Стоячие волны. 
Давление в жидкостях и газах

Смещение в стоячей волне. Запишем уравнения двух плоских волн, имеющих одинаковые частоты и амплитуды и распространяющихся в противоположных направлениях:

.

Суммарное смещение частицы среды с координатой х равно сумме смещений о1 и о2.

или (после тригонометрических преобразований):

Это и есть уравнение стоячей волны. Оно показывает, что в результате наложения прямой и обратной волн точки среды колеблются так, что все они одновременно проходят положение равновесия (sin щt = 0) и все они одновременно достигают своих наибольших отклонений (sin щt = ± 1).

Можно было бы сказать, что частицы в стоячей волне колеблются в одной фазе. Однако в силу того, что множитель имеет алгебраический знак, частицы на самом деле.

колеблются либо в одной фазе, если для них имеет одинаковый знак, либо в противофазе, если имеет для них разные знаки.

Для пояснения сказанного на Рисунке 4 приведено распределение смещения частиц среды для различных последовательных моментов времени. В моменты времени t1 и t5 частицы имеют наибольшие отклонения (если иметь в виду поперечную волну в шнуре, то графики описывают истинное положение частиц в пространстве), при этом скорости их равны нулю. В момент t3 частицы проходят положение равновесия; скорости их максимальны. Для моментов t2 и t4 показаны распределения смещений между наибольшим и нулевым смещением. На графике выбраны три точки с координатами х1, x2, x3. Для каждого момента времени стрелками показаны скорости этих точек. Из графика видно, что точки х1 и х2 колеблются в противофазе, а точки х1 и x3 — в одной фазе. Размахи колебаний у разных точек различны. Так, точка 4 колеблется в пределах отрезка а, б. Амплитуда колебаний частиц в стоячей волне зависит от их координаты, но не зависит от времени:

.

Здесь знак модуля поставлен потому, что амплитуда — сугубо положительная величина. В стоячей волне имеются такие точки, которые остаются все время неподвижными. Такие характерные точки называются узлами смещения. Положение их определяется из условия.

Это уравнение удовлетворяется при значениях аргумента.

где k = 0, 1, 2, …. Отсюда.

Таким образом, точки с координатами являются узлами смещения. Расстояние между двумя соседними узлами равно .

Точки волны, колеблющиеся с наибольшими амплитудами, называются пучностями смещения. Координаты этих точек определяются из условия.

Это уравнение удовлетворяется при значениях аргумента (где k=0,1,2,…).

Отсюда получаем:

.

Таким образом, наибольшую амплитуду имеют точки с координатами Расстояние между двумя соседними пучностями равно. На Рисунке 5 представлен график распределения амплитуды колебаний в стоячей волне (формула 2).

График стоячей волны, приведенный на Рисунке 6, носит условный характер: на нем показано, в каких пределах колеблются различные точки среды, в которой образовалась стоячая волна. На этом графике хорошо видны узлы и пучности смещения.

Кинетическая и потенциальная энергия стоячей волны.

Выделим в среде, где установилась продольная стоячая волна, элементарный объем ДV, достаточно малый, чтобы можно было считать скорости колебательного движения частиц одинаковыми, а деформацию однородной. Выделенный объем обладает кинетической энергией.

Так как для стоячей волны.

то.

Подставив это выражение в формулу для ДЕк, получаем:

.

Отсюда видно, что кинетическая энергия, выделенного объема изменяется во времени, как квадрат косинуса, и что существуют такие точки волны, в которых кинетическая энергия равна нулю в любой момент времени (). Эти точки называются узлами кинетической энергии. Они совпадают с узлами смещения. Точки, в которых ДЕк имеет наибольшее значение (), называются пучностями кинетической энергии. Такие точки совпадают с пучностями смещения.

Выделенный объем среды ДV обладает и запасом потенциальной энергии.

Подставляя сюда выражение.

и учитывая, что, получаем:

Так как, a окончательно.

Из этого соотношения видно, что потенциальная энергия фиксированного объема также изменяется во времени, но уже по закону синуса в квадрате. В те моменты времени, когда кинетическая энергия равна нулю (cos щt= 0), потенциальная энергия достигает максимума (sin щt= 1). Это значит, что колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты во времени на четверть периода (T/4). Напомним, что в бегущей волне оба вида энергии изменяются в одной фазе.

Потенциальная энергия зависит не только от времени, но и от положения выделенного объема ДV. Имеются такие точки стоячей волны, где потенциальная энергия равна нулю в любой момент времени (). Эти точки называются узлами потенциальной энергии. Существуют и пучности потенциальной энергии ().Сопоставляя (3) с (4), приходим к выводу, что узлы потенциальной энергии приходятся на пучности кинетической энергии. И наоборот, пучности потенциальной энергии совпадают с узлами кинетической энергии. На Рисунке 7 показаны графики распределения амплитуд кинетической энергии и потенциальной энергии.

Из графиков видно, что пучности кинетической энергии и пучности потенциальной энергии сдвинуты в пространстве на четверть длины волны (л/4). Таким образом, в отличие от бегущих волн максимумы кинетической и потенциальной энергии разобщены не только во времени на (на T/4), но и в пространстве (на л/4).

Когда кинетическая энергия волны максимальна, ее потенциальная энергия равна нулю. Через четверть периода кинетическая энергия обращается в нуль, потенциальная энергия достигает максимума. Однако участки среды, где наблюдаются максимумы потенциальной энергии, отстоят на л/4 от тех участков, где четверть периода назад была максимальна кинетическая энергия. В стоячей волне наблюдается периодически повторяющийся переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, что в определенной степени аналогично переходам энергии в простой колебательной системе (например, математическом маятнике). В отличие от бегущих стоячие волны не переносят энергии. Действительно, кинетическая энергия через Т/4 перейдет в потенциальную и переместится в пространстве на четверть волны, например в сторону положительных х. В следующую же четверть периода потенциальная энергия вновь перейдет в кинетическую и переместится и пространстве на л/4 в противоположную сторону.

Таким образом, средний за каждый полупериод поток энергии через площадку, поставленную перпендикулярно оси х, будет равен нулю.