Оптимальное распределение финансовых средств методом динамического программирования

Динамическое программирование — метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решения может быть разбит на этапы (шаги). Такие операции называются многошаговыми.

Рассматривается управляемый процесс принятия оптимальных управленческих решений (распределения средств между предприятиями). В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния s₀ в состояние :

— управление на k-м шаге (k=1, 2, …, n).

В задаче распределения средств между предприятиями — это объем средств, выделяемых k-ому предприятию.

Совокупность всех управлений на каждом шаге называют управлением, переводящим объект S из состояния s₀ в состояние. Переход из одного состояния в другое характеризуется некоторым показателем эффективности .

Решение задач динамического программирования — это нахождение множества параметров управленческих решений, обеспечивающее экстремум некоторой целевой функции.

Принцип оптимальности.

Каково бы ни было состояние s системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный. Основное требование, при котором принцип верен — процесс управления должен быть без обратной связи, т. е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Таким образом, решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом.

Нахождение оптимального решения управляемого процесса можно произвести на основе рекуррентных соотношений Беллмана. Пусть — показатель эффективности k-ого шага при всевозможных управлениях .

Схема нахождения оптимального решения по обратной схеме.

Рассмотрим n-й шаг: — состояние системы к началу n-го шага, — конечное состояние, — управление на n-м шаге, — целевая функция (выигрыш) n-го шага.

Показатель эффективности n-ого шага:

.

Агрегированный показатель эффективности (n-1)-ого шага:

.

Агрегированный показатель эффективности первого шага:

.

В результате будут найдены следующие последовательности значений:

Решение задачи распределения ресурсов между предприятиями было выполнено по обратной схеме Беллмана.

Руководство компании «Детский Мир» может принять решение не выделять денежных средств данному предприятию, в этом случае инвестируемое предприятие должно будет рассчитывать лишь на собственные средства. Эти данные отображены в таблице в строке со значением выделенных инвестиций R=0 руб.

Также были получены оптимальные значения прибыли каждого рассматриваемого предприятия в зависимости от объема выделенных инвестиций. В этом случае инвестиции изменяются от 1 до 8 млн. руб (с шагом в 1 млн руб.).

В Таблице 4.1 представлены значения прибыли (Zi®), которые были получены путем решения в MathCad задачи планирования производства (методом линейного программирования) для каждого инвестируемого предприятия. Эти значения изменяются в зависимости от объемов вложенных инвестиций R, где:

i=1: ОАО «Солнышко».

i=2: ОАО «Сумки».

i=3: ОАО «Свет».

i=4: ООО «Береза».

i=5: ООО «Алладин».

Таблица 4.1 Прибыль предприятий в зависимости от объема выделенных инвестиций.

В Таблице 4.2 представлены данные о дополнительном доходе (Zi®), которое предприятие-инвестор получит от каждого инвестируемого предприятия в зависимости от объема вложенных инвестиций R.

i=1: дополнительный доход компании «Солнышко»;

i=2: дополнительный доход компании «Сумки»;

i=3: дополнительный доход ОАО «Свет»;

i=4: дополнительный доход ОАО «Береза».

i=5: дополнительный доход ООО «Алладин».

Таблица 4.2 Дополнительный доход предприятий в зависимости от объема выделенных инвестиций.

Для определения величины дополнительного дохода каждого предприятия необходимо из величины прибыли при соответствующем объёме выделенных дополнительных средств вычесть прибыль в случае, если дополнительные средства не выделяются.

Находим показатели эффективности деятельности каждого предприятия с помощью рекуррентных соотношений Беллмана.

В Таблице 4.3 рассчитаны показатели эффективности (Zi (Q)) инвестируемых предприятий, которые были получены с помощью обратной схемы Беллмана:

• · компания «Солнышко»;
• · кожгалантерея «Алладин»;
• · фабрика «Береза»;
• · ООО «Сумки»;
• · ОАО «Свет».

Таблица 4.3 Показатели эффективности предприятий в зависимости от объема выделенных инвестиций.

Вычисленные показатели эффективности деятельности каждого предприятия (в зависимости от объема получаемых финансовых средств) в последующем используются для нахождения оптимального распределения средств между предприятиями.

Рассмотрим нахождение показателей эффективности.

Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности пятого шага:

.

— показатель эффективности деятельности предприятия, то есть:

Произведем вычисления значений функции, объединённого показателя эффективности деятельности двух предприятий: по формуле:

.

Получим:

Произведем вычисления значений функции, объединённого показателя эффективности деятельности трех предприятий, по формуле:

.

Произведем вычисления значений функции, объединённого показателя эффективности деятельности четырех предприятий по формуле:. Получим:

Вычисления значений функции, объединённого показателя эффективности деятельности всех предприятий, по формуле.

:

Из Таблицы 4.2 находим оптимальный план распределения выделенных средств.

В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет.

(руб.).

На основании этого значения показателя эффективности можно получить решение задачи:

Таблица 4.4 Показатели эффективности и дополнительный доход предприятия.

Таким образом, в результате решения задачи распределения средств между предприятиями получили, что для обеспечения максимальной эффективности деятельности (прибыли) всех предприятий, равной 2 170 009 рублей в месяц:

• — ОАО «Сумки» необходимо выделить 1 млн руб.;
• — ОАО «Свет» — 1 млн руб.;
• — Предприятию ООО «Алладин», согласно оптимальному распределению, необходимо выделить 6 млн руб.

Проведем сравнительный анализ оптимального и равномерного распределений 8 000 000 рублей. Для этого необходимо найти совокупную прибыль при равномерном распределении:

Таблица 4.5. данные о дополнительном доходе предприятий при равномерном распределении.

Подсчитаем разницу, которую мы получили: 2 170 009 — 2 097 120 = 72 889 рублей. При этом мы получили прибыль равную 2 097 120 рублей.