Введение. 
Методы снижения размерности пространства статистических данных

Как уже отмечалось, одной из «точек роста» [1] прикладной статистики являются методы снижения размерности пространства статистических данных. Они все чаще используются при анализе данных в конкретных прикладных исследованиях, например, социологических. Рассмотрим наиболее перспективные методы снижения размерности. В качестве примера применения вероятностно-статистического моделирования и результатов статистики нечисловых данных обоснуем состоятельность оценки размерности пространства, ранее предложенной Краскалом из эвристических соображений [2, 3].

В многомерном статистическом анализе каждый объект описывается вектором, размерность которого произвольна (но одна и та же для всех объектов). Однако человек может непосредственно воспринимать лишь числовые данные или точки на плоскости. Анализировать скопления точек в трехмерном пространстве уже гораздо труднее. Непосредственное восприятие данных более высокой размерности невозможно. Поэтому вполне естественным является желание перейти от многомерной выборки к данным небольшой размерности, чтобы «на них можно было посмотреть». Например, маркетолог может наглядно увидеть, сколько имеется различных типов поведения потребителей (т.е. сколько целесообразно выделять сегментов рынка) и какие именно (с какими свойствами) потребители в них входят.

Кроме стремления к наглядности, есть и другие мотивы для снижения размерности. Те факторы, от которых интересующая исследователя переменная не зависит, лишь мешают статистическому анализу. Во-первых, на сбор информации о них расходуются финансовые, временные, кадровые ресурсы. Во-вторых, как можно доказать, их включение в анализ ухудшает свойства статистических процедур (в частности, увеличивает дисперсию оценок параметров и характеристик распределений). Поэтому желательно избавиться от таких факторов.

При анализе многомерных данных обычно рассматривают не одну, а множество задач, в частности, по-разному выбирая независимые и зависимые переменные. Поэтому рассмотрим задачу снижения размерности в следующей формулировке. Дана многомерная выборка. Требуется перейти от нее к совокупности векторов меньшей размерности, максимально сохранив структуру исходных данных, по возможности не теряя информации, содержащихся в данных. Задача конкретизируется в рамках каждого конкретного метода снижения размерности.