Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии

Пусть у нас имеются данные о доходах (X) и спрос на некоторый товар (Y) за ряд лет (n).

Предположим, что между X и Y существует линейная взаимосвязь, т. е.

Для того, чтобы найти уравнение регрессии, прежде всего нужно исследовать тесноту связи между случайными величинами X и Y, т. е. корреляционную зависимость.

Пусть: x, х,. .. ,хnсовокупность значений независимого, факторного признака; y, y... ,yn — совокупность соответствующих значений зависимого, результативного признака; n — количество наблюдений.

Для нахождения уравнения регрессии вычисляются следующие величины:

Средние значения.

— для экзогенной переменной.

— для эндогенной переменной.

2. Отклонения от средних величин.

.

Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения.

, .

Величины дисперсии и среднего квадратичного отклонения характеризуют разброс наблюдаемых значений вокруг среднего значения. Чем больше дисперсия, тем больше разброс.

Вычисление корреляционного момента (коэффициента ковариации):

Корреляционный момент отражает характер взаимосвязи между x и y. Если, то взаимосвязь прямая. Если, то взаимосвязь обратная.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

Доказано, что коэффициент корреляции находится в интервале от минус единицы до плюс единицы (). Коэффициент корреляции в квадрате () называется коэффициентом детерминации.

Если, то вычисления продолжаются.

Вычисления параметров регрессионного уравнения.

Коэффициент b находится по формуле:

После чего можно легко найти параметр a:

Коэффициенты a и b находятся методом наименьших квадратов, основная идея которого состоит в том, что за меру суммарной погрешности принимается сумма квадратов разности (остатков) между фактическими значениями результативного признака и его расчетными значениями, полученными при помощи уравнения регрессии.

.

При этом величины остатков находятся по формуле:

где.

фактическое значение y;

расчетное значение y.

Пример. Пусть у нас имеются статистические данные о доходах (X) и спросе (Y). Необходимо найти корреляционную зависимость между ними и определить параметры уравнения регрессии.

Таблица 1.1. Статистические данные о доходах (X) и спросе (Y).

Предположим, что между нашими величинами существует линейная зависимость.

Тогда расчеты лучше всего выполнить в Excel, используя статистические функции;

СРЗНАЧ — для вычисления средних значений;

ДИСП — для нахождения дисперсии;

СТАНДОТКЛОН — для определения среднего квадратичного отклонения;

КОРЕЛЛ — для вычисления коэффициента корреляции.

Корреляционный момент можно вычислить, найдя отклонения от средних значений для ряда X и ряда Y, затем при помощи функции СУММПРОИЗВ определить сумму их произведений, которую необходимо разделить на n-1.

Результаты вычислений можно свести в таблицу 1.2.

Таблица 1.2. Параметры линейного однофакторного уравнения регрессии.

В итоге наше уравнение будет иметь вид:

y = 0.3 + 0.64x.

Используя это уравнение, можно найти расчетные значения Y и построить график (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Фактические и расчетные значения

Ломаная линия на графике отражает фактические значения Y, а прямая линия построена с помощью уравнения регрессии и отражает тенденцию изменения спроса в зависимости от дохода.

Однако встает вопрос, насколько значимы параметры a и b? Какова величина погрешности?