Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами)

Рассмотрим модель рынка с прогнозируемыми ценами.

В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар. Однако спрос и предложение в реальных ситуациях зависят еще и от тенденции ценообразования и темпов изменения цены. В моделях с непрерывными и дифференцируемыми по времени t функциями эти характеристики описываются соответственно первой и второй производными функции цены P (t).

Рассмотрим конкретный пример. Пусть функции спроса D и предложения 5 имеют следующие зависимости от цены Р и се производных:

Принятые в (20.22) зависимости вполне реалистичны: поясним это на слагаемых с производными функции цены.

• 1. Спрос «подогревается» темпом изменения цены: если темп роста увеличивается (Р" > 0), то интерес рынка к товару становится больше, и наоборот. Быстрый рост цены отпугивает покупателя, поэтому слагаемое с первой производной функции цены входит со знаком минус.
• 2. Предложение в еще большей мере усиливается темпом изменения цены, поэтому коэффициент при Р" в функции S (t) больше, чем в /)(/). Рост цены также увеличивает предложение, потому слагаемое, содержащее Р входит в выражение для S (t) со знаком плюс.

Требуется установить зависимость цены от времени. Поскольку равновесное состояние рынка характеризуется равенством D = 5, приравняем правые части уравнений (20.22). После приведения подобных получаем:

Соотношение (20.23) представляет собой линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции P (t). Как было установлено в п. 19.1.5, общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Его корни — комплексно-сопряженные числа: к_{{ 2} = - 1 ± 2/, и, следовательно, общее решение однородного уравнения дастся формулой.

где С, и С₂ — произвольные постоянные. В качестве частного решения неоднородного уравнения (20.23) возьмем решение Р = Р — постоянную величину как установившуюся цену. Подстановка в уравнение (20.23) даст значение P_ff:

Таким образом, общее решение уравнения (20.23) имеет вид:

Нетрудно видеть, что P (t) -" Р_л = 3 при / -> «>, т. е. все интегральные кривые имеют горизонтальную асимптоту Р = 3 и колеблются около нес. Это означает, что все цены стремятся к стационарной цене Р_и с колебаниями около нес, причем амплитуда этих колебаний затухает со временем.

Приведем частные решения этой задачи для двух вариантов граничных условий: задача Коши и смешанная задача.

Задача Коши. Пусть в начальный момент времени известна цена, а также тенденция се изменения:

Подставляя первое условие в формулу (20.25), получаем Р (0) = С, + 3 = 4, откуда С, = 1, т. е. имеем:

Дифференцируя, имеем:

Теперь реализуем второе условие задачи Коши: Р'(0) = 2С, — 1 = 1, откуда С₂ = 1. Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид:

или в более удобной форме.

Смешанная задача. Пусть в начальный момент времени известны цена и спрос:

Поскольку первое начальное условие такое же, как и в предыдущей задаче, имеем и здесь решение (20.27). Тогда производные функции P (t) выражаются формулами

Отсюда Р'(0) = 2С₂ — 1 и Р" (0) = -4С₂ — 3. Подставляя эти равенства во второе условие задачи, т. е. D (0) = 16, имеем с учетом вида D (t) из первой формулы.

(20.22): С₂ = - 1. Итак, решение данной задачи имеет вид:

или в более удобной форме:

Интегральные кривые, соответствующие рассмотренным задачам 1 и 2, изображены на рис. 20.5.

Рис. 20.5.

Упражнения

• 20.1. Используя формулу (20.14) динамики национального дохода Y (t) по модели Кейнса:
  • а) проанализировать роль каждого параметра в увеличении величины Y согласно формуле (20.13), что ведет к падению Y (t)
  • б) вывести рекомендации по изменению параметров, описывающих основные экономические показатели;
  • в) выбрать наиболее предпочтительные изменения, указанные в п. *б*, применительно к условиям России.
• 20.2. Найти динамику цены Р на товар, если прогноз спроса и предложения описывается следующими соотношениями:
  • а) D (t) = Р" - 2Р' -2Р + 10, S (t) = 2Р" + 2Р' + 4Р + 4;
  • б) D (t) = Р"  — 2Р' -6Р+ 36, $(/) = 2Р" + 4Р' + АР + 6;
  • в) D (t) = Р" + 4F + 2Р + 8, S (t) = 2Р" + 2Р' + ЪР + 6.
• 20.3. В условиях предыдущего уравнения установить, какой из трех случаев описывает паническое состояние на рынке и с чем это связано.