Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность (X, У) распределена нормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема п и, но ней найден выборочный коэффициент корреляции г", который оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности г, также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно этот коэффициент, поэтому возникает необходимость при заданном уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Н_п: г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Я: г * 0.

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля (кратко говоря, значим), аХи Yкоррелированы, т. е. связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y не коррелированы, г. е. не связаны линейной зависимостью.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину.

Величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдентаck = n-2 степенями свободы.

Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид г Ф 0, критическая область — двусторонняя; она строится так же, как в § 12 (первый случай).

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через Г_набч и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Н₀: г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе Н_{ г_уФ 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, но заданному уровню значимости и числу степеней свободы k-n — 2 найти критическую точку? (а; к) для двусторонней критической области.

Если I Т , I < t — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

¹ наол¹ кр i j j j j

Если I Т , I > t — нулевую гипотезу отвергают.

Пример. По выборке объема п = 122, извлеченной из нормальной двумерной совокупности, найден выборочный коэффициент корреляции г_п = = 0,4. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Я: г_гФ 0.

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид г Ф 0, поэтому критическая область — двусторонняя.

По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы к — 122 — 2 = 120 находим по таблице приложения 6 для двусторонней критической области критическую точку ?_кр (0,05; 120) = 1,98.

Поскольку Г. ,_n > t — нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, т.с. X и Y коррелированы.