Динамика материальной точки и абсолютно твердого тела

Основные понятия и определения:

• 1) Инертность тела — способность тела сохранять свое состояние движения;
• 2) Масса тела — скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности тела;
• 3) Сила () — векторная физическая величина, характеризующая механическое взаимодействие данного тела с другим телом (телами), приводящее к их деформации или к возникновению ускорения;
• 4) Импульс тела () — векторная физическая величина, характеризующая его прямолинейное движение, численно равна: ;
• 5) Центр масс системы тел — точка пространства, к которой приложены все силы, вызывающие по отдельности поступательное движение системы тел;
• 6) Инерциальная система отсчета (ИСО) — С.О., в которых выполняется первый закон Ньютона и соответственно второй и третий законы Ньютона;

7) Центр масс тела — точка пространства, положение которой относительно какой-либо ИСО определяется радиус-вектором, где и — масса и радиус-вектор, задающий положение i-го тела в данной ИСО, ;

8) Момент инерции м.т. и а.т.т. относительно оси вращения — скалярная физическая величина, являющаяся мерой инертности м.т. и а.т.т. при их вращательном движении, численно равная: и ;

9) Момент силы относительно оси вращения — векторная физическая величина, равная векторному произведению вектора силы и вектора, перпендикулярного к оси вращения, и, соединяющего точку приложения силы с осью вращения:, , где — угол между векторами и , — плечо силы (кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы);

• 10) момент импульса м.т. () — векторная физическая величина, определяемая векторным произведением вектора, соединяющего м.т. с осью вращения и перпендикулярного к этой оси, и вектора импульса тела: ,, где — угол между векторами и , — прицельное расстояние (кратчайшее расстояние между осью вращения и линией движения тела);
• 11) момент импульса а.т.т. () относительно оси вращения — векторная физическая величина, равная векторной сумме моментов импульсов всех точек этого тела.
• 12):
  • · Первый закон Ньютона — тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.
  • · Второй закон Ньютона — первая производная от импульса тела по времени t равна векторной сумме всех сил, действующих на тело:

.

· Третий закон Ньютона — силы, действующие между двумя телами, равны по модулю и противоположны по направлению: .

13) Основной закон динамики вращательного движения:

.

14) Теорема Штейнера:

.

где I, I' - моменты инерции тела массы m относительно оси, проходящий через центр масс тела (I) и оси параллельной ей (I'), отстоящей от нее на расстоянии.

Основные формулы и соотношения.

• 2) Импульс центра масс системы тел: ;
• 3) Моменты инерций некоторых тел относительно осей симметрии:
  • · обруч (или тонкостенный цилиндр) массы m и радиуса r: ;

· сплошной однородный диск (или цилиндр) массы m, радиуса R и высоты h:, где — плотность материала диска;

· однородный шар массы m и радиуса r: ;

• · тонкий однородный стержень массы m и длины: .
• 1) Механическая работа — скалярная физическая величина, являющаяся количественной мерой действия силы (или сил) на тело (или систему тел), численно равная:

элементарная работа — ,.

работа на отрезки траектории -.

3) Работа сил при вращательном движении (теорема о кинетической энергии для вращающегося тела).

3) Свойства механической работы Аддитивность — работа суммы сил равна сумме работ каждой силы:

.

Знак работы определяется взаимным направлением векторов силы и перемещения. Если угол между этими векторами острый — работа положительна, если тупой — отрицательна.

Работа силы перпендикулярной вектору перемещения равна нулю.

1) Кинетическая энергия тела — скалярная физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу за счет изменения скорости его движения, численно равная:

при поступательном движении тела — ;

при вращении тела вокруг одной оси — ;

в случае катящегося тела — ;

2) Теорема о кинетической энергии — алгебраическая сумма работ всех сил, действующих на тело, равна приращению кинетической энергии тела:

;

3) Свойства кинетической энергии:

только положительна;, кинетическая энергия суммы тел равна сумме кинетических энергий каждого тела.

• 1) Консервативная сила () — сила работа которой не зависит от формы траектории, а определяется ее начальной и конечной точками. Примеры консервативных сил: сила тяжести, сила упругости, гравитационная сила и т. д.
• 2) Работа консервативной силы по замкнутой траектории равна нулю:

.

3) Потенциальная энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу за счет его взаимодействия с другими телами;

Примеры формул для расчета потенциальной энергии некоторых консервативных сил:

· Потенциальная энергия силы тяжести — ,.

· Потенциальная энергия силы упругости —, где — коэффициент упругости, — величина деформации,.

• · Потенциальная энергия гравитационной силы —, где — гравитационная постоянная, — массы взаимодействующих тел, — модуль радиус-вектора, соединяющего центры масс этих тел.
• 4) Свойства потенциальной энергии:
  • · Не аддитивна, т. е. потенциальная энергия тел не равна сумме потенциальных энергий каждого тела,
  • · Величина потенциальной энергии определена с точностью до константы (т.е. начало отсчета потенциальной энергии может быть выбрано произвольно),
  • · Потенциальная энергия сил притяжения отрицательна, а сил отталкивания — положительна.

• 6) Теорема о потенциальной энергии ;
• 7) Связь потенциальной энергии и консервативной силы:

;

Полная механическая энергия:

Полная механическая энергия тела (системы) равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела (системы):

.