Общий принцип задания элементов и их функций

Каждый элемент представляет собой фигуру, состоящую из нескольких вершин, соединенных линиями. Элемент определяется соединением этих вершин. В каждой вершине искомое решение имеет соответствующее значение u. В элементе решение является линейной функцией, соединяющей эти величины u в вершинах.

Особенность заключается в том, что i-тый узел является соседним по элементу только с некоторым небольшим количеством узлов, поэтому в каждой строке матрицы много нулей. Нумерация элементов и узлов алгоритмически произвольна, но в программных пакетах, основанных на методе конечных элементов, разработчики стараются, чтобы соседние по элементу узлы имели как можно более близкие номера. В результате, ненулевые коэффициенты матрицы A будут располагаться близко к диагонали, и матрица будет иметь ленточный вид. Для таких задач существуют специальные методы решения, позволяющие значительно снизить время расчета и затраты машинной памяти.

Постановка задачи и исходные данные

Постановка задачи:

Определить время, за которое температура воды в цилиндрической емкости достигнет температуры кипения (условная температура кипения).

Исходные данные:

Начальная температура воды:

Тепловой поток, создаваемый электрической плитой:

Температура окружающего воздуха:

Атмосферное давление: 101 325 Па Размеры емкости: диаметр, высота.

Материал емкости: железо Решение Построение и расчет модели производится в модуле Heat Transfer, состоящем из двух подмодулей: General Heat Transfer — Transient analysis и Weakly Compressible Navier-Stokes — Steady-state analysis.

Основное уравнение:

Материал: вода Коэффициент теплопроводности:

Плотность:

Удельная теплоемкость:

В рассматриваемом процессе присутствует конвективный теплообмен Агрегатное состояние материала: жидкость Скорость u — вектор скорости потока, раскладывается на две составляющие: по координатам r, z. Задается с помощью двух переменных u, v, участвующих в расчете подмодуля Weakly Compressible Navier-Stokes.

u — составляющая вектора скорости вдоль радиуса r.

v — составляющая вектора скорости вдоль оси z.

Абсолютное давление:

Динамическая вязкость:

Начальная температура:

Подмодуль Weakly Compressible Navier-Stokes.

Основное уравнение:

Материал: вода Плотность:

Динамическая вязкость:

Начальная скорость вдоль радиуса r:

Начальная скорость вдоль оси z:

Давление:

Граничные условия (boundary settings):

Для стенок емкости задаются следующие условия:

Подмодуль General Heat Transfer.

Основное уравнение:

Коэффициент теплоотдачи к окружающей среде Температура окружающей среды.

Подмодуль Weakly Compressible Navier-Stokes.

Основное уравнение:

Тип границы: стенка Граничное условие: нет течения Для крышки емкости задаются следующие условия:

Подмодуль General Heat Transfer.

Основное уравнение:

Коэффициент теплоотдачи к окружающей среде Температура окружающей среды.

Подмодуль Weakly Compressible Navier-Stokes.

Основное уравнение:

Тип границы: открытая граница Граничное условие: давление по нормали.

Для дна емкости задаются следующие условия:

Подмодуль General Heat Transfer.

Основное уравнение:

Входящий тепловой поток:

Передача теплоты в сверхпроводящем слое Материал: железо Коэффициент теплопроводности слоя:

Плотность слоя:

Удельная теплоемкость слоя:

Толщина слоя:

Подмодуль Weakly Compressible Navier-Stokes.

Основное уравнение:

Тип границы: стенка Граничное условие: нет течения После того, как все условия заданы, модель разбивается на конечные элементы с помощью команды Mesh.

Модель разбита на 314 элементов.

Результат расчета показан на рис. 3 по истечении 2100 секунд (35 минут).

Как видно результаты расчета являются некорректными, несмотря на корректность задания всех условий задачи. Это может быть связано с некоторыми особенностями расчетных формул программы COMSOL.