Практическая часть. 
Уравнение Слуцкого. 
Экономическое значение

Задача 1

Опишите процесс моделирования в принятии управленческого решения из опыта вашей деятельности (производственной или по управлению домашним хозяйством), отмечая отдельные этапы и выделив критерии отбора оптимального решения. Выделите экзогенные и эндогенные переменные модели.

Решение:

Пример (рассмотрим постановку задачи планирования выпуска при ограниченных ресурсах из курса линейного программирования).

Проблема. Руководители фирмы, производящей несколько видов продукции, хотят выяснить, каким должен быть план выпуска по каждому виду продукции, чтобы предприятие работало наиболее эффективно.

Постановка задачи: Имеется фирма, производящая несколько видов продукции. Определить объемы производства с целью максимизации прибыли.

Анализ ситуации: Для того чтобы решить задачу, необходимо выделить наиболее существенные элементы и отбросить незначительные, то есть нужно построить модель, доступную с точки зрения расчета и в то же время отражающую самые главные свойства процесса. Анализ производится с учетом реальной ситуации. Решение о том, какие факторы будут выбраны как существенные, во многом субъективно, то есть зависит от способностей, личной заинтересованности и компетентности модельера.

Будем считать, что из анализа ситуации мы узнали следующее. В процессе производства используется три вида ресурсов: оборудование, рабочая сила и сырье; ресурсы однородны; количества их известны и в данном производственном цикле увеличены быть не могут. Известен расход каждого из ресурсов, а также прибыль на единицу продукции каждого вида.

Что мы не учли при постановке?

Поставленная задача далеко не всегда хорошо описывает ситуацию и соответствует задачам лица, принимающего решение. В действительности, по крайней мере:

ресурсы могут быть взаимозаменяемы;

затраты ресурсов не строго пропорциональны выпуску (постоянные и переменные);

объемы ресурсов не строго фиксированы, так могут продаваться, покупаться, сдаваться в аренду;

ресурсы неоднородны и разные их составляющие по разному влияют на выпуск;

цена продукта может зависеть от объема реализации (неконкурентный рынок), то же — и цена ресурса;

фирма может использовать не одну, а выбирать из нескольких технологий, характеризующихся определенными сочетаниями ресурсов;

размер прибыли может быть оценен по-разному, это, например, зависит от налоговой системы;

предпочтения субъекта не ограничиваются максимизацией объема прибыли, значит, целевая функция должна учитывать и другие количественные и качественные показатели;

реально решаемая задача не ограничивается одним моментом или периодом времени, важны динамические взаимосвязи;

на ситуацию могут оказать влияние случайные факторы, которые необходимо принять во внимание.

Построение гипотезы: Построение модели в рамках линейного программирования (формулирование целевой функции, ограничений и граничных условий), несмотря на простоту модели, даст решение, приемлемое в реальной обстановке.

Формализация (построение математической модели — в виде формул или алгоритмов): включает в себя выбор переменных и установление связей между ними. В нашем случае это три неравенства, ограничивающие затраты ресурсов и выражение для расчета прибыли в качестве целевой функции.

Введем обозначения для эндогенных переменных — тех, которые определяются в ходе расчетов по модели и не известны заранее. В нашем случае — это неизвестные объемы производства x₁, …, x_n.

Опишем экзогенные переменные (заданные вне модели, то есть известные заранее). В задаче заданы количества К — капитал, L — труд и количество сырья R, а также коэффициенты их расхода на единицу продукции каждого вида: к_i, l_i, r_i.

Для каждого вида продукции, расходов ресурсов на единицу продукции и для прибыли на единицу р_i мы ввели индекс i, он меняется от 1 до n. Индексы позволяют нам записать связи в наиболее компактной, удобной для восприятия форме.

Закончив описание переменных и параметров, переходим к установлению связей между переменными задачи.

Совокупный расход каждого вида ресурса не должен превышать допустимое значение:

x₁ k₁+ x₂ k₂+…+ x_n k_n<= K.

x₁ l₁+ x₂ l₂+ …+x_n l_n<= Lограничения по ресурсам.

x₁ r₁+ x₂ r₂+…+ x_n r_n<= R.

x₁ p₁+ x₂ p₂+…+ x_n p_nmax — целевая функция (размер прибыли) Мы сформулировали задачу линейного программирования — по известному математическому методу. Далее пользуясь методом и подставляя реальные значения, мы можем дать руководителям фирмы вполне конкретные рекомендации по плану выпуска продукции. Следует отметить, что не всегда задача сводится к известным математическим приемам, она может потребовать разработки и нового способа решения.

Анализ адекватности модели — последний этап моделирования. Здесь, например, можно принять во внимание, что расходы ресурсов на единицу продукции, и другие экзогенные переменные являются случайными величинами. Поэтому достижение максимальной прибыли возможно лишь с вероятностью, определение которой и даст ответ на вопрос о приемлемости решения.

Для примера, опишем модель производства корма для сельского хозяйства: сена, силоса и сенажа. Здесь применяется относительно однородное сырье — трава.

Пусть:

x₁ — количество сена, x₂ — количество силоса, x₃ — количество сенажа,.

p₁=4500, p₂=500, p₃=600 — цены на 1 тонну продукта,.

k₁=3,5; k₂=2; k₃=2,2 — капитал на 1 тонну продукта,.

l₁ =5; l₂=2; l₃=2 — труд на 1 тонну продукта,.

r₁=6; r₂=2,5; r₃=2,7 — сырье на 1 тонну продукта,.

K= 432,5 — всего капитала, (машино-час.).

L= 499- всего трудовых ресурсов, (человеко-час).

R= 623,5 всего сырья.(тонн) Тогда получаем конкретную модель:

x₁ 4500+ x₂ 500+ x₃ 600 max — целевая функция (размер прибыли).

x₁ 3,5+ x₂ 2+ x₃ 2,2<= 432,5.

x₁ 5+ x₂ 2+ x₃ 2<=499 — ограничения по ресурсам.

x₁ 6+ x₂ 2,5+ x₃ 2,7<=623,5.

Далее используя компоненту Поиск решения в приложении Microsoft Office 2007, ввести данные в форму настройки поиска решений, предварительно подготовив нижеследующую таблицу.

Таблица 1.

В таблице 1 мы находим размер максимальной прибыли, равной 303 500 рублей при производстве 53 тонны сена, 52 тонны силоса и 65 тонн сенажа.

Задача 2

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p₁=5, p₂=1 и доходе I=40, с функцией полезности U=(x₁-3)^½(x₂ -1)^2/3max.

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Решение:

Пояснение к решению задачи:

Формально задача потребительского выбора имеет вид:

U=(x₁-3)^½(x₂ -1)^2/3max.

р₁х₁ + р₂х₂? I (25).

х₁? 0, х₂? 0,.

где р₁, р₂ — рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а I — доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов, величины р₁, р₂, I — заданы (экзогенные).

А формула № 25 — это бюджетное ограничение означающее, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода.

Задача заключается в выборе такого потребительского набора (х₁⁰, х₂⁰), который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Набор (х₁⁰, х₂⁰), которой является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным равновесием потребителя или локальным рыночным равновесием потребителя.

Для того чтобы найти потребительский набор (х₁⁰, х₂⁰) воспользуемся функцией полезности U в модели Стоуна. Она характеризуется минимальным объемом потребления x₁⁰ _, x₂⁰ и коэффициентом полезности для каждого из товаров ₁ и ₂, соответственно. В нашем случае x₁⁰ =3_, x₂⁰=1, ₁=½ и ₂=2/3.

Т.е в данной задаче при заданном бюджетном ограничении потребительский набор, максимизирующий функцию полезности равен (3,1).

Функция спроса модели Стоуна имеет вид:

x_i= x_i⁰+ _i (I — p_j x_j⁰) / p_ij, где i = 1. n — вид товара. (26).

Эту функцию легко интерпретировать. Вначале приобретается минимально необходимое количество каждого блага a_i. Затем рассчитывается сумма денег, оставшаяся после этого, которая распределяется пропорционально «весам» важности б_i. Разделив количество денег на сумму р_i, получаем дополнительно приобретаемое, сверх минимума, количество i — го блага и добавляем его к а_i.

Используя формулу, получаем функции спроса:

x₁= 3+0, 5*(40−5*3−1*1)/(5*(0, 5+0,67)) = 7,1.

x₂= 1+0,67*(40−5*3−1*1)/(1*(0, 5+0,67)) = 9,74.

То есть х₁=7.1 и х₂=9.74 — это набор продуктов, которые можно приобрести не превышая доход.

Далее находим фукцию бюджетного ограничения:

; (27).

9,74−1) ==2,02*4,27=8,62.

Выводим формулу кривой безразличия xu2:

(28).

Выводим формулу кривой безразличия максимальной полезности при U=8.62:

Выводим формулу кривой безразличия при U=3.

Выводим формулу кривой безразличия при U=1.

Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

Таблица 2.

На рисунке 3 изображены графики бюджетного ограничения и кривых безразличий.

Рисунок 3. Бюджетное ограничение и функции безразличий.

Задача 4

На графике изображены карта кривых безразличия производственной функции, показывающая возможные уровни производства при различных сочетаниях ресурсов: труда (x₁) и капитала (x₂). Точка, А — показывает реальное сочетание ресурсов (технологический способ). ВС — линия бюджетного ограничения, показывает множество комбинаций ресурсов, расходы на покупку которых одинаковы.

Отметьте на графике точку, соответствующую ситуации:

Задание 19: Оптимальный уровень производства при условии, что уровень заработной платы повысился в 1,5 раза, а плата за капитал осталась прежней.

Решение:

Изобразим графически на рисунке 5:

Рисунок 5.

На рисунке 5 Оптимальное сочетание ресурсов, дающее максимальную прибыль, достигается в точке D касания линии бюджетного ограничения и кривой безразличия Y₃. Новая линия бюджетных ограничений ВС₁ соответствует условиям задачи. Так как, по условию задачи, уровень заработной платы повысился в полтора раза, а плата за капитал осталась прежней, отрезок ОС₁ в 1,5 раза длиннее отрезка ОС, о отрезок ОВ не изменился.

Задача 5

(Балансовая модель) Вариант 5.

Таблица 3.

Решение:

Межотраслевой баланс представляет собой таблицу, характеризующую взаимосвязи между объектами экономической системы. Предполагается, что экономическая система состоит из n отраслей, каждая из которых производит некоторый однородный продукт, отличный от продуктов других отраслей, поэтому каждая отрасль представлена в таблице дважды: в качестве производителя и в качестве потребителя продукции других отраслей.

Построим математическую модель межотраслевого баланса, разделив свое решение поэтапно.

1) Проверка баланса исходной таблицы 3, для этого вычисляются итоги по каждому столбцу. Сумма итогов потребления и конечного продукта равна итогу валового продукта, в данном случае 773 (таблица 3.1).

Таблица 3.1 Исходная матрица.

2) Вычисление матрицы прямых затрат.

Для выражения соотношений баланса в матричной форме вместо абсолютных значений потребления используют удельный коэффициент прямых затрат:

а_ij=x_ij/x_j, (29).

где x_j — валовый выпуск j-ой отрасли;

x_ij — объем продукции i-ой отрасли потребляемой j-ой отраслью. Внутреннее потребление.

Коэффициент прямых затрат показывает в какое количество продукции i-ой отрасли, при учете только прямых затрат, необходимо для производства единицы продукции j-ой отрасли.

Для вычисления матрицы прямых затрат необходимо разделить элементы каждого столбца матрицы межотраслевого баланса на соответствующее по номеру значения валового выпуска (таблица 4).

По своему смыслу Коэффициенты прямых затрат не могут быть отрицательными. В пределах диапазона стабильности можно считать зависимость x_ij от x_j линейно, то есть:

xij = аij * xj (30).

При принятии гипотезы линейности систему уравнений баланса можно записать в следующем виде:

(31).

где, А — матрица прямых затрат.

Это соотношение называют уравнением межотраслевого баланса. Данное уравнение используется для определения вектора конечного потребления отраслей при известном векторе валового выпуска:

(32).

где Е — единичная матрица той же размерности, что и матрица прямых затрат А.

Это соотношение так же может использоваться для прогнозирования валового выпуска при заданном векторе конечного потребления.

Из соотношения 24 следует:

(33).

Матрица называется матрицей полных затрат Таблица 4.

Для проверки матрицы прямых затрат используем следующий критерий продуктивности:

Если сумма элементов матрицы, А по любому столбцу или строке не превышает 1, то матрица, А продуктивна. В нашем случае итоги столбцов: 0,71 505, 0,87 701, 0,86 735, 0,79 412 — больше нуля. Следовательно, матрица прямых затрат, А продуктивна.

3) Определяем матрицу полных затрат (Е-А)^-1

Для этого создаем единичную матрицу Е в таблице 5:

Таблица 5.

Затем, находим матрицу разности Е-А (таблица 6):

Таблица 6.

Далее находим обращение матрицы (Е-А) в таблице 7. Эту матрицу называют иначе, матрицей полных материальных затрат:

Таблица 7.

Поскольку матрица, А продуктивна, то все коэффициенты матрицы полных затрат (таблица 7) положительны.

4) Вычисляем новый валовый продукт при измененном конечном потреблении, используя формулу № 33:

Для этого формируем таблицу 8, в которой указываем в первом столбике вектор конечного потребления, а второй столбик, новый валовый продукт, находим путем умножения матрицы полных затрат (табл. 7) на вектор конечного потребления.

Таблица 8.

5) Далее находим условно чистую продукцию, Z, используя формулу:

(34).

где xj — это конечный продукт j-ой отрасли,.

— это суммарный валовый продукт.

Z₁= 186−133 = 50,.

Z₂= 187−164 = 23 и так далее, оформим эти вычисления в таблице 9:

Таблица 9. Итоговый межотраслевой баланс.

Важное соотношение межотраслевого баланса состоит в том, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно чистой продукции, в нашем случае — 144=144. Следовательно, соотношение межотраслевого баланса, выполнено верно.