Лемма Лоренца. 
Теорема взаимности

Пусть в линейной изотропной среде имеются две независимые группы источников, одна из которых характеризуется сторонними электрическими токами с плотностью, а вторая — токами с плотностью Первая группа источников создает монохроматическое электромагнитное поле удовлетворяющее уравнениям.

Умножим уравнение скалярно на вектор, а на H₁, и почленно вычтем второе равенство из первого:

Аналогично умножим скалярно на вектор и почленно вычтем из полученного результата равенство (30), скалярно умноженное на вектор

Применяя к левым частям формул (33) и (34) известное тождество и вычитая затем почленно (34) из (33), получаем.

Равенство называют леммой Лоренца. На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаимности, имеющая фундаментальное значение. Предположим, что источники первой группысосредоточены в конечном объеме, а источники второй группы — в конечном объеме Области ипространственно разделены (не пересекаются друг с другом).

Интегрируя равенство по произвольной области включающей в себя и (рис. 9), и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем.

где S — поверхность, ограничивающая объем V.

Соотношение является интегральной формулировкой леммы Лоренца.

Распространим интегрирование в уравнении (46) на все пространство. При этом поверхность S уйдет в бесконечность. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что амплитуды векторов убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем (см. теорему единственности). Тогда при левая часть уравнения (36) обратится в нуль. Учитывая, кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токовотличен от нуля только в объемеа вектор-только в объемеполучаем.

В полученном выражениивектор напряженности электрического поля, создаваемого в точках объематокамираспределенными в объеме, анапряженность электрического поля, создаваемого в точках объема токами, протекающими в объеме Соотношение является одной из наиболее общих математических формулировок теоремы взаимности.

Выясним некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы. Предположим, что объемы и и распределение токов в них совершенно одинаковы. В этом случае векторытакже будут одинаковыми. Например, пусть имеются две одинаковые антенны 1 и 2 с одинаковым распределением токов. Тогда вне зависимости от того, является ли разделяющее антенны пространство однородным или неоднородным, можно утверждать, что антенна 1 создает у антенны 2 такое же поле, какое антенна 2 создает у антенны 1.

На основе теоремы взаимности можно также доказать, что диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве передающей. Применение теоремы взаимности в ряде случаев позволяет существенно упростить решение электродинамических задач.

При доказательстве теоремы взаимности предполагалось, что среда, заполняющая рассматриваемое пространство, является линейной и изотропной. Предположим теперь, что среда, оставаясь линейной, является анизотропной. В этом случае параметры (оба или по крайней мере один из них) будут тензорами.

Тогда вместо уравнения получаем Теорема взаимности будет верна только в том случае, если выполняются равенства Для этого необходимо, чтобыбыли симметричными тензорами Это условие выполняется для большинства кристаллических сред. Однако в случае гиротропных сред (например, ферритов) тензор является антисимметричным и разностьоказывается отличной от нуля. Поэтому для гиротропных сред теорема взаимности несправедлива.