Закон сохранения заряда, первое уравнение непрерывности

Одно из основных положений электромагнетизма состоит в том, что ни при каких условиях заряды не могут возникать или пропадать бесследно. Если в каких-либо условиях возникнет положительный заряд, то обязательно должен возникнуть и отрицательный заряд и, таким образом, суммарный заряд не изменяется. Этот факт называют законом сохранения заряда. Он приводит к уравнению непрерывности, сущность которого сводится к следующему. Если в некотором объеме изменяется плотность электрических зарядов во времени, то через поверхность, ограничивающую этот заряд, пойдет ток.

Получим уравнение непрерывности из закона сохранения заряда. Для этого возьмем некоторый замкнутый объем V, содержащий электрический заряд q _э. Если объемную плотность обозначить _э, то.

(1.10).

С течением времени заряд может изменяться (рис. 1.1), но, в соответствии с законом сохранения, это изменение должно происходить только за счет пересечения зарядами поверхности, ограничивающей объем. Процесс движения заряда через поверхность и есть ток через нее. Плотность тока можно определить, воспользовавшись выражением (1.4). В это выражение должна входить нормальная к поверхности скорость заряженной частицы, поскольку только она и определяет ток. Если ввести вектор, численно равный площади элемента dS и направленный по нормали к поверхности, то ток через поверхность dS:

dI = (). (1.11).

Полный ток через всю поверхность, ограничивающую объем, определится интегрированием плотности тока по этой замкнутой поверхности.

I_э = (1.12).

С другой стороны, если заряженные частицы пересекают поверхность, то изменяется заряд в объеме. Это изменение можно посчитать, если умножить ток на промежуток времени, в течение которого он проходил через поверхность.

dq_э = - I_Эdt. (1.13).

Знак минус перед током возникает, поскольку при положительном значении тока (ток направлен из объема), заряд в объеме уменьшается.

В соответствии с законом сохранения заряда нет никакой другой причины для изменения заряда в объеме, кроме прохождения тока через его поверхность. Поэтому электрический ток, рассчитанный из (1.12) и (1.13) должен быть один и тот же.

. (1.14).

Это интегральная форма первого уравнения непрерывности. Заряд может изменяться не только во времени, но и в пространстве. Поэтому для заряда записана частная производная. Воспользуемся выражением (1.10), связывающим заряд с его плотностью и получим.

= .

Если в некотором объеме плотность электрических зарядов не изменяется во времени, то ток через поверхность, ограничивающую этот заряд, отсутствует. Перейдем от интегральной формы уравнения непрерывности к дифференциальной. Для этого воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса в правой части равенства и преобразуем интеграл по поверхности от плотности электрического тока, в интеграл по объему от его дивергенции:

.

Из-за полной произвольности объема это равенство возможно лишь тогда, когда равны подынтегральные выражения, то есть:

. (1.15).

дифференциальная форма первого уравнения непрерывности, которая утверждает, что изменение плотности электрического заряда во времени в выбранной точке пространства приводит к возникновению электрического тока в этой точке.