Ток и напряжение при последовательном соединении R, L, С

Пусть в схеме рис. 1.3, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R, индуктивности L, емкости С, известен ток При последовательном соединении сопротивлений ток, протекающий через каждый элемент, имеет одно и то же значение.

Уравнение для этой цепи имеет вид.

Подставим значение тока в это уравнение.

Из полученных выражений для ur, uL, uC видно, что напряжение на сопротивлении r совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол /2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол /2.

На рис. 1.4 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений для частного случая, когда амплитуда напряжения та катушке больше амплитуды напряжения на конденсаторе и i > 0. Синусоида иr совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды иL и иС сдвинуты относительно тока на угол /2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Ордината кривой напряжения состоит из суммы ординат кривых иr + иL + иC = и. Запишем комплекс действующего значения тока и комплексы действующих значений напряжений на основании выражений для мгновенного тока и мгновенных напряжений: где действующее Значение тока.

В выражениях для и учтено, что.

Сумме синусоидальных напряжений соответствует сумма изображающих их векторов или комплексов их действующих значений напряжений.

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме. Представим его на векторной диаграмме рис. 1.1. Напряжение ur соответствует по фазе с током i, поэтому вектор изобразим одинаково направленным с вектором. Напряжение uL опережает по фазе i на /2, поэтому вектор сдвинем относительно вектора на угол /2 «вперед» (против направления движения часовой стрелки). Напряжение uC отстает по фазе от i на /2, поэтому вектор сдвинем относительно вектора на угол /2 «назад» (по направлению движения часовой стрелки). Эти соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следуют из записи выражений комплексных напряжений, , и тока .

Действительно, вектор получается умножением на вещественную величину r. Аргумент комплексной величины такой же, как комплексного тока, поэтому направление вектора совпадает с направлением вектора. Вектор получается умножением на. Умножение тока на вещественную величину не изменяет аргумента, а умножение на увеличивает аргумент на /2. Следовательно, вектор повернут относительно вектора на угол /2 «вперед». Вектор получается делением на. Деление комплексной величины на не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на, уменьшает аргумент на /2. Следовательно, вектор повернут относительно вектора на угол /2 «назад».

Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на /2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j часто называют оператором поворота на /2. Сложив векторы, и, получим вектор. Его длина определяет действующее напряжение, а положение относительно координатных осей — начальную фазу u.

Решим, ту же задачу аналитически. Напомним, что был задан ток. На основании последних выкладок можно записать:

Или.

где — комплексное сопротивление.

Это соотношение между комплексными напряжениями и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, имеем Где.

Получаем.

Заметим.

Так как и то.

Таким образом, амплитуда Um и начальная фаза u напряжения на зажимах цепи определены, и можно записать выражение для мгновенного напряжения.