Лекция 7. Движение тела переменной массы. 
Уравнение Мещерского и Циолковского

В природе и современной технике мы нередко сталкиваемся с движением тел, масса которых меняется со временем. Масса Земли возрастает вследствие падения на нее метеоритов, масса метеорита при полете в атмосфере уменьшается в результате отрыва или сгорания его частиц, масса дрейфующей льдины возрастает при намерзании и убывает при таянии и т. д. Движение якоря с якорной цепью, когда все большее число звеньев цепи сходит с лебедки, — пример движения тела переменной массы. Ракеты всех систем, реактивные самолеты, реактивные снаряды и мины также являются телами, масса которых изменяется во время движения.

Общие законы динамики тел с переменной массой были открыты и исследованы И. В. Мещерским и К. Э. Циолковским. Циолковским были разработаны фундаментальные проблемы реактивной техники, которые в наши дни служат основой для штурма человеком межпланетных пространств.

Для вывода основного уравнения движения тела переменной массы рассмотрим конкретный случай движения простейшей ракеты (рис. 4).

Мы будем рассматривать ракету как достаточно малое тело, положение центра тяжести которого не меняется по мере сгорания пороха. В этом случае мы можем считать ракету материальной точкой переменной массы, совпадающей с центром тяжести ракеты.

Не рассматривая физико-химическую природу сил, возникающих при отбрасывании от ракеты газов, образованных при сгорании пороха, сделаем такое упрощающее вывод предположение: будем считать, что отбрасываемая от ракеты частица газа dM взаимодействует с ракетой М только в момент их непосредственного контакта. Как только частица dM приобретает скорость относительно точки М, ее воздействие на нее прекращается. Предположим далее, что изменение массы ракеты М происходит непрерывно, без скачков. (Это значит, что мы не рассматриваем многоступенчатые ракеты, масса которых меняется скачкообразно.) Это предположение позволяет считать, что существует производная от массы по времени.

Пусть в момент t масса ракеты М, а ее скорость относительно неподвижной системы координат (рис. 5). Положим, за время dt от ракеты отделилась частица массы (—dM) со скоростью (относительно той же неподвижной системы координат), равной и. Знак «минус» перед приращением массы указывает на то, что приращений это отрицательное, масса ракеты убывает.

Положим, равнодействующая внешних сил, действующих на ракету (силы тяжести и сопротивления среды), F. Как сказано выше, в момент отделения частицы массы (—dM) между ней и ракетой действует неизвестная нам реактивная сила Fp. Сила Fp для системы ракета — частица является внутренней. Чтобы исключить.

Рис. 22.

ее из рассмотрения, воспользуемся законом изменения количества движения. Количество движения системы ракета — частица в момент t, т. е. перед отделением частицы:

Количество движения системы в момент t+dt (после отделения частицы) складывается из количества движения массы [М—(—dM)], получившей скорость (), и количества движения массы частицы — dM, летящей со скоростью :

(20).

Изменение количества движения системы за время dt:

Величина dP должна быть приравнена импульсу равнодействующей внешних сил.

(21).

Отсюда, перегруппировав члены и разделив на dt, получим основное уравнение движения точки переменной массы:

(22).

Это уравнение иначе называют уравнением Мещерского. Для ракеты 0. При =0 уравнение (22) переходит в уравнение второго закона Ньютона для случая постоянной массы. Величина u — есть скорость выбрасываемых ракетой частиц относительно системы координат, движущейся с ракетой.

Эту скорость называют обычно просто относительной скоростью V. Тогда равенство (22) запишется в виде.

(23).

Для любого момента времени произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме равнодействующей приложенных к телу внешних сил и реактивной силы. При движении ракеты вблизи Земли равнодействующая внешних сил представляет собой сумму силы тяжести и силы сопротивления воздуха. Ускорение ракеты зависит еще и от реактивной силы, изменяя величину и направление которой можно управлять полетом ракеты.

Если относительная скорость отбрасываемых частиц равна 0, то следует.

M.

Важный вклад в механику тел переменной массы применительно к конкретным задачам реактивной техники внесен знаменитым русским ученым Константином Эдуардовичем Циолковским. В 1903 г. была издана его работа «Исследование мировых пространств реактивными приборами», в которой К. Э. Циолковский исследовал ряд случаев прямолинейных движений ракет. К. Э. Циолковским обоснована и доказана возможность практического использования реактивного движения. Им найдены условия, при которых можно получить скорости, достаточные для осуществления космического полета. Полученная им формула, связывающая скорость ракеты с ее начальной массой, до сих пор используется для предварительных расчетов. В работах 1911—1914 гг. он изучил вопрос о величине запасов топлива, необходимых для преодоления сил тяготения Земли, и предложил высококалорийное топливо, позволяющее получить большие скорости истечения газовых струй. К. Э. Циолковского по праву считают изобретателем жидкостных ракет дальнего действия и основоположником теории межпланетных полетов.

Ему принадлежит идея разработки теории так называемых многоступенчатых ракет, когда на некоторых интервалах времени масса ракеты меняется непрерывно, а в некоторые моменты — скачком.

Им проведены большие исследования по оценке сил сопротивления при движении тел переменной массы. К. Э. Циолковским поставлен целый ряд оригинальных проблем, имеющих решающее значение для развития реактивной техники.

Для того чтобы выяснить основные факторы, создающие возможность реактивного движения с большими скоростями, рассмотрим движение точки переменной массы в безвоздушном пространстве (отсутствует сопротивление движению тела), без действия внешних сил (силы тяготения). Предположим, что скорость истечения частиц направлена прямо противоположно вектору скорости тела. Эти условия соответствуют так называемой первой задаче Циолковского. В результате получаем формулу Циолковского и следствие из нее. Найдем при сделанных предположениях скорость движения тела (точки) и закон ее движения.

При сформулированных условиях уравнение движения приобретает вид:

M (25) или.

(26).

Положим, M=Mof (t),.

где f (t) — функция, определяющая закон изменения массы.)=1. Подставив в (26) значение М и проинтегрировав, получим:

Для определения постоянной С учтем, что при t==0 f (0)=1 и, тогда C= и.

(27).

Эта формула носит название формулы Циолковского. Из формулы следует, что скорость, приобретенная точкой переменной массы, зависит от относительной скорости V и отношения начальной массы к остающейся к концу процесса горения. Если масса точки в конце процесса горения M, а отброшенная масса (масса топлива) — m, то при нулевой начальной скорости получаем для расчета скорости в конце процесса горения выражение:

Отношение.

называют числом Циолковского. Для современных ракет можно положить V=2000 м/сек. Тогда при числе Циолковского Z=0,250; 9,000; 32,333; 999,000 получим соответственно cкорости =446; 4605; 7013; 13 815 м/сек. Из формулы Циолковcкого (27) следует, что:

• 1) скорость точки переменной массы в конце активного участка тем больше, чем больше скорость отбрасывания частиц;
• 2) скорость в конце активного участка тем больше, чем больше скорость отбрасывания частиц число Циолковского;
• 3)скорость точки переменной массы в конце активного участка не зависит от закона изменения массы (режима горения). Заданному числу Циолковского соответствует определенная скорость точки в конце процесса горения независимо от того, быстро или медленно шло горение. Это следствие является проявлением закона сохранения количества движения;
• 4)для получения возможно больших скоростей точки переменной массы в конце активного участка выгоднее идти по пути увеличения относительной скорости отбрасывания частиц, чем по пути увеличения запасов топлива.

Из уравнения (27) можно найти закон изменения расстояния излучающей точки от начала координат; полагая V=const, полчим:

(28).

после интегрирования:

s=s+t-V (29).

Отсюда следует, что закон расстояния в отличие от закона скорости зависит от закона изменения массы, т. е. от функции f (t).