Необходимое условие Вейерштрасса сильного минимума функционала

Неравенство Лежандра есть необходимое условие слабого минимума функционала. Неравенство Вейерштрасса (1815—1897) отвечает сильным вариациям, т. е. здесь имеет место только близость функций, а производные могут отличаться сколь угодно сильно, как это показано на рис. 1.5. И здесь мы говорим уже о сильном экстремуме, где близки только варьируемые функции, а вариации первых производных — нет, как это имеет место в точках с и d на рис. 1.6.

Обращаясь к разложению полной вариации функционала (1−8)

Рис. 1.5. Близость функций 0-го порядка.

напомним, что при построении условия Лежандра мы полагали, что можно ограничиться только квадратичными членами, так как старшие вариации функционала 67, 67,… содержат малые вариации 6у и бу’в степенях >3 и пренебрежимо малы. Для рассматриваемых сильных вариаций (6у малы, 6у'любые) такое представление несправедливо, и нужно рассматривать все члены в разложении (1.17). Здесь удобно вернуться к исходной форме полной вариации функционала (1.8):

Поскольку на экстремали 6/ = 0, а на любой близкой к экстремали кривой AJ > 0, можно записать:

Здесь Е — так называемая избыточная функцияВейерштрасса: где

Рис. 1.6. Пояснение к понятию сильных вариаций.

Выясним структуру функции Вейерштрасса (1.18), для этого вновь рассмотрим вариации специального вида (рис. 1.7). Как и ранее, введем малый параметр е, при этом вновь полагаем:

На таком классе вариаций.

Теперь полагаем, что Ьу' положительна и любая по величине на Р, Q], а на Q, /?], как и при выводе условия Лежандра, 6у ~с. При этом вновь на промежутке [Р, Q] 6у~с², а на [ Q, 7?] 6у~с. Оценим каждый из интегралов в (1.19):

на [ Q, /?], разложив А/в ряд Тейлора и учитывая, что 6у~с и бу ~с, найдем

тогда, в силу того что d-г, получаем такую оценку:

Рис. 1.7. Специальные вариации при выводе условия Вейерштрасса на [Р, Q], в согласии с условиями, 6/любое, а длина промежутка с~ с², что дает такую оценку:

Таким образом, (1.19) при е -«0 принимает вид:

Откуда, по произвольности промежутка, получим.

При этом величины Д/и б/с учетом того, что бу -* 0, принимают вид:

и выражение для функции Вейерштрасса (1.18) окончательно такое:

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 1.4. Для тою чтобы экстремальных) сообщала сильный относительный минимум функционалу.

необходимо, чтобы на ней при любых значениях бу’функция Вейерштрасса была неотрицательна:

при х&а, Ь].

Замечание 1.4. Соотношение (1.20) или (1.21) называют неравенством Вейерштрасса.

Замечание 1.5. При малых бу’неравенство Вейерштрасса переходит в неравенство Лежандра, так как.

Замечание 1.6. Часто неравенство Вейерштрасса записывают в виде

подразумевая под г произвольное значение вариации 6у'.

Замечание 1.7. Для функционала, зависящего от п функций одного независимого переменного.

неравенство Вейерштрасса имеет вид:

Рис. 1.8. «Иголки» Вейерштрасса.

Замечание 1.8. В чем смысл неравенства Вейерштрасса?! Здесь мы должны отметить следующие обстоятельства: во-первых, мы расширили класс экстремалей до таких, которые не принадлежат классу 0а, Ь, т. е. предполагаем, что допустимые кривые могут иметь изломы (точки разрыва производных), иначе говоря, расширили постановку вариационной задачи;

во-вторых, это обстоятельство как раз и подчеркивается тем, что параметр /• (векторный для п функций одного независимого переменного) может быть любым, так как именно он характеризует величины скачков производных у допустимых кривыхуДх).

Далее мы увидим и другие стороны роли неравенства Вейерштрасса в вариационном исчислении, но для этого нам нужно будет ввести понятие поля экстремалей (разд. 2 и 5).

Замечание 1.9. Вариации, рассмотренные в доказательстве, носят название игольчатых, что наглядно демонстрирует рис. 1.8, где /7 = 1.