Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при различных вариантах закрепления

Полимерные материалы плотно входят в нашу жизнь не только привычными ограждающими, гидроизолирующими материалами, но и имеющими конструкционное предназначение. К ним можно отнести полимерные арматуру, тяжи для крепления навесных потолков и стен. Обладая прекрасными эксплуатационными качествами, такими как кислотои щелочестойкость, временное сопротивление разрыву некоторых полимеров достигает 2000 МПа, эти материалы не лишены недостатков — для них характерно развитие деформаций ползучести, которая происходит не в фазе в прилагаемой нагрузкой и, соответственно, с напряжениями в теле.

Исследованию устойчивости стержней посвящено много литературы, к примеру, ставшей классикой [3]. Однако при исследовании устойчивости стержней авторы в большинстве случаев отталкиваются от уже ставшей «классической» модели закрепления «шарнир-шарнир». Литературы, в которой рассматриваются другие варианты закрепления с учетом возмущающих факторов, а тем более деформаций ползучести, имеется крайне скудное количество.

В свое время вопрос устойчивости полимерных стержней освящен в работах [1, 2]; из современных работ можно выделить работу [4]. К сожалению, они также рассматривают только вариант закрепления «шарнир-шарнир».

Если рассматривать работу на сжатие полимерной арматуры в кладке, то соединительные элементы в креплении стен нельзя описать только моделью «шарнир-шарнир»; наиболее подходящими будут модели «защемление-защемление» и «защемление-шарнир».

В качестве уравнения связи для таких полимерных конструкций наиболее точно подходит обобщенное нелинейное уравнение Максвелла-Гуревича, в дальнейших расчетах используемое в следующей форме:

.	(1).

где; .

Здесь — деформации ползучести, — модуль высокоэластичности, — модуль скорости, — коэффициент начальной релаксационной вязкости.

Для полимерных материалов высокоэластические деформации в общем случае представляют собой суммы отдельных составляющих, каждая из которых соответствует определенному члену спектра времен релаксаций.

.

При процессе ползучести до 1000 часов обычно преобладает первая составляющая высокоэластической деформации, так называемый старший спектр времен релаксации, т. е. s=1.

Как видно из выше представленных уравнений определяемые высокоэластические деформации находятся и в левой части уравнения (под оператором дифференцирования), и в правой части (в функции напряжений). В связи с этим при использовании уравнения связи Максвелла-Гуревича возникают определенные трудности в применении таких программных комплексов, как ANSYS. Дальнейшее решение задач происходило в программном комплексе MatLab.

В практике стержни имеют некоторое искривление своей оси, также называемое «погибью», при этом сила обычно оказывается приложенной внецентренно (см. рис. 1.). Подобного рода задачи в упругой постановке, однако, в случае закрепления «шарнир-шарнир», подробно рассмотрены в [1, 3].

Рассмотрим задачу, при которой стержень крепится по схеме «защемление-защемление».

• 1. Имеет место одноосное напряженное состояние ().
• 2. Гипотеза плоских сечений.

• 3. Геометрическая линейность (, где — кривизна стержня).
• 4. Форма сечения (рассматривается прямоугольное сечение).

Пусть стержень имеет некоторую начальную погибь.

.	(2).

где — начальная стрела прогиба.

Полную деформацию по оси стержня можно записать в виде.

.	(3).

С учетом гипотезы плоских сечений, с другой стороны, можно записать.

.	(4).

где — деформации средней оси стержня.

С учетом (3) и (4) можно записать.

.	(5).

Для любого сечения стержня могут быть записаны интегральные условия полимерный арматура защемление деформация.

.	(6).
.	(7).

где .

Подставляя выражение (5) в (6) и проведя интегрирование, определяются осевые деформации стержня:

.	(8).

Проводя аналогичные операции с выражениями (5) и (7):

.	(9).

где — осевой момент инерции стержня относительно оси z.

С учетом того, что получаем окончательное разрешающее уравнение для оси стержня:

.	(10).

Пусть, тогда.

.	(11).

Граничные условия задачи:

при: ,; при: , .	(12).

Для возможности задания граничных условий применительно к задаче, уравнение (11) дифференцируется дважды по x:

.	(13).

Решение данного уравнения аналитически не представляется возможным даже в случае значительных упрощений, вследствие его структуры решение удобно произвести методом конечных разностей, интегрирование проводится методом Симпсона.

Для варианта закрепления «защемление-шарнир» граничные условия примут вид:

при: ,; при: , .	(12).

Далее рассматриваются задачи ползучести стержня из эпоксидной смолы ЭДТ-10. При этом исходные данные для параметров ползучести взяты из работы [2]. Исходные данные:, ,, ,, ,, .

Для варианта закрепления «защемление-шарнир»:, , для варианта закрепления «защемление-защемление»:, .

Результаты расчетов представлены на рисунках 2ч5. Положительным напряжениям соответствует сжатие.

Как видно из графиков, в образце при закреплении «защемление-защемление» резко начинают расти деформации при t=4ч15мин, а в образце при закреплении «защемление-шарнир» — при t=3ч05мин.

Рис. 2. Рост стрелы прогиба во времени в стержне при закреплении «защемление-защемление».	Рис. 3. Рост напряжений в сечении стержня при x=l/2 при закреплении «защемление-защемление».
Рис. 4. Рост стрелы прогиба во времени в стержне при закреплении «защемление-шарнир».	Рис. 5. Рост напряжений в сечении стержня при x=l/2 при закреплении «защемление-шарнир».

• 1. Андреев В. И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: дис. … канд. техн. наук. — М., 1967.
• 2. Бабич В. Ф. Исследование влияния температуры на механические характеристики полимеров: дис. … канд. техн. наук. — М., 1966.
• 3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. — М.: Наука, 1975.
• 4. Языев С. Б. Устойчивость стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств: дис. … канд. техн. наук. — Ростов-н/Д, 2010.