Лекция 3 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Момент силы. Момент инерции Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси 00'. Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы (рис. 3).

Рисунок 3 Твердое тело, вращающееся под действием силы F.

Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О: M=Fp=Fr sin (rF).

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

M=[rF].

Направление М можно найти с помощью правила правого винта

Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:

Моментом инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

Если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm, то момент инерции равен:

где r — расстояние от оси вращения до элемента массой dm.

Если тело однородно и его плотность =m/V, то момент инерции тела.

Теорема Штейнера.

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J_{0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и величины md²:}

J=J_0+md²

где m — масса тела, d— расстояние от центра масс до выбранной оси вращения.

Основной закон динамики Рассмотрим материальную точку А массой т, движущуюся по окружности радиусом r.

Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Эта сила вызывает тангенциальное ускорение F=a_{ф m.}

Если. Умножим обе части на r.

Тогда М=еJ или е=M/J — основное уравнение динамики вращательного движение м.т.

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции.

Для твердого тела:

или.

е=M/J

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

где Jщ — момент импульса (или момент количества движения), МДф — импульс момента сил (или импульс вращающего момента).

Эти величины векторные и совпадают по направлению с векторами щ и М.

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Разобьем тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной cкоростью V_i=щr_i, тогда кинетическая энергия точки Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела относительно данной неподвижной оси вращения:

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна.

Работа внешних сил при вращении твердого тела При вращении твердого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

Учитывая, что Jе=M, щdt=dц, имеем dA=Mdц. Окончательно работа выражется через уравнение:

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси.

Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

Закон сохранения момента импульса

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов импульсов отдельных его частиц:

Момент импульса — это вектор, совпадающий по направлению с вектором угловой скорости. Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т. е. М=0, то dL=0 и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени:

движение механика тело траектория.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы остается неизменной

Закон сохранения момента импульса связан с однородностью и изотропностью пространства.

Под однородностью пространства понимают равноправность всех точек пространства.

Под изотропностью пространства понимают равноправность всех направлений в пространстве.