Моделирование движения релятивистских частиц в метрике галактик

Движение нерелятивистских частиц в метрике (2) было исследовано в работах [10−11]. Согласно (11) и (12), в галактиках существует два типа особенностей — простой полюс и логарифмическая особенность. Поэтому следует рассматривать не только точечные источники типа черной дыры, но также источники, распределенные вдоль оси симметрии, для которых нет физического аналога, хотя в общей теории относительности это просто решения уравнения Эйнштейна для вакуума в метрике (2). Отметим, что гравитационные потенциалы типа (10) или (11) соответствуют природе гравитации в галактическом масштабе, как это следует из обработки данных для 50 галактик [10].

Полученные результаты показывают, что метрика галактик с осевой симметрией типа (2) в нерелятивистском приближении соответствует гравитационным потенциалам вида (10) или (11), которые возрастают неограниченно с увеличением расстояния до центра системы. Очевидно, что этот рост может быть ограничен на большом расстоянии, где метрика (2) переходит в метрику галактического кластера [11].

Движение релятивистских частиц в гравитационном поле в общем случае описывается уравнением.

(16).

— символы Кристоффеля второго рода. Для определения траекторий релятивистских частиц в галактиках мы использовали уравнение (16) с потенциалами вида (12), (13) или (15). Символы Кристоффеля вычисляются в метрике (2) согласно.

(17).

Здесь индексы 0,1,2,3 соответствуют координатам .

Определим ковариантные компоненты скорости как трехмерного вектора согласно [20].

(18).

Здесь индексы.

Как известно, при движении частицы в постоянном поле сохраняется полная энергия.

(19).

Система уравнений (16) с учетом выражений (12) и (17) решалась численно. При нахождении устойчивых орбит начальные данные задавались исходя из решения аналогичной задачи в метрике Шварцшильда. Как известно, радиус ближайшей к центру устойчивой круговой орбит в метрике Шварцшильда и ее момент определяются величиной гравитационного радиуса,.

.

а энергия частицы на такой орбите не зависит от геометрических параметров, имеем [20]:

(20).

Здесь — масса частицы. На рис. 3 приведены типичные траектории движения релятивистских частиц в метрике (2) с потенциалами (12), вычисленные для начальных данных:

(21).

Отметим, что задание производной собственного времени позволяет синхронизовать время с параметром s, вдоль которого определяется решение системы уравнений (16).

Траектории частицы представляют собой навитые на центральное ядро кривые сильно вытянутые в плоскости ортогональной оси симметрии системы. Задавая начальные данные (21) в виде, находим, что радиальная координата изменяется в широких пределах — рис. 3.

Рис. 3. Траектории частиц в метрике (2), полученные путем численного решения системы уравнений (16) с потенциалами (12) и с начальными данными (21).

Однако при отклонении от начальных данных более чем на 1% частица в своем движении удаляется от центра на значительно расстояние. Энергия частицы сохраняется в численных расчетах с точностью, а по величине превосходит энергию на устойчивых круговых орбитах в метрике Шварцшильда вычисленной согласно (20). Скорость частицы достигает величины .

На рис. 4 приведены результаты моделирования орбит с начальными данными в виде.

(22).

В этом случае масса системы в полтора раза меньше, чем в задаче с данными (21), но устойчивые орбиты все еще определяются условием, которое, следовательно, не зависит от массы и от гравитационного радиуса. Период колебаний и амплитуд радиальных колебаний в этом случае уменьшаются по сравнению с задачей (21) приблизительно в 6 раз — сравните рис. 3 и 4.

Рис. 4. Траектории частиц в метрике (2), полученные путем численного решения системы уравнений (16) с потенциалами (12) и с начальными данными (22).

На рис. 5 приведены результаты моделирования траекторий при включении логарифмического потенциала,.

(23).

Отметим, что наличие даже слабого возмущения в форме логарифмического потенциала с параметром приводит к существенному изменению как амплитуды, так и периода радиальных колебаний приблизительно в два и три раза соответственно по сравнению с невозмущенным движением — рис. 4.

Рис. 5. Траектории частиц в метрике (2), полученные путем численного решения системы уравнений (16) с потенциалами (12) и с начальными данными (23).

В некоторой области параметров в системе с логарифмическим потенциалом возникает движение, внешне похожее на гармонические колебания — рис. 6. Можно предположить, что в этой области параметров система уравнений (16) может быть проинтегрирована точно. Действительно, рассмотрим уравнение Гамильтона-Якоби.

(24).

Будем искать решение уравнения (24) в метрике (2) в форме.

(25).

Подставляя (25) в (24), находим.

(26).

Наконец, полагая в (26), что движение происходит в плоскости, приходим к искомому уравнению.

(27).

Разрешая уравнение (27), находим, отсюда траектория движения определяется согласно Следовательно, траектория частицы описывается одним интегралом,.

(28).

Что и требовалось доказать. Если предположить, что в метрике (1) по плоским траекториям типа (28) движутся заряженные частица, то такие частицы создают круговые токи, генерирующие статическое магнитное поле. Тем самым может получить объяснение статическое магнитное поле планет, звезд и галактик.

Наконец, заметим, что движение релятивистских частиц в сильном гравитационном поле не приводит к увеличению их энергии, что видно из данных, приведенных на рис. 3−5. Этим релятивистское движение в гравитационных полях существенно отличается от движения релятивистских частиц в ускорителях, где энергия частиц возрастает по мере приближения их скорости к скорости света.