c=c0 + at (94).

В частности:

cv=c0v + at (95).

cр=c0р + at (96).

Все ранее полученные формулы, включая 94,95,96, относятся к истинной теплоемкости, то есть теплоемкости для конкретной (заданной) температуры В практических расчётах часто требуется знать среднее значение теплоёмкостей в заданном интервале температур от t1 до t2.

Обозначим среднюю теплоемкость как, или.

Средняя теплоемкость, в соответствие с рис. 9 определяется как средняя линия трапеции.

С учетом (94):

=.

или окончательно:

(97).

Конкретные значения С0 и, а содержатся в справочной литературе по теплофизическим характеристикам веществ. Связь между средним и истинным теплоемкостями выражается формулой:

(98).

В тех случаях, когда зависимость теплоёмкости от температуры не удаётся удовлетворительно аппроксимировать зависимостью c=c0+at, можно воспользоваться формулой для нелинейной зависимости:

(99).

Для оценочных (не очень точных) расчетов, когда отсутствуют опытные данные для теплоемкости в виде таблиц или эмпирических формул, можно воспользоваться результатами молекулярно-кинетической теории газов.

Из молекулярно-кинетической теории газов известно соотношение:

U = 12,56T (100).

Здесь U — внутренняя энергия одного киломоля идеального газа, Т — абсолютная термодинамическая температура, К.

Для массовой изохорной теплоемкости идеального газа, ранее было получено (73):

Так как и, то молярная изохорная теплоемкость равна:

(101).

Подставляя (100) в (101) получим:

Молярную изобарную теплоемкость сµp найдем из уравнения Майера:

cp — cv = R = 8,314, откуда.

cp=cv+R=12,56+8,314 20,93 (103).

Как следует из (102) и (103), по молекулярно-кинетической теории газов теплоемкости не зависят от температуры, то есть берутся средним значением и во всем диапазоне температур. Именно в этом заключается оценочный характер этих значений.

Понятию идеального газа в большей степени соответствуют одноатомные газы при малых давлениях. На практике же, чаще всего приходится иметь дело с двухатомными, трехатомными и более атомными газами.

Например, воздух — двухатомный газ, так как он по объёму на 79% состоит из азота (N2) и на 21% из кислорода (O2).

Для оценочных расчетов можно пользоваться следующей таблицей:

Табл. 6.

Примечание: в этой таблице, во второй и третьей строчках теплоемкости скорректированы по результатам опытов.

У реальных газов, в отличие от идеального, теплоёмкости могут зависеть не только от температуры, но и от объёма и давления.