Матричная форма записи законов Ома и Кирхгофа

Сначала введем понятие обобщенной ветви (рис. 3.3).Для нее можно записать по первому закону Кирхгофа.

(3.6).

И по обобщенному закону Ома

(3.7).

Напряжение на. резисторе ветви R ^в по закону Ома.

(3.8).

Или для тока через проводимость ветви.

(3.9).

Закон Ома в матричной форме.

(3.10).

или.

(3.11).

где U и I — столбцовые матрицы, число строк которых совпадает с числом ветвей схемы, а.

и причем k равно числу ветвей схемы.

Например, для схемы рис. 3.1.

а.

Обобщенный закон Ома в матричной форме, исходя из (3.7), получим в виде где U ^в и I ^в — столбцовые матрицы, число строк которых совпадает с числом ветвей схемы.

Для схемы рис. 3.1.

Вводится понятие узловой матрицы [А].

Узловая матрица — это прямоугольная матрица, строки которой соответствуют узлам, а столбцы — ветвям направленного графа схемы.

Число строк матрицы равно числу независимых узлов. Элементы матрицы а _ij, где (i — номер строки, j — номер столбца, принимают значения 1, — 1 или 0.

Элементы а _ij = 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от него.

Элементы а _ij = - 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена k этому узлу. Элементы а _ij = 0, если ветвь j не соединена с узлом i.

Например, в схеме рис. 3.1 и 3.2.

(3.13).

С помощью матрицы [А] запишем первый закон Кирхгофа с учетом (3.6).

(3.14).

или.

(3.15).

где [J] - столбцовая матрица источников тока, число строк которой совпадает с числом ветвей схемы.

Для схемы рис. 3.1 [J] = [0 0 0 — J J] ^T, т. е. ток источника тока J замыкается по четвертой и пятой ветвям.

Матрица контуров [В] - прямоугольная матрица, строки которой соответствуют контурам, а столбцы — ветвям направленного графа схемы. Число строк равно числу независимых контуров. Элементы матрицы в _ij, где i — номер строки, j — номер столбца, принимают значения 1, -1 или 0. Элементы в _ij = 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви совпадает с направлением обхода контура. Элементы в _ij = - 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура. Элементы в _ij = 0, если ветвь j не содержится в контуре i.

Например, в схеме рис. 3.1 и 3.2.

(3.16).

С помощью матрицы В запишем второй закон Кирхгофа с учетом (3.12).

(3.17).

или.

(3.18).