Основные уравнения модели метрики адронов и лептонов

Рассмотрим центрально-симметричную метрику вида [16−20, 26].

(1).

Здесь — метрический тензор пространства Минковского сигнатуры (- + + +), — гауссова кривизна квадратичной формы ,.

Функция определяется путем решения уравнений Янга-Миллса [26]. Среди всех решений уравнений Янга-Миллса, в случае метрики (1), есть такое, которое выражается через эллиптическую функцию Вейерштрасса [26]. В этом случае уравнения модели приводятся к виду [16−20]:

(2).

Здесь обозначено: — инварианты функции Вейерштрасса, причем ;

— свободный параметр, связанный с выбором начал координат;

— тензор энергии-импульса материи. Отметим, что в этих обозначениях уравнение Эйнштейна имеет вид.

(3).

— тензор Риччи.

В метрике (2) можно определить дефект решетки типа пузыря. В области пузыря считаем, что, а во внешней области решение зададим в виде (2), имеем.

(4).

На границах пузыря непрерывна функция и ее первая производная,.

(5).

В частном случае решетки с инвариантами заданными в виде, находим первый ноль и соответствующее значение параметра метрики. Отметим, что метрика во внутренней области пузыря является трехмерной, поскольку не содержит радиальной координаты. Действительно, используя уравнения (1) и (4), находим.

(6).

Аналогично строится решение для других корней второго уравнения (5). Все эти решения отличаются только размером пузыря, тогда как значение параметра не меняется.

Всякий пузырь можно вывернуть наизнанку, просто изменив на противоположные неравенства (4). В этом случае можно определить метрику во внешней области пузыря, используя решение первого уравнения (2), так, чтобы метрика внешнего пространства совпала с метрикой нашей Вселенной [16]. Третий тип частиц можно составить как комбинацию двух первых, в результате возникает пузырь, ограниченный оболочкой конечной толщины. Наконец, можно составить многослойную оболочку, состоящую из чередования оболочек конечной толщины и «вакуумных» промежутков, в которых выполняется равенство. Такого рода структура пространства обладает двумя периодами, зависящими от инвариантов функции Вейерштрасса .

Преобразуем метрику (6) к стандартному виду. Для этого умножим обе части выражения (6) на постоянное число и введем новые переменные, отличающиеся от старых переменных на постоянный множитель, в результате находим.

(7).

Метрика (7) использовалась для моделирования структуры барионов, в том числе протона и нейтрона [17−18], а также атомных ядер [19−20]. В настоящей работе метрика (7) использована для моделирования динамики преонов в метрике кварков и лептонов.