Задачи для самостоятельного решения

Классическая вероятность.

• 2.1. Построить пространство элементарных исходов для эксперимента, в котором монета бросается три раза.
• 2.2. В театральной кассе трое любителей театра покупают билеты на сегодня. На стенде висит перечень из четырех театров во главе с Большим, куда сегодня еще можно попасть. Найти вероятность того, что: а) все покупатели купят билеты в Большой театр; б) все покупатели купят билеты в один театр; в) все покупатели купят билеты в разные театры.
• 2.3. В корзине с фруктами лежат шесть апельсинов и три минеолы. Ребенок наугад вынимает для себя и сестры два фрукта. Найти вероятность того, что это будут: а) две минеолы; б) апельсин и минеола.
• 2.4. В корзине лежат пять апельсинов и три грейпфрута. Из корзины извлекается случайным образом четыре фрукта. Найти вероятность того, что среди них окажется один грейпфрут.

• 2.5. В корзине с фруктами лежат три грейпфрута, четыре минеолы и пять апельсинов. Из корзины случайным образом берутся три фрукта. Какова вероятность, что это будет один вид цитрусовых.
• 2.6. Мешок с картофелем содержит 20% брака. Найти вероятность того, что в 25% взятого из мешка картофеля не более 5% брака.
• 2.7. В вагон ночной электрички в пункте отправления сели шесть человек. На своем пути электричка делает 10 остановок. Пассажиры выходят на разных остановках, но трое вышли на одной. Найти вероятность такого события.
• 2.8. На четыре междугородных автобуса по 40 мест каждый, готовящиеся к отправлению с автовокзала, осталось в кассе пять свободных мест. Найти вероятность того, что свободные места будут в каждом автобусе.
• 2.9. Десять человек вошли в лифт на первом этаже одиннадцатиэтажного дома. Найти вероятность того, что три пассажира вышли на одном этаже, два — на другом, остальные — еще на одном.
• 2.10. В подарочном наборе из фигурного шоколада имеются шоколадные фигурки четырех видов по 5 шт. Найти вероятность того, что случайно вытащенные шесть шоколадных фигурок представляют все разнообразие набора.
• 2.11. На стол высыпают мелочь из шести монет. Найти вероятность того, что выпадет не более двух «орлов».
• 2.12. Десять человек становятся случайным образом один за другим. Какова вероятность того, что: а) два приятеля, А и В, встанут рядом; б) между А и В встанет один человек; в) среди 10 человек 8 девушек, две из которых встали между, А и В.
• 2.13. Найти вероятность максимального выигрыша в «Спортлото 6 из 49» (угадать шесть цифр из 49).
• 2.14. В пачке 1000 лотерейных билетов, из которых 10 выигрышные. Какова вероятность выиграть хоть что-нибудь, имея три билета?
• 2.15. Из колоды в 36 карт извлекается одна карта. Она фиксируется и возвращается в колоду, которая тасуется. Опять извлекается одна карта. Сколько раз надо перетасовать карты, чтобы с вероятностью 0,99 быть уверенным в том, что извлеченная в очередной раз из колоды карта есть: а) карта трефовой масти; б) туз.
• 2.16. Из колоды в 36 карт извлекаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется: а) хотя бы одна карта трефовой масти; б) хотя бы один туз.
• 2.17. Найти вероятность того что в трехзначном номере: а) все цифры разные; б) каждая следующая цифра разряда на единицу больше предыдущей; в) разные четные цифры; г) имеется одна четная цифра и две разных нечетных цифры.
• 2.18. Зная, что в шестизначном номере все цифры разные, найти вероятность того, что: а) в нем только одна четная цифра; б) всего две четные цифры.

• 2.19. В цокольном этаже десятиэтажного дома в лифт вошли 10 человек. Какова вероятность того, что: а) лифт останавливался на каждом из 10 этажей; б) хотя бы на одном этаже вышли по крайней мере два человека?
• 2.20. На остановке 10 человек случайным образом выбирают один из 10 вагонов поезда. Найти вероятность того, что они:
  • а) окажутся в первом вагоне;
  • б) окажутся в одном вагоне;
  • в) окажутся в разных вагонах;
  • г) займут все вагоны, кроме одного.
• 2.21. Каждая игрушка в детском магазине содержит в упаковочной коробке одну из букв И, Г, Р, А. Собравшему все буквы дарят еще одну игрушку. Мама купила малышу пять игрушек. Какова вероятность того, что он получит приз?
• 2.22. В каждом «Киндер-сюрпризе» внутри шоколадного яйца находится один детский подарок: машинка, самолетик и т. д., всего пять вариантов. Как изменится у малыша вероятность собрать комплект игрушек при покупке шестого шоколадного яйца?
• 2.23. Школьник раскладывает свои учебники по шести предметам по полкам. Найти вероятность того, что:
• 1) на имеющихся трех полках будет разное количество учебников;
• 2) на первой полке лежат четыре учебника;
• 3) не осталось пустых полок.
• 2.24. Четыре машины, двигавшиеся по одной дороге и подъехавшие к перекрестку, разъезжаются по трем направлениям. Какова вероятность того, что:
  • а) ровно в одном направлении поехали две машины;
  • б) хотя бы в одном направлении поехали две машины;
  • в) две машины поехали в одном направлении, две другие машины вместе выбрали иное направление;
  • г) машины разъехались по всем направлениям;
  • д) налево повернули две машины?

Геометрическая вероятность.

• 2.25. Первую точку бросили на отрезок [0; 2], вторую точку — на отрезок [0; 1]. Какова вероятность того, что первая точка оказалась левее второй?
• 2.26. На отрезок [0; 3] наудачу брошены две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними больше единицы?
• 2.27. Точку бросают случайным образом на квадрат площадью 100 см². Какова вероятность того, что координаты х, у этой точки отличаются между собой не более чем на 1 см?
• 2.28. В круг наудачу брошены 10 точек. Какова вероятность того, что все они попадут:
  • а) в нижнюю половину круга;
  • б) в заданный сектор крута с центральным углом 60°.

• 2.29. Две знакомые мамы приходят забирать своих малышей из детского сада между 18 и 19 часами вечера. Найти вероятность того, что они встретятся, если на то, чтобы забрать ребенка, уходит обычно 10 мин.
• 2.30. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Найти вероятность того, что ни одному из теплоходов не придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода 1 ч, а второго — 2 ч.
• 2.31. На квадрат ABCD брошена точка. Найти вероятность того, что она образует с вершинами, А и В тупоугольный треугольник.
• 2.32. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а брошена монета радиусом г (2г < а). Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одну из сторон квадрата.

Элементы теории множеств.

• 2.33. Обозначим через А, В, С элементарные события. Выразить, используя А, В, С, следующие события: а) произошли все три события; б) произошло не менее одного события; в) произошли хотя бы два события; г) произошли ровно два события; д) произошло ровно одно событие; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий
• 2.34. Определим события, А — хотя бы одно из трех изделий бракованное, В — все три изделия качественные. Что означают события: а) А + -г В; б) АВ?
• 2.35. Рабочий обслуживает три автоматических станка. События А, В, С заключаются в том, что первый, второй или третий станок соответственно потребует внимания рабочего в течение часа. Что означают события: а) АВС; б) А + В + С; в) АВС + АВС + АВС; г) АВС + АВС + АВС;
• д) АВС?
• 2.36. Бабушка вышла с тремя внуками на детскую площадку и отпустила их поиграть. Пусть А, В, С — события, заключающиеся в том, что поведение кого-то из внуков потребует внимания. Представить события: а) два малыша потребуют внимания; б) не более двух малышей потребуют внимания; в) хотя бы один из них своим поведением привлечет внимание бабушки.

Условная вероятность.

• 2.37. Рабочий вынимает одну за другой детали из контейнера с четырьмя годными и четырьмя негодными деталями. Какова вероятность того, что:
  • а) годной окажется только третья по счету деталь, вынутая из контейнера;
  • б) годными окажутся первая и последняя детали, вынутые из ящика?
• 2.38. Решить задачу 2.42, перенумеровав детали.

• 2.39. В течение дня студент занимался в пяти аудиториях, в двух из них оставив вещи. Какова вероятность того, что, обходя аудитории, забытые вещи он найдет в первой и второй аудиториях?
• 2.40. Зная, что в пятизначном номере все цифры разные, найти вероятность Р (В|А) того, что:
  • а) среди них есть ровно одна нечетная цифра. Какова вероятность Р (АВ) того, что в этом номере все цифры оказались разными (А) с ровно одной нечетной цифрой (В);
  • б) что среди них есть цифры 1 и 2. Какова вероятность Р (АВ) того, что в этом номере все цифры оказались разными (А), причем среди них есть цифры 1 и 2 (В)?
• 2.41. В цокольном этаже в лифт восьмиэтажного дома вошли шесть человек. Найти: а) при заданном условии, что все вышли на разных этажах (событие А), вероятность Р (В|А) того, что на первых трех этажах вышли два человека; б) вероятность Р (АВ) того, что все вышли на разных этажах, причем на первых трех этажах вышли двое.
• 2.42. Пять человек садятся в поезд из семи вагонов. Найти:
  • а) при заданном условии, что ровно два вагона остались пустыми (А), вероятность Р (В|А) того, что первый и второй вагоны окажутся заняты;
  • б) вероятность Р (АВ) того, что два вагона остались пустыми, кроме первого и второго.
• 2.43. В саду расцвели семь красных, шесть желтых и пять белых роз. Садовник срезал букет из трех роз. Найти:
  • а) при заданном условии, что ни одна желтая роза не срезана, вероятность Р (В | А) того, что в букете есть розы разного цвета;
  • б) вероятность Р (АВ) того, что срезанные розы оказались красного и белого цветов.
• 2.44. В трех автопарках стоят шесть детских машинок. Найти:
  • а) при заданном условии, что ни один автопарк не пустует, вероятность Р (В |А) того, что во всех автопарках стоит по две машинки;
  • б) вероятность Р (АВ) того, что во всех автопарках окажется равное число машинок.
• 2.45. В трех автопарках стоят пять детских машинок. Найти:
  • а) при заданном условии, что ни один автопарк не пустует, вероятность Р (В | А) того, что в первом автопарке стоит одна машинка;
  • б) вероятность Р (АВ) того, что машинки распределены по всем автопаркам, причем в первый автопарк попала только одна машинка.
• 2.46. Ящик для игрушек заполнен легковыми и грузовыми машинками. Малыш берет одну за другой шесть машинок и, поиграв с каждой, кладет на место. Найти:
  • а) при заданном условии, что среди взятых им машинок есть грузовые, вероятность Р (В|А) того, что среди них будут также и легковые: две или больше;

• б) вероятность Р (АВ) того, что среди взятых для игры шести машинок есть грузовые и не менее двух легковых, если в ящике находилось 15 машинок, среди них пять грузовых.
• 2.47. Двое шахматистов равной силы играют матч из четырех партий (без учета ничьих). Найти:
  • а) при заданном условии, что в процессе игры каждый выиграл хотя бы один раз (Л), вероятность Р (В |Л) того, что в матче победил первый;
  • б) вероятность Р (АВ) того, что каждый выиграл хотя бы один раз, но в матче победил первый?
• 2.48. Бросают три кубика. Найти:
  • а) при заданном условии, что на всех кубиках выпали разные грани (Л), вероятность Р (В|Л) того, что на одном из них выпадет шестерка;
  • б) вероятность Р (ЛВ) того, что при выпадении разных граней на одной из них оказалась шестерка.

Полная вероятность.

• 2.49. В текущем году технопарк стимулирует работу четырех венчурных высокотехнологичных компаний, бизнес-проект каждой из которых может закончиться неудачей с вероятностью 0,1. В случае неудачи одной компании вероятность убытка технопарка равна 0,2, двух — 0,5, трех — 0,7, четырех — 0,9. Найти вероятность того, что деятельность технопарка оказалась убыточной.
• 2.50. В соответствии с договором доверительного управления ценными бумагами брокерская управляющая компания не должна совершать сделки займа ценных бумаг с конечным риском выше 5%. Компания вложила 80% средств клиента в ценные бумаги с доходом 10% и риском 3%, 15% — в ценные бумаги с доходом в 20% и риском 10%, 5% — в ценные бумаги с доходом 40% и риском 20%. Выполнила ли брокерская компания условия договора? На какой доход может рассчитывать клиент?
• 2.51. Двенадцать студентов явились на пересдачу. Двое из них слабо подготовились и намерены воспользоваться шпаргалкой. Студенты были разведены поровну по двум аудиториям, в каждой из которых находился преподаватель. Один из них в 9 случаях из 10 обнаруживает факт списывания, другой — только в трех случаях. Найти вероятность, что списывающие студенты будут обнаружены.
• 2.52. Из 10 лотерейных билетов три выигрышных. При подготовке вечера два билета потеряли, и было решено добавить один выигрышный. Какой стала вероятность вытянуть выигрышный билет?
• 2.53. Есть два пакета конфет, в каждом из которых из девяти конфет пять шоколадных. Из первого пакета достали две конфеты, после чего остальные смешали с конфетами из второго пакета. Какой стала вероятность достать шоколадную конфету?

Формула Байеса.

• 2.54. В управляющей компании из 20 сотрудников шестеро работают в центральном аппарате, остальные — в региональных офисах. Один из сотрудников уволился. Найти вероятность, что он работает в региональном офисе, если вероятность ухода сотрудника из центра равна 0,05, из регионального офиса — 0,03.
• 2.55. Пожарная сигнализация срабатывает с вероятностью 0,999 в случае задымления офиса и с вероятностью 0,002, когда в помещении накурено. Вероятность пожарной ситуации равна 0,004 сут^-1. Найти вероятность того, что возникла реальная угроза задымления, если сигнализация сработала.
• 2.56. Проводится экскурсия для группы школьников, в которой 70% девочек и 30% мальчиков. Ребята в процессе проведения экскурсии обращаются с вопросами к экскурсоводу. Вероятность того, что обратится девочка, равна 0,6. Вероятность возникшего по ходу экскурсии вопроса у мальчика — только 0,1. Найти вероятность того, очередной вопрос экскурсоводу задал мальчик.
• 2.57. Студенты, пользуясь электричкой, покупают билеты в среднем в 8 случаях из 10. Не имея билета, они вынуждены прибегать к хитрости, скрываясь от контроля. Контролеры выявляют безбилетников с вероятностью 0,95. При проверке безбилетники не были обнаружены. Найти вероятность того, что тем не менее кто-то едет без билета.
• 2.58. Из опыта известно, что 90% новых автомобилей приходят с завода с дефектами. При эксплуатации возникают новые. В течение гарантийного срока выявляются и устраняются 70% дефектов сборки и только 10% дефектов, возникших в процессе эксплуатации. Какова вероятность того, что при очередном посещении гарантийной мастерской придется устранять дефекты сборки?
• 2.59. Руководитель тургруппы приобрел 10 билетов в Большой театр и 15 билетов в Малый. В суматохе один билет был потерян. Туристы тянули наугад билеты и первым двум достались билеты в Большой. При этом условии найти вероятность того, что был потерян билет в Малый театр.
• 2.60. Коммерческая компания зарегистрирована в трех офшорных зонах, в одну из которых с вероятностью 0,3 она переводит свой капитал. Контроль за офшорными зонами не выявил транзакций в две из них. Найти вероятность перевода денежных средств в третью офшорную зону.
• 2.61. Опытные охотники из засады одновременно стреляют в бегущего им навстречу волка. Один охотник имеет на своем счету девять попаданий из десяти, другой — четыре из пяти. Какова вероятность, что оба промахнутся?