Фазовый анализ для оценки цикличности временного ряда урожайности зерновых культур

В экономической науке анализ временных рядов (ВР) занимает особое место. Исследование временной структуры данных в реальных экономических процессах позволяет адекватно отразить их в математических и экономических моделях. Исследуя временные ряды, по сути, происходит оценка экономических и социальных связей между переменными, что немаловажно для процесса принятия управленческих решений. Понимание и осознание этого факта всегда приводит к развитию различных методов анализа временных рядов.

В настоящее время большой интерес для науки представляют методы нелинейной динамики. Особенно стало актуальным применение их в анализе временных рядов. Это такие методы как: фрактальный анализ, фазовый анализ с применением теории нечеткого множества и теории детерминированного хаоса. Также стали популярными прогнозные модели на базе интеллектуальных систем: нейронные сети, клеточные автоматы, генетические алгоритмы, дающие хорошие прогнозы с достаточно приемлемой погрешностью [4,5,6,7,8]. Развитию методов нелинейной динамики предшествовало также наметившийся прогресс в компьютерных технологиях, когда стало возможным визуализировать на экране дисплея результаты моделирования достаточно сложных процессов и систем в виде графиков и диаграмм.

Анализ многочисленных публикаций [4,5,6,8] показывает, что свойство нелинейности характерно для многих социальных, экономических, природных и других процессов. Особенно большое количество научной литературы и статей посвящено исследованиям финансовых временных рядов методами нелинейной динамики [6]. Одним из преимуществ этих методов является то, что применение их в анализе временных рядов не требует подчинения исследуемых систем нормальному закону распределения, как это принято в классических моделях анализа и прогнозирования. цикличность временной квазицикл предпрогнозный При построении прогнозной модели очень важно знать предпрогнозные характеристики исследуемой системы. Опираясь на них можно осуществить выбор адекватной прогнозной модели и вместе с тем и принятие правильного управленческого решения. Одной из таких задач является задача исследования экономического временного ряда на цикличность.

Проблема цикличности в экономических системах всегда волновала умы великих ученых из многих областей науки. Однако среди экономистов, признающих цикличность, нет единого мнения, относительно природы данного явления. Традиционно выделяют экзогенный и эндогенный подходы к объяснению этого явления. Основателем теории внешних факторов является английский экономист У. С. Джевонс, связавший экономический цикл с 11-летним циклом солнечной активности. Он связывал цикличность солнечной активности в основном с сельским хозяйством и торговлей, а его последователи распространили влияние солнечного цикла на всю экономику.

Существует классические методы выявления циклической компоненты в экономических временных рядах. Это известные в эконометрике автокорреляции различных порядков, также некоторые модели из серии ARIMA. Основная особенность этих моделей заключается в том, что поведение исследуемых временных рядов должно подчиняться нормальному закону распределения. Последнее не всегда верно для многих временных рядов [4,6,8].

Фазовый анализ (ФА) как один из инструментальных методов нелинейной динамики представляет интерес в исследовании цикличности в экономических временных рядах [5,6]. Анализ публикаций по теме исследования показывает, что существуют так называемые графические тесты хаоса Гилмора [1,7], которые выявляют неустойчивые квазипериодические конфигурации орбит, заключенные в странном аттракторе. Для определения таких орбит наиболее адекватным представляется метод «построения фазового портрета и его разложение на квазициклы» [5,6,7].

В настоящей статье предлагается следующий алгоритм фазового анализа, состоящий из 4-х этапов.

На первом этапе выбирается размерность фазового пространства. Второй этап заключается в построении фазового портрета изучаемой системы методом соединения соседних точек, либо отрезками, либо кривой. На третьем этапе фазовый портрет раскладывается на «квазициклы» и представляется в виде нечеткого множества.

Выше перечисленные этапы алгоритма фазового анализа проиллюстрируем на примере временного ряда урожайности «зерновых всего» в России за период с 1896 г. по 2014 г., графическое представление которого визуализируется на рис. 1.

Рисунок 1. Временной ряд урожайности зерновых культур в России за период 1896—2007 гг. Введем обозначение этого ВР.

. (1).

Число наблюдений для ВР (1) составляет при этом каждое наблюдение приравнивается к одному году. Численные значения наблюдений определяют средний объем выхода урожайности зерновых на текущий год и измеряется в ц/га. Для различных экономических временных рядов достаточным является построение фазового портрета в фазовом пространстве размерности два, т. е.. В литературе [5] отмечено, что для конструирования истинного фазового пространства, необходимо знать все переменные, релевантные изучаемой системе. В случае временных рядов, мы имеем дело с одной лишь известной динамической переменной. Для восстановления фазового пространства по одной динамической переменной Паккард и Рюэль [4] предложили простой метод, который наполняет другие размерности посредством запаздывающих значений одной наблюдаемой переменной. Есть исходный временной ряд, уровни которого откладываются по оси абсцисс, и есть второй временной ряд, значения уровней которого откладываются по оси ординат, и являющийся той же реализацией, но с отставанием на один период. Математическое объяснение Паккарда такому механизму построения фазового портрета состоит в том, что нелинейные динамические системы являются детерминированными, и являются внутренне зависимыми системами. Это означает, что текущие величины каждой переменной есть результат воздействия на них прошлых величин [4,5].

Рассмотрим фазовый портрет исследуемого ВР (1), построенный по механизму Паккарда [4,5] и представленный на рис. 2 в виде траектории точек, в которой каждая соседняя пара соединена кривой. Визуализация этого фазового портрета свидетельствует о циклической природе рассматриваемого ВР. Для получения числовых и качественных характеристик этой цикличности разложим его на «квазициклы». Термин «квазицикл» в переводе с греческого языка означает «как бы цикл» и он близок к определению «цикла». Отличие квазицикла от цикла состоит в следующем:

• — во-первых, квазицикл допускает точного несовпадения начала цикла с его концом;
• — во-вторых, для квазицикла достаточно вхождение конечной его точки в область начальной точки;
• — в-третьих, допускает самопересечение начального и конечного звеньев квазицикла, если это приводит к наименьшему расстоянию между точками начала и конца его.

Рисунок 2. Фазовый портрет временного ряда урожайности зерновых культур (1).

В целом фазовый портрет исследуемого ВР разложился на 22 последовательных неустойчивых в плане периодичности квазицикла, , совокупность которых демонстрирует странный аттрактор [7,8]. Квазициклы имеют количественную (длина), и качественную (конфигурация) характеристики. Число точек в квазицикле называется его длиной и обозначается через. Типичные квазициклы различных длин и конфигураций для временного ряда представлены на рис. 3.

а) б) в) Рисунок 3. Типичные квазициклы в фазовом пространстве для ВР :

а, б — квазициклы, не имеющие точку самопересечения;

в — квазицикл, имеющий точку самопересечения.

Типичный квазицикл, длины, представленного на рис. 3а, например, означает, что цикл определяется 5-тью уровнями исходного ВР и при этом ВР обладает свойством 5-летней цикличности. Статистика длин квазициклов исследуемого ВР (1) представлена в табл. 1.

Таблица 1. Статистика длин квазициклов ВР (1).

Таким образом, представленный на рис. 1. временной ряд урожайности «зерновых всего» в России фактически состоит из 22 завершенных квазициклов, которые в совокупности включают в себя 103 годовых уровня исходного ВР. Отсюда получаем среднее значение длины квазициклов и составляет лет. Характерной особенностью квазициклов рассматриваемого временного ряда урожайности зерновых является то, что чаще всего появляются квазициклы длины 4 и 5 в области значений длин, откуда вытекает 5-летнее значение средней длины годичных квазициклов.

При реальном моделировании сложных систем значительная часть информации, необходимой для их математического описания, существует в виде нечетких представлений или пожеланий экспертов. Для преодоления трудностей представления неточных понятий, анализа и моделирования систем, в которых участвует человек, американским математиком Лотфи Заде была предложена так называемая теория нечетких множеств [3,4]. Представим в виде нечеткого множества (НМ) статистику длин квазициклов. Для этих целей данные частотного распределения квазициклов представим в виде табличной модели (см. табл. 2).

Таблица 2. Табличная модель представления нечеткого множества длин квазициклов.

Предлагается следующий алгоритм формирования нечеткого множества длин квазициклов.

На первом шаге экспертным путем [3,4], с учетом того, что функция принадлежности может принимать значения в интервале от 0 до 1, присваиваем наиболее часто встречающемуся квазициклу, а это, заведомо высокое значение функции принадлежности, и пусть это будет, т. е.. Значение функции принадлежности равное единице соответствует истинности высказывания, а — соответствует ее отсутствию [3,4].

На втором шаге, для остальных квазициклов вычисляем значения функции принадлежности по формуле:

.

где и заполняем результатами вычисления последнюю строку табл.2.

На третьем шаге попарно объединяем элементы первой и последней строки табл.2 и представляем запись нечеткого множества так, как это принято в литературах по теории нечеткого множества [3]. Полученная оценка длин квазициклов для ВР представляется в виде нечеткого множества вида (2):

. (2).

Для наглядности на рис. 4 представлено графическое изображение НМ длин квазициклов для ВР .

Рисунок 4. Графическое представление нечеткого множества длин квазициклов для ВР.

Из рис. 4 видно, что наиболее значимыми для ВР оказались квазициклы длины 3, 4 и 5. Об этом свидетельствуют не только численные значения их соответствующих функций принадлежности, и, но и попадание их в область выше [3]. Следует отметить при этом, что менее выраженным из них оказался трехлетний цикл.

Центр тяжести нечеткого множества, вычисленный по формуле.

.

выдал результат, вполне согласующийся с суждением о приблизительной 5-годичной цикличности урожайности зерновых.

По результатам фазового анализа можно сделать заключение о том что, рассматриваемый временной ряд урожайности «зерновых всего» в России содержит компоненту цикл, которая имеет непериодический характер и тем самым порождает «квазициклы» различных конфигураций.

Свойство цикличности, присущее динамике урожайности зерновых, обязательно должно учитываться при планировании, прогнозировании и управлении сельскохозяйственным производством.

Результаты фазового анализа позволяют сделать обоснованные выводы о том, что в динамике ВР урожайности зерновых присутствует свойство «квазицикличности», которое обычно присуще нелинейным процессам и системам [5, 6, 7]. Последнее дает основание утверждать о неадекватности классических прогнозных моделей для их прогнозирования. Желательно для качественного их прогнозирования применить методы, которые базируются на таких интеллектуальных системах, как: нейронные сети, клеточные автоматы, генетические алгоритмы, зарекомендовавшие себя сильными прогнозными моделями.

• 1. Gilmore C.G. A new test for chaos / C.G. Gilmore //Journal of economic behavior and organization, № 22, 1993. — P. 209−237.
• 2. Бессонов В. А.

  Введение

  в анализ российской макроэкономической динамики переходного периода/ В. А. Бессонов. — М.: ЦЭМИ РАН, 2003. — 151 с.

• 3. Кофман А., Хил Алуха Х.

  Введение

  теории нечетких множеств в управлении предприятиями / А. Кофман, Х. Хил Алуха.- Минск: Высшая школа, 1992.

• 4. Перепелица В. А. Структурирование данных методами нелинейной динамики для двухуровневого моделирования /В.А. Перепелица, Ф. Б. Тебуева, Л. Г. Темирова — Ставрополь: Ставропольское книжное издательство, 2006. — 284 с.
• 5. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории Хаоса в инвестициях и экономике / Э. Петерс — М.: Интернет-Трейдинг, 2004. — 304 с.
• 6. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка / Э. Петерс — М.: Мир, 2000. — 333 с.
• 7. Сергеева Л. Н. Моделирование поведения экономических систем методами нелинейной динамики (теории хаоса) / Л. Н. Сергеева — Запорожье: ЗГУ, 2002. — 227 с.
• 8. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение / Г. Шустер — М.: Мир, 1988. — 240 с.