Реализация метода множителей Лагранжа

Решение задач нелинейного программирования методом Лагранжа

Найти максимальное (минимальное) значение функции:

При ограничениях:

Математическая постановка задачи состоит в определении минимального (максимального) значения функции (2.1.1) при условиях (2.1.2).

Решим задачу, используя метод множителей Лагранжа. Для этого составим функцию Лагранжа:

Вычислим частные производные функции Лагранжа по всем переменным:

Составим систему уравнений для нахождения стационарных точек на основании необходимых условий условного экстремума (1.3.30):

Имеем линейную систему пяти уравнений с пятью неизвестными. Для ее решения применим метод Гаусса.

Расширенная матрица системы:

Приведем к верхнему треугольному виду:

Отсюда получим:

Следовательно, функция Лагранжа имеет одну стационарную точку при.

Для проверки экстремума в полученной точке используем достаточные условия условного экстремума (1.3.31). Чтобы составить второй дифференциал функции Лагранжа, найдем частные производные второго порядка.

тогда второй дифференциал функции Лагранжа:

Продифференцируем систему ограничений:

Если.

точка условного максимума.

.

Ответ: