Типовые примеры. 
Теория статистики

Пример 8.1. Выполнено выборочное обследование 12 организаций оптовой торговли. Результаты представлены в табл. 8.5.

Таблица 8.5

Данные для примера 8.1.

Определите зависимость между товарооборотом и временем обращения товарных запасов.

Решение

Так как товарооборот зависит от покупателей, а время обращения товарных запасов — от товарооборота, то товарооборот является факторным признаком, а время обращения — результирующим. Построим график зависимости времени обращения (10 от розничного товарооборота (X). Для удобства зрительного восприятия выберем точечный тип графика (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Зависимость времени обращения от объема розничного товарооборота

Построим линию тренда. Для этого может быть использовано программное средство MS Excel или другое. Тип линии может быть определен зрительно на основании расположения точек графика с учетом объективной экономической взаимосвязи показателей. Если это затруднено, то рекомендуется построить несколько диаграмм с разными типами линий тренда и сравнить их (при этом необходимо задать опции «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R²)» и «Показать уравнение на диаграмме»). Для этого создайте 9 копий диаграммы и выполните указанные действия для всех основных типов линий тренда. Анализ значений R² для различных типов линий тренда (особенности выбора формы модели указаны в параграфе 8.4) позволяет сделать вывод, что наиболее точно реально существующие зависимости между показателями в рассматриваемой выборке описывают степенная функция и полиномиальные функции 4—6-й степеней. Напомним, что такой анализ можно проводить только с одновременным зрительным сравнением графиков.

Зрительный анализ линий тренда позволяет сделать вывод, что полиномиальные функции 5-й и 6-й степеней для описания линии тренда непригодны из-за относительно высокой колеблемости, полиномиальные функции 2-й, 3-й, 4-й степеней и логарифмическая искажают реально существующую зависимость при значениях оптового товарооборота более 75 млн руб. Графики линейной (полином 1-й степени) и экспоненциальной функций не проходят «примерно на равном удалении от большинства точек». Достаточно хорошо описывает существующую зависимость степенная функция, она проста и удобна для моделирования. Соответственно, для описания данного процесса целесообразно выбрать ее (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Степенной тренд.

Анализируя ее график, можно сделать вывод, что при небольшом объеме оптового товарооборота (примерно до 30 млн руб.) время обращения товарных запасов существенно зависит от объема товарооборота, при дальнейшем возрастании товарооборота зависимость ослабевает и при больших его значениях (более 70 млн руб.) почти стабилизируется на уровне примерно 8 дней. Характеристики торгового предприятия № 8 существенно отличаются от остальных, и можно предположить, что оно нетипично для данной совокупности. Для прогнозирования времени обращения товарных запасов может использоваться функция у = 36,614л:^-0'³⁵³⁹.

С экономических позиций сокращение времени обращения товарных запасов всегда выгодно для торгового предприятия. Кроме того, снижение «чувствительности» времени обращения к величине товарооборота также «положительно» для предприятия. Соответственно, можно рекомендовать для предприятий торговли такого типа товарооборот не менее 70 млн руб., если этому не препятствуют другие причины.

Пример 8.2. Выполнено выборочное обследование 10 сельскохозяйственных предприятий (табл. 8.6).

Таблица 8.6

Данные для примера 8.2.

Определите зависимость величины средней выработки одного сотрудника от уровня механизации труда.

Решение

Построим точечный график зависимости дневной выработки (У) от уровня механизации труда (X). Получим диаграмму, представленную на рис. 8.3. Создадим 9 копий диаграммы, построим соответственно 9 основных типов линий тренда (рекомендуем выполнить построения самостоятельно, как указано в примере 8.1). Коэффициенты достоверности аппроксимации (R²) получаются следующие: для полиномиального тренда 6-й степени — 0,9679; для полиномиального тренда 5-й степени — 0,9608; для полиномиального тренда 4-й степени — 0,9498; для полиномиального тренда 3-й степени — 0,9119; для полиномиального тренда 2-й степени — 0,8779; для линейного тренда — 0,828; для степенного тренда — 0,8649; для логарифмического тренда — 0,8733; для экспоненциального тренда — 0,7944.

Рис. 83. Зависимость величины дневной выработки сотрудника от уровня механизации труда.

Оценочный анализ значений R² для различных типов линий тренда (особенности см. выше) позволяет предположить, что наиболее точно реально существующие зависимости между показателями в рассматриваемой выборке описывают полиномиальные функции 5—6-й степеней. Напомним, что такой анализ можно проводить только с одновременным зрительным сравнением графиков. Однако графики этих функций колеблются достаточно сильно, имеют существенные отклонения от исходных точек. Графики полиномиальной функции 2-й степени и логарифмической достаточно хорошо отражают общую тенденцию, имеют высокие R² и больше соответствуют известным общеэкономическим закономерностям. Принципиальное отличие этих двух графиков состоит в следующем: полином 2-й степени имеет экстремум, логарифмический тренд экстремума не имеет и возрастает с замедлением при увеличении уровня механизации труда.

Из условия задачи следует, что исходные данные приведены для сельскохозяйственного предприятия в целом для.

«усредненного сотрудника». Поэтому представляется более оправданным выбор логарифмического тренда, соответствующего известному экономическому принципу «каждое последующее увеличение производительности труда обычно обходится дороже». Если бы, например, исследовалась зависимость между количеством приобретаемых для склада погрузчиков и средней производительностью труда, то следовало бы предпочесть полином 2-й степени, так как в условиях ограниченного пространства склада начиная с некоторого числа погрузчиков они начнут мешать друг другу и итоговая производительность труда будет уменьшаться. Поэтому выберем логарифмическую функцию (рис. 8.4). Для прогнозирования дневной выработки можно использовать функцию у = ЗД9721п (лг> — 8,6584.

При этом следует помнить, что зависимость построена на основе выборки численностью всего 10 единиц, справедлива только для сельскохозяйственных предприятий данного типа и только в пределах указанного на графике диапазона изменения переменной х.

Рис. 8.4. Логарифмический тренд Пример 8.3. Известна следующая информация о величине валового регионального продукта (ВРП) одного из регионов РФ и динамике производительности труда в этом регионе в период 2002—2010 гг. (табл. 8.7). Индексы изменения производительности труда в регионе рассчитаны исходя из абсолютных значений этого показателя в постоянных ценах. ВРП приведен в текущих ценах.

Таблица 8.7

Данные для примера 8.3

Проанализируйте зависимость между индексами изменения производительности труда и индексами изменения ВРП.

Решение

Для анализа взаимосвязи между показателями предварительно исключим влияние инфляции с использованием индекса-дефлятора валового внутреннего продукта (ВВП) РФ (табл. 8.8), приведенного на официальном сайте Федеральной службы государственной статистики. Дефлятор ВВП для страны в целом используется из-за отсутствия аналогичного регионального показателя. Это приводит к небольшому огрублению результатов, но не вызывает существенных ошибок в описании зависимости между указанными показателями.

Таблица 8.8

Величина дефлятора валового внутреннего продукта РФ

Разделим каждое значение ВРГ1 на соответствующее этому году значение индекса-дефлятора ВВП. Необходимо отметить, что таким способом можно учитывать инфляцию, только если конечный результат будет представлен в виде цепных индексов. Иначе необходимо было бы для каждого года рассчитать индексы накопленной инфляции, а затем ВРП разделить на полученные индексы (методика расчета величин накопленной инфляции аналогична определению базисных индексов в рядах динамики). Далее рассчитываем цепные индексы ВРП. Результаты представлены в табл. 8.9.

Таблица 8.9

Откорректированные данные.

Рассчитаем коэффициент корреляции (для этого может быть использовано программное средство MS Excel или другое). Он равен 0,967, что свидетельствует о наличии сильной прямой зависимости между значениями показателей. Полученные результаты изобразим на графике точечного типа (рис. 8.5). При этом по оси х отложим значения индексов изменения производительности труда в регионе, по оси у — индексов ВРП (по х — «причину», по у — «следствие»). На основании зрительного анализа графика и с учетом высокого коэффициента корреляции можно сделать вывод, что данная зависимость лучше всего аппроксимируется линейной функцией. Построим линию тренда, отобразим ее уравнение и коэффициент аппроксимации R².

Прохождение тренда примерно посередине между всеми точками и высокое значение R² подтверждают правильность выбора типа тренда. Построение линий тренда других типов и оценивание их пригодности нецелесообразно. Для моделирования указанной зависимости может быть использована функция у = 4,0199х-289,14.

В соответствии с уравнением увеличение индекса производительности труда на 1% приводит к увеличению индекса ВРП примерно на 4%. Значение свободного члена уравнения экономической интерпретации в данном случае не имеет.

Рис. 8.5. Линейный тренд.

Обратите внимание, что по условию задачи требовалось проанализировать не зависимость производительности труда и ВРП, а зависимость индексов их изменения.

Пример 8.4. Выборочно обследованы 20 производственных предприятий отрасли. Результаты представлены в первых трех столбцах табл. 8.10.

Таблица 8.10

Результаты обследования предприятий для примера 8.4.

Окончание табл. 8.10

Определите зависимость издержек производства от объема произведенной продукции.

Решение

Построим диаграмму — точечный график зависимости издержек производства (у) от объема произведенной продукции («г). Получим график, представленный на рис. 8.6. Рассчитаем коэффициент корреляции (для этого может быть использовано программное средство MS Excel или другое). Он равен 0,969, что свидетельствует о наличии сильной прямой зависимости между значениями показателей.

Рис. 8.6. Зависимость издержек производства от объема произведенной продукции.

Зрительный анализ расположения точек и высокий коэффициент корреляции дают основание предположить, что данная зависимость достаточно хорошо описывается функциями, близкими к линейной на этом интервале значений х. Как следует из известных общеэкономических принципов, зависимости такого типа в большинстве случаев должны описываться логарифмической или близкой к параболической функцией. Построим 3 указанных типа линий тренда и сравним их (рекомендуем читателю выполнить построения самостоятельно, как указано в примере 8.1). Коэффициенты R² получаются практически одинаковыми: для линейного тренда — 0,9392; для логарифмического тренда — 0,9365; для полинома 2-й степени — 0,9472.

Зрительно логарифмический и параболический тренды значительно лучше описывают зависимость, чем линейный, и больше соответствуют известным общеэкономическим закономерностям о влиянии масштаба производства на величину издержек (себестоимость продукции). Однако коэффициент при х² в уравнении полиномиальной функции 2-й степени очень мал. Кроме того, по данной выборке нет оснований делать вывод о наличии экстремума. Поэтому выберем логарифмический тренд (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Логарифмический тренд.

Для прогнозирования уровня издержек производства аналогичных производственных предприятий может быть использована функция г/ = 20,4091п (х)-91,419.

Вычислим доли издержек производства в объеме производства для каждого предприятия (см. в табл. 8.10 правый столбец) и построим точечный график зависимости этого показателя от объема производства (рис. 8.8). Значения у уменьшаются с замедлением при возрастании х. С учетом изложенного выше логично предположить, что данная зависимость достаточно хорошо характеризуется также логарифмическим трендом.

Рис. 8.8. Зависимость доли издержек производства в объеме производства от объема производства.

Для принятия решения о целесообразности использования не логарифмической, а полиномиальной функции 2-й степени для описания фактической закономерности необходим сбор дополнительных сведений или существенные увеличения объема выборки и диапазона значений переменной х.