Верификация алгоритмов моделирования решений СДУ и пуассоновского ансамбля

Сравнительный анализ методов решения СДУ

Так как данное пособие является продолжением учебного пособия [31], то мы будем ссылаться на необходимые формулы из этого пособия. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение.

В [31] было предложено семейство численных методов решения СДУ (1.1) в смысле Стратоновича:

и его подсемейство:

Рассмотрим численные методы из этого семейства, построенные в.

[31]:

и известные методы решения СДУ в смысле Ито: (8) метод Эйлера [200]:

метод, предложенный Милынтейном [110]:

где Ci_n — независимые нормальные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т/*_п независимые случайные величины с P (rji_n = — 1) = P (rji_n = —1) = 0.5;

• (10) метод, предложенный Талэ (Talay) [205]:
• (9)

где Cm Vn — векторы независимых в совокупности нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, 8ij_n — независимые между собой и с ?_п, г)_п случайные величины с Р (^_ijn = 1) = Pb’ijn = -1) = P (Sijn = 1) = P (S_ijn = -1) = 0.5 при i < j; jij = -iji, Sij = —Sji при i> j.

Все сравниваемые методы в случае произвольной матрицы <�т имеют первый порядок сходимости в среднеквадратическом смысле. Методы Мильштейна и Талэ (Talay) слабо сходятся со 2-м порядком.

Сравнение построенных и известных методов проведем на системе двумерных тестов, приведенных в приложении.

Рассмотрим линейную систему СДУ с аддитивным шумом.

когда все собственные значения матрицы А имеют отрицательные вещественные части. Стационарное решение этой системы имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и матрицей центральных вторых моментов (назовем ее для краткости дисперсией) D, удовлетворяющей уравнению Ляпунова.

Рассмотрим каждый из методов на системе СДУ (1.2). Применительно к системе СДУ (1.2) методы (1) (2) принимают вид:

откуда получаем выражения для математического ожидания и дисперсии численного решения:

Из последнего уравнения непосредственно проверяется, что дисперсия стационарного численного решения удовлетворяет уравнению (1.3), т. е. методы (1)-(2) являются асимптотически несмещенными при любом размере шага интегрирования (в смысле определения из параграфа.

1.2 пособия [31]).

Применяя с системе СДУ (1.3) методы из подсемейства, получаем.

Учитывая конкретные значения параметров методов, имеем: для методов (3)-(4):

для методов (5) (6):

Из вида уравнений для матрицы D следует, что методы (3)-(7) не являются асимптотически несмещенными (в смысле определения из параграфа 1.2 учебного пособия [31]).

Применительно с системе СДУ (1.3) метод Эйлера принимает вид:

Из последнего уравнения, полагая Dy_n+ = Dy_n, получаем систему уравнений для дисперсии стационарного численного решения:

Таким образом, метод Эйлера не является устойчивым в смысле определения асимптотической несмещенности численного метода. Применяя метод Талэ (Talay) к системе СДУ (1.3), имеем:

где ?_п, г]_п — векторы независимых в совокупности нормальных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Из последнего уравнения получаем систему уравнений для дисперсии стационарного численного решения:

hA.

где С = I + —. Таким образом, метод Талэ (Talay) не является устойчивым в смысле определения асимптотической несмещенности.

На системе уравнений (1.3) метод Милыптейна совпадает с методом (8), т. е. не является асимптотически несмещенным.

Расчеты проводились на ЭВМ PC АТ/386. При моделировании методами из предложенного семейства системы СДУ из тестов 3−5 приложения задавались в смысле Стратоповича (согласно формуле (1.4) учебного пособия [31]). Сравнение численных методов между собой проводилось по точности оценки элементов матрицы центральных вторых моментов D = R_st{0) (точность оценки математического ожидания решения задачи Коши всеми методами значительно выше, чем точность оценки матрицы D) и времени счета. Оценки.

получены по одной траектории при моделировании решения задачи Коши с постоянным размером шага интегрирования h = 0.1 (здесь yj_n означает j-ю компоненту численного решения). Максимальный объем выборки (равный числу шагов) равен N = 10.

Вычисление независимых нормальных случайных величии? с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией осуществлялось, но формуле.

где ац, с*2 — равномерные случайные величины на интервачЛе [0, 1], моделируемые с помощью датчика псевдослучайных чисел RAND [91].

Таблица 1.3. Относительная погрешность.

В таблицах приводятся результаты численных расчетов. В табл. 1.1;

1.2 помещены точные значения du, d12,²² ₅ оценки du, d₂,²² и относительное время моделирования одной траектории (относительно минимального). В табл. 1.3−1.4 приводятся относительные ошибки вычисления компонент dn, di2, ^22'.

1. При решении теста А.1 все методы, кроме метода Эйлера, имеют приблизительно одинаковую точность оценки элементов матрицы D.

У метода Эйлера очень низкая точность оценки du = 6.14, с/22 = 0.385 вместо с/ц = 1, d'22 = 0.0625.

2. Тест А.2 характеризуется большим разбросом собственных значений матрицы А: ^ =50. Из-за наличия большого по модулю собствен;

*2.

ного значения Ai этот тест с шагом h = 0.1 просчитали только методы (1)-(6). Устойчивые методы (1), (2) имеют высокую точность оценки элементов матрицы D. Методы (3)-(6), точно оценивая di2, d22, имеют низкую точность оценки величины du.

При счете также оценивалась корреляционная функция. В нуле оценки корреляционной функции, полученные методами (3)-(6), сильно отличаются от точной, однако в последующих точках имеет место хорошее приближение значений корреляционной функции. Для оценок значений корреляционной функции, полученных методами (1), (2), наоборот, имеет место точное приближение в нуле и низкая точность оценки в последующих точках.

3. При решении теста А. З методы из предложенного семейства, за исключением методов (2)-(3), имеют приблизительно одинаковую точность оценки элементов матрицы D. Метод Талэ (Talay) наиболее точен, однако долго считает. При выходе моделируемой траектории на границу области задания р (у) в выражениях вида.

в методе Милыптейна происходит деление на нуль.

4. При решении теста А.4 все методы, за исключением метода Эйлера, имеют приблизительно одинаковую точность оценки величин d^. Метод Эйлера дает наиболее завышенные оценки элементов матрицы D. При выходе моделируемой траектории на границу у = у₂ области задания р (у) в выражении.

в методах (1), Талэ (Talav), Милыптейна происходит деление на нуль.

5. При решении теста А.5 метод Талэ (Talay) наиболее точен, однако, долго считает по сравнению с другими методами. При выходе моделируемой траектории на границу области задания р (у) в методе Милыптейна в выражениях вида.

происходят деления на нуль.

При численном решении тестов А.1-А.5 исследовалась зависимость относительной ошибки оценки элементов d от объема выборки. При моделировании решения с шагом интегрирования h = 0.1 точность оценки практически не улучшается при N > 4000. Исходя из этого, можно делать вывод о необходимом соотношении между размером шага интегрирования и объемом выборки.

Анализируя результаты расчетов, можно сделать вывод, что наиболее пригодными для решения рассматриваемых тестов оказались методы из предложенного семейства. Методы (1), (2) в силу своей устойчивости наиболее эффективны при решении систем СДУ с плохо обусловленной матрицей А. Все пять тестов просчитачли методы (2)-(6).