Математическая модель демпфирования рабочего процесса гидропривода механизма поворота колонны лесного манипулятора

Управление режимами работы гидроманипуляторов, производящееся гидрораспределителем, в моменты резкой смены режимов приводит к раскачиванию груза и гидроударам в гидравлической системе манипулятора [1]. Раскачивание груза затрудняет его позиционирование и требует дополнительных затрат времени оператора. Проявляющийся гидроудар может вызвать разрыв рукавов высокого давления гидравлической системы или отрыв их от мест подсоединения. Одним из путей устранения гидроударов и уменьшения раскачивания груза является использование демпфера, встраиваемого в гидросистему манипулятора, который позволяет сгладить скачки давления [2].

Нами разработан механизм поворота колонны лесозаготовительного манипулятора с дополнительным гидромеханическим демпфером, представленный на рисунке 1 [3]. На колонне 1 стрелового манипулятора, установленной на раме 2 лесозаготовительной машины, закреплена шестерня 3, находящаяся в зацеплении с зубчатой рейкой 4, имеющей на концах поршни гидроцилиндров 5 и 6. Поршни имеют демпфирующие устройства 7 и 8. В крышках 9 и 10 гидроцилиндров выполнены гнезда демпфирующих устройств 7 и 8 и соединенные каналами линий 11 и 12 с гидрораспределителем 13. Однако эти демпфируюшие устройства срабатывают только в крайних положениях поршней.

Рисунок 1 — Расчетная схема демпфера и гидроцилиндров поворота колонны манипулятор демпфер гидросистема поворот Поэтому к линиям 11 и 12 подключен дополнительный гидромеханический демпфер 14 через обратные клапаны 15 и 16 дроссели 17 и 18. В корпусе демпфера 14 размещен ступенчатый плунжер 19, в концевых частях которого выполнены дросселирующие каналы с калиброванными отверстиями.

Гидромеханический демпфер гасит колебания рабочей жидкости при остановках колонны в промежуточных положениях. Например, при повороте колонны вправо в режиме «остановка» гидролинии 11 и 12 становятся запертыми, в гидроцилиндре 7 в полости «Л» возрастает давление рабочей жидкости за счет инерционных сил, возникающих в колонне манипулятора, в захвате которого имеется пачка бревен. Жидкость из полости «Л» по гидролинии 11, через обратный клапан 15 поступает в полость «Л2» демпфера 14, перемещая плунжер 19 вправо. При этом жидкость из полости «П2» через дроссельное отверстие в плунжере и регулируемый дроссель 18 поступает в полость «П» гидроцилиндра 6, при этом всплеск давления рабочей жидкости гасится.

Для проверки эффективности демпфера и определения его оптимальных параметров была разработана имитационная компьютерная модель гидроманипулятора с демпфером, встроенным в гидросистему механизма поворота колонны. В качестве объекта исследования в данной работе был принят лесной гидроманипулятор ЛВ-184А-06, который серийно выпускается Майкопским машиностроительным заводом.

В рамках модели воспроизводятся физические процессы, происходящие в механической и гидравлической подсистемах манипулятора, оснащенного дополнительным демпфером. Устройство описывается системой дифференциальных и алгебраических уравнений.

В модели учитываются три механических процесса: вращательное движение колонны и стреловой группы манипулятора вокруг вертикальной оси (рисунок 2), поступательное движение плунжера вдоль оси демпфера (рисунок 1), а также раскачивание груза G относительно точки крепления на стреле манипулятора [2, 4]. Для описания данных процессов используются уравнения классической динамики [5, 6].

Рисунок 2 — Расчетная схема гидроманипулятора Поворотная колонна манипулятора представляется в виде абсолютно твердого тела, вращающегося в горизонтальной плоскости XOY относительно вертикальной оси О. Угловое положение колонны задается углом ц, измеряемым от направления OY против хода часовой стрелки. Для описания поворота колонны используется основное уравнение динамики вращательного движения:

(1).

где J — момент инерции колонны относительно оси О;

M_i — моменты сил различной природы.

Описание движения плунжера демпфера под воздействием нескомпенсированных давлений в целом базируется на использовании второго закона Ньютона:

(2).

где m_Д — масса плунжера;

x_Д — положение плунжера в демпфере (рисунок 1);

F_i — некоторые силы, действующие на плунжер.

В рамках данной модели гидравлическая система манипулятора, оснащенного демпфером, представляется в виде шести отдельных полостей, содержащих рабочую жидкость: полостей левого и правого поворотного гидроцилиндров (обозначены буквами «Л» и «П» на рисунке 1); полостей сброса рабочей жидкости демпфера «Л1» и «П1»; запираемых полостей демпфера «Л2» и «П2» ;

При перемещении поршней гидроцилиндров или плунжера демпфера изменяются объемы V_m соответствующих полостей (m означает индекс полости). Это приводит к изменению давлений P_m в полостях, причем данные изменения связаны зависимостью [7]:

(3).

где E — объемный модуль упругости рабочей жидкости.

Если давления в двух полостях, соединенных между собой, различаются, начинается перетекание рабочей жидкости, при этом расход Q_ij определяется по известной формуле:

(4).

где i и j — индексы полостей;

k_ij — коэффициент дросселирования;

sign (x) — функция, возвращающая знак переменной x.

Эта формула используется как для дросселей (коэффициент дросселирования достаточно велик), так и для трубопроводов (коэффициент дросселирования мал).

В модели считается, что все дросселирующие отверстия демпфера имеют круглое сечение, поэтому коэффициент дросселирования определяется через диаметр отверстия d_ij по формуле [5]:

(5).

где м — коэффициент расхода;

с — плотность рабочей жидкости.

Возможность трубопроводов упруго расширяться под влиянием давления в модели непосредственно не учитывается, однако косвенно учитывается упругостью рабочей жидкости, то есть коэффициентом E.

Основную вычислительную сложность при компьютерном моделировании манипулятора представляют дифференциальные уравнения (1), (2), а также множество уравнений вида (3). Ориентируясь на использование вычислительных возможностей компьютера, расчет организован итерационным образом [8]. В каждом шаге просчитываются элементарные изменения системы — элементарный поворот колонны манипулятора, элементарное перемещение плунжера демпфера, элементарное перемещение груза. Распишем ниже, в какой последовательности производится расчет параметров системы на каждой итерации.

Расчет начинается с того, что по текущему значению угла ц поворота колонны определяется положение поршня x_Г в левом гидроцилиндре:

(6).

где x_Г0 — положение поршня при ц = 0;

R_К — радиус шестерни реечной передачи вращения колонны.

Далее, зная положение x_Г поршня левого гидроцилиндра и положение x_Д плунжера демпфера, рассчитываем объемы полостей гидроцилиндра (V_Л, V_П) и демпфера (V_Л1, V_Л2, V_П1, V_П2):

; (7).

; (8).

; (9).

; (10).

; (11).

(12).

где D_Г — внутренний диаметр гидроцилиндра;

L_Г — длина рабочей полости гидроцилиндра;

L_КП — длина запираемых полостей демпфера;

L_Ц — длина концевых частей демпфера;

D_Д — внутренний диаметр демпфера;

d_П — диаметр запираемых полостей демпфера;

L_Д — длина основной полости демпфера;

H — ширина средней части плунжера.

Изменение объемов полостей при перемещениях поршней и плунжера приводит к изменению давлений в полостях. Новые давления P_Л, P_П, P_Л1, P_Л2, P_П1, P_П2, P_АЛ, P_АП на k-м шаге интегрирования вычисляются по формуле (3), переписанной в конечных разностях следующим образом:

(13).

где индекс m означает полость, в которой вычисляется давление, и может принимать значения «Л», «П», «Л1», «Л2», «П1», «П2» .

После расчета новых давлений в полостях некоторые давления, будучи довольно малыми на предыдущем шаге, могут на шаге k стать отрицательными. В этом случае производится их корректировка, то есть, если, то производится присваивание .

Далее в компьютерном расчете производится учет перетекания жидкости из одной полости в другую под влиянием разности соответствующих давлений. С учетом гидравлической схемы системы (рисунок 1) возможны следующие варианты перетекания жидкости:

— перетекание «Л» > «Л1» :

если, то.

— перетекание «Л1» > «Л» :

если, то.

— перетекание «Л» > «Л2» :

если, то.

— перетекание «Л1» > «Л2» :

если, то.

— перетекание «Л2» > «Л1» :

если, то.

— перетекание «П» > «П1» :

если, то.

— перетекание «П1» > «П» :

если, то.

— перетекание «П» > «П2» :

если, то.

— перетекание «П1» > «П2» :

если, то.

— перетекание «П2» > «П1» :

если, то.

Рассчитанные таким образом объемы перетекающей жидкости затем корректируются с учетом пропускной способности соответствующих трубопроводов. В режимах «поворот колонны влево» и «поворот колонны вправо» необходимо учитывать не только перетекание жидкости из полости в полость, но и поступление жидкости от гидронасоса и слив жидкости в сливную магистраль.

В режиме «поворот колонны влево» предварительно рассчитываются предполагаемые расходы жидкости:

• — поступление «ГН» > «Л»: если, то
• — поступление «ГН» > «Л1»: если, то
• — поступление «ГН» > «Л2»: если, то

Если суммарный расход Q_ГНЛ + Q_ГНЛ1 + Q_ГНЛ2 превышает номинальный расход гидронасоса Q_ном, производится корректировка расходов:

(14).

(15).

(16).

После корректировки вычисляются новые объемы жидкости в полостях:

• — если, то
• — если, то
• — если, то

В то время как в «левые» полости гидроцилиндра и демпфера гидронасос подает жидкость, из «правых» полостей жидкость поступает в сливную магистраль:

• — слив «П» > «А»: если, то
• — слив «П1» > «А»: если, то

Аналогично производятся расчеты в режиме «поворот колонны вправо». Предварительно рассчитываются предполагаемые расходы жидкости:

• — поступление «ГН» > «П»: если, то
• — поступление «ГН» > «П1»: если, то
• — поступление «ГН» > «П2»: если, то

Если Q_ГНП + Q_ГНП1 + Q_ГНП2 > Q_ном, то:

(17).

(18).

(19).

После корректировки вычисляются новые объемы жидкости:

• — если, то
• — если, то
• — если, то

Слив жидкости из «левых» полостей учитывается в расчете следующим образом:

• — слив «Л» > «А»: если, то
• — слив «Л1» > «А»: если, то

Полученные текущие значения объемов жидкости V_Л, V_П, V_Л1, V_Л2, V_П1, V_П2, V_АЛ, V_АП в полостях используются на следующем шаге интегрирования k + 1 для нового расчета давлений P_m по формулам (4).

По известным давлениям в полостях демпфера рассчитываются силы, действующие на плунжер, и затем рассчитывается новое положение и скорость плунжера. Уравнение движения плунжера с учетом определенных давлений может быть записано следующим образом:

(20).

где k_Д — коэффициент вязкого трения плунжера при перемещениях в демпфере;

с_П — жесткость внутренней пружины-упора;

l_П — свободная длина внутренней пружины-упора.

Для интегрирования уравнения (20) используется численный метод — модифицированный метод Эйлера:

; (21).

; (22).

(23).

где k и k-1- текущий и предыдущий шаги интегрирования соответственно.

По сравнению с базовым методом Эйлера, имеющим первый порядок погрешности, данный метод имеет третий порядок погрешности для координаты и второй для скорости, а сама вычислительная схема (22, 23) является эффективной и устойчивой [8].

Основное уравнение вращательного движения для колонны имеет вид:

(24).

где J — момент инерции колонны;

M_ГЦ — момент, сообщаемый поворотной колонне гидроцилиндром;

M_G — момент со стороны приводимого в движение груза;

M_ТР — момент сил трения в подшипниках колонны;

k_ТК — приведенный коэффициент вязкого трения в гидроцилиндрах поворота;

M_У — момент сил от уклона местности;

М_В — момент сил от ветровой нагрузки.

Для расчета момента инерции колонны, последнюю можно считать телом, состоящим из двух частей более-менее правильной геометрической формы: стрелы, которую можно рассматривать как однородный стержень массой m_С и длиной L_G, и основания колонны, которое можно упрощенно представить в виде сплошного цилиндра, массой m_ОК и радиусом R_ОК. С учетом введенных допущений момент инерции рассчитывается по известным формулам:

. (25).

Крутящий момент со стороны гидроцилиндров поворота рассчитывается по формуле:

(26).

где сила со стороны гидроцилиндров поворота FГЦ рассчитывается по формуле:

. (27).

Момент со стороны груза M_G рассчитывается следующим образом:

(28).

где F_GX и F_GY — декартовы составляющие силы, оказываемой на стрелу со стороны груза.

Таким образом, окончательное уравнение вращательного движения колонны можно записать следующим образом.

. (29).

В процессе численного интегрирования используется конечно-разностная схема уравнения (29), согласно модифицированному методу Эйлера:

; (30).

; (31).

. (32).

Груз в модели упрощенно представляется в виде материальной точки массой m_М. Груз (точка M) взаимодействует со стрелой (точка G) посредством невесомого вязкоупругого стержня, имитирующего устройство захвата. В соответствии с законом динамики поступательного движения можно записать векторное уравнение движения груза:

(33).

где — радиус-вектор точки М в декартовой системе координат XYZ;

с_М и d_M — коэффициенты жесткости и вязкости вязкоупругого взаимодействия посредством устройства захвата;

— вектор, исходящий из точки G и оканчивающийся в точке M;

GM — расстояние между точками G и M;

— вектор ускорения свободного падения.

В последнем уравнении выражение, стоящее во внешних скобках, представляет собой силу, действующую на груз. Противоположная ей сила действует со стороны груза на стрелу:

. (34).

Составляющие последней силы F_GX и F_GY участвуют в приведенном выше уравнении вращательного движения поворотной колонны.

Таким образом, общая система уравнений, описывающая работу манипулятора в целом, имеет следующий вид:

Для решения системы дифференциальных уравнений, положенной в основу модели, и для проведения различных компьютерных экспериментов с моделью составлена компьютерная программа «Программа для моделирования гидроманипулятора, оснащенного демпфером гидросистемы» на языке Object Pascal в интегрированной среде программирования Borland Delphi 7.0. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2 009 610 503. Решение системы уравнений производится путем численного интегрирования, при этом выводятся временные зависимости основных параметров, характеризующих работу манипулятора и демпфера: давлений в полостях поворотных гидроцилиндров P_П(t) и P_Л(t), положения плунжера демпфера x_Д(t), угла поворота колонны ц (t), тангенциальных и радиальных колебаний груза Дl_ф(t), Дl_r(t).

Хуако З. А. Исследование влияния раскачивания груза при вращении колонны на производительность и динамическую нагруженность механизмов манипулятора // 70 лет кафедре механизации лесного хозяйства и проектирования машин Воронежской государственной лесотехнической академии: Межвуз. сб. науч. тр. — Воронеж, 2007. — С. 230.

Бартенев И. М. Гидроманипуляторы и лесное технологическое оборудование / И. М. Бартенев, З. К. Емтыль, А. П. Татаренко, М. В. Драпалюк, П. И. Попиков, Л. Д. Бухтояров. — М.: ФЛИНТА: Наука, 2011. — 408 с.

А. с. 1 792 910 СССР, М. Кл. В 66 С 13/42. Механизм поворота колонны стрелового манипулятора [Текст] / А. П. Нестеров, П. И. Попиков, В. В. Волынко; (СССР). — № 4 835 090/29; заяв. 13.04.90; опубл. 07.02.93, Бюл. № 5. — 5 с.: ил.

Советов Б.Я., Яковлев С. А. Моделирование систем: учебное пособие — М.: Высш. шк., 1998. — 319 с.

Моделирование сельскохозяйственных агрегатов и их систем управления: учеб. для вузов / под ред. А. Б. Лурье. — Л.: Колос. Ленингр. отд-ние, 1979. — 312 с.

Расчет и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ /Под ред. Е. Ю. Малиновского. — М.: Машиностроение, 1980. — 216 с.

Элементы гидропривода (Справочник). Изд. 2-е, перераб. и доп. /Е.И. Абрамов, К. А. Колесниченко, В. Т. Маслов. — Киев: Техника, 1977. — 320 с.

Инженерные расчеты на ЭВМ: Справочное пособие / Под ред. В. А. Троицкого. — Л.: Машиностроение, 1979. — 288 с.