Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Характеристика дифференциального исчисления функций нескольких переменных

Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных — функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:

1. Непрерывность и пределы.

Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел.

К нулю функция стремится при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.

При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.

2. Нахождение частной производной.

Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.

3. Кратное интегрирование.

На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные.

Согласно теореме Тонелли-Фубини, кратный интеграл может быть вычислен, как повторный интеграл.

Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.