Прямая в пространстве

Две плоскости, если они не параллельны и не совпадают, пересекаются по прямой. Эту прямую можно описать системой вида:

(14.1).

где — уравнение одной из пересекающихся плоскостей, — уравнение другой плоскости. Систему двух уравнений с тремя неизвестными называют общим уравнением прямой в пространстве. Известно, что система двух линейных уравнений с тремя неизвестными имеет множество решений, если она совместна. Из всего множества решений всегда можно выделить два различных, что геометрически будет соответствовать двум различным точкам М1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), принадлежащим данной прямой. Через две точки проходит единственная прямая, уравнение которой имеет вид:

. (14.2).

Определим вектор, параллельный данной прямой, который будем называть направляющим вектором. Из условия параллельности получим:

(14.3).

где М (x0,y0,z0) — точка, расположенная на прямой.

Полученные уравнения называют каноническими уравнениями прямой в пространстве. Обозначая коэффициент пропорциональности в канонических уравнениях прямой через t, получим:

. (14.4).

Полученную систему называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Углом между двумя прямыми называют угол между их направляющими векторами. Если прямые заданы каноническими уравнениями и ,.

то угол ц между ними определяется по формуле:

.

Если, то прямые перпендикулярны.

Если, то прямые параллельны.

Необходимым и достаточным условием принадлежности двух прямых, заданных каноническими уравнениями, одной плоскости, служит равенство:

.

Если прямая пересекает плоскость Ax + By + Cz + D = 0, то угол, образованный прямой и плоскостью, определяют из равенства: .

— условие параллельности прямой и плоскости;

— условие перпендикулярности прямой и плоскости.

Если, то прямая пересекает плоскость Ax + By + Cz + D = 0. Точку пересечения прямой и плоскости можно определить из системы:

Условия принадлежности прямой плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеют вид:

Расстояние d от точки М1(x1, y1, z1) до прямой, заданной каноническими уравнениями, находится по формуле:

.

Расстояние h между двумя скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями, определяют по формуле:

где — точка, принадлежащая первой прямой, — точка, принадлежащая второй прямой.

Пример 22. Даны вершины треугольника А (1; -2; -4), В (3; 1; -3) и С (5; 1; -7). Составить параметрические уравнения высоты, опущенной из вершины В на противоположную сторону.

Решение.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярно стороне АС, Нормальный вектор этой плоскости. Уравнение плоскости, или .

Запишем уравнение прямой АС:

.

или в параметрическом виде:

Найдем точку пересечения М прямой АС и плоскости, перпендикулярной этой прямой, то есть основание высоты:

Подставим x, y, z в первое уравнение:

Найдем направляющий вектор высоты ВМ:

.

Возьмем вектор, коллинеарный вектору :

Параметрические уравнения высоты ВМ имеют вид:

Пример 23. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку и пересекает прямые и .

Решение. Запишем уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М (-4; -5; 3). Точка М1(-1; -3; 2) — принадлежит прямой и плоскости. Вектор =(3; 2; -1) так же принадлежит этой плоскости. За нормальный вектор плоскости возьмем вектор, равный векторному произведению вектора и вектора :

.

Уравнение плоскости с нормальным вектором, проходящей через точку М (-4; -5; 3) имеет вид: 4(х + 4)+12(z — 3)= 0, или х + 3z — 5 = 0.

Найдем точку К пересечения плоскости х + 3z — 5 = 0 и прямой.

:

Решим систему:

откуда. Прямая, проходящая через точки М (-4; -5; 3) и К (2; -1; 1) будет искомой. Уравнения этой прямой имеют вид:

или .