Обзор литературы. 
Загадка премии

Данная часть исследования посвящена изучению литературы по постановке загадки премии по акциям, а также способам ее решения. Здесь приводится описание наиболее значимых работ по данной тематике. Все работы были критически проанализированы на предмет того может ли быть решена загадка. Для ее решения необходимо чтобы коэффициент неприятия риска был меньше 10 при приросте потребления, доходностях рискового и безрискового активов, сопоставимых с историческими данными.

В зависимости от постановки проблемы может быть выявлено две загадки: загадка премии по акциям и загадка безрисковой ставки процента. Также существуют связанные с ними загадки, такие как загадка волатильности, форвардной премии, спрэда по корпоративным облигациям и др.

В своей работе «The Equity Premium: A Puzzle» Мера и Прескотт, изучая данные по американскому рынку за период с 1889 по 1978 годы, обнаружили, что средняя доходность по акциям значительно превышала среднюю доходность по краткосрочным безрисковым обязательствам (Mehra, Prescott, 1985). Так, средняя доходность по акциям составляла 7%, а средняя доходность безрискового актива — менее 1%. При допустимом значении коэффициента неприятия риска такая разница является слишком большой для модели Эрроу-Дебрё, т. е. модели общего равновесия при наличии конкуренции. Подобная разница в доходностях рискового и безрискового актива не является правдоподобной с экономической точки зрения, т.к. риски акций не настолько сильно превышают риски облигаций. По мнению авторов, разница доходностей для данного вида моделей должна быть не более 0,4%.

В работе был поставлен вопрос о том, является ли такой большой разрыв между средними доходностями по акциям и облигациям причиной применения модели Эрроу-Дебрё, абстрагированной от транзакционных издержек, ограничений ликвидности и других отклонений от реальной экономики. Однако авторы пришли к выводу, что велика вероятность того, что равновесная модель, но не Эрроу-Дебрё, может хорошо объяснить одновременно большую среднюю премию по акциям и небольшую среднюю доходность по безрисковым активам.

Авторами анализировалась модель, которая основывалась на следующих предположениях:

1. В экономике присутствует одно репрезентативное домохозяйство. Его потребление задается функцией:

(1).

где:

— потребление на душу населения;

— субъективный дисконтирующий фактор по времени;

— увеличивающаяся вогнутая функция полезности.

Также, для того, чтобы равновесная доходность была стационарной, функция полезности должна быть постоянна по коэффициенту неприятия риска:

(2).

где:

— параметр, отвечающий за выпуклость функции или коэффициент риск-аверсии.

• 2. Существует один вид товара недлительного пользования и один вид акций, которые конкурентно торгуются. Таким образом, доходность по акциям и рыночная доходность равны.
• 3. Отсутствие транзакционных издержек. А также некоторые технические предположения модели.

Была поставлена задача определить значения для коэффициентов так, чтобы средние коэффициенты риск-аверсии и премии за риск соответствовали фактическим значениям по рынку США за исследуемый период. Было выявлено, что не может превышать 10, а должна находится в промежутке от 0 до 1. Фактически средняя реальная годовая доходность по индексу S&P 500 составляла 7%, средняя доходность по краткосрочному долгу — менее 1%, прирост годового потребления находился на уровне 1,8%. Премия по акции, полученная в модели, составила 0,35%, средняя премия по безрисковым активам была менее 4%, что совершенно не соответствует наблюдаемым значениям. Таким образом, была выявлена загадка премии по акциям.

В модели с постоянным коэффициентом относительной риск-аверсии (CRRA), которую использовали Мера и Прескотт, получить доходности по акциям и облигациям, близкие к реальным, можно только при неприемлемо большом коэффициенте неприятия риска. В предпочтениях агентов с CRRA коэффициент риск-аверсии является обратной функцией эластичности межвременной нормы замещения (стохастического дисконт фактора). Тогда большое значение коэффициента риск-аверсии приводит к завышенным значениям премии по акциям и безрисковой ставки.

Другая постановка загадки, а именно загадка безрисковой ставки, была рассмотрена Ф. Вэйлом в работе «The Equity Premium Puzzle And The Risk-free Rate Puzzle» (Weil, 1989). Он проводил исследование, аналогичное Мера и Прескотту. Целью работы было изучить влияние введения в равновесную модель ценообразования полезности по Эпштейну-Цину, которая позволяет независимо оценивать постоянную межвременную эластичность замещения и постоянный коэффициент риск-аверсии.

Ф. Вэйл использовал следующие предположения в своей модели:

• 1. В экономике существует один скоропортящийся потребительский товар — фрукты.
• 2. Данный товар производится одинаковыми деревьями, число которых равно числу человек в модели. Деревья в данной постановке можно сравнить с акциями.
• 3. Количество фруктов, которое падает с дерева, ассоциируется с получением дивидендов от владения деревом.
• 4. Население в модели постоянно, и потребители живут бесконечно долго.

В результате было получено, что при коэффициенте риск-аверсии равном 45, межвременная эластичность замещения равна 0,1. Если бы показатели не оценивались раздельно, то межвременная эластичность замещения получилась бы 1/45=0,022. Также, дисконтирующий фактор составил 0,95, премия за риск была равна 5,85%, и безрисковая ставка составила 0,85%. Если же в качестве коэффициента неприятия риска задать приемлемое значение, например, 1, то межвременная эластичность замещения будет равна 0,1, премия за риск будет равна 0,45% (6,2% — историческое значение), а безрисковая ставка составит 20−25% (0,75% — историческое значение). В связи с этим, автор говорит, что раздельное оценивание не помогает решить загадку. Следовательно, проблема лежит гораздо глубже.

Кэмпбелл, Ло и Маккинли исследовали американский рынок по аналогии с исследованием Мера и Прескотта, но за 1889−1994 гг. (Campbell, et al., 1997). Кроме того, в отличие от Мера и Прескотта, они использовали наблюдаемые доходности акций, а не рассчитывали их, исходя из предположения о том, что дивиденды по акциям равны потреблению. Также данные расчеты были представлены в лог-линейной форме.

Средний избыток логарифма доходности акций над доходностью облигаций за этот период составил 4,2%. Коэффициент неприятия риска оказался равен 19, что заметно больше 10 — максимально возможного значения в соответствии с расчетами Мера и Прескотта (6, стр. 155−156). Таким образом, авторы повторив исследование Мера и Прескотта на обновленных данных с измененной моделью, так же столкнулись с загадкой премии по акциям.

Примерно в это же время было создано множество работ, в которых совершались попытки решить загадку премии по акциям. Одним из заметных продвижений в этом направлении стало введение привычки агента в функцию потребления.

Одной из наиболее ранних работ, в которой был применен данных подход, была «Habit Formation: A Resolution Of The Equity Premium Puzzle» Дж. Константинидиса (Constantinides, 1990). Целью исследования было определить как загадка премии по акциям может быть решена в модели с рациональными ожиданиями. Также применялся подход с учетом привычки агента, где привычка задавалась как убывающая функция от предыдущих уровней потребления.

Было выдвинуто предположение о том, что в экономике производится только один товар, который агенты могут потреблять или инвестировать в технологию. Технология имеет постоянную отдачу от масштаба и доходность за период. Агенты живут бесконечно. В начальный момент времени агенты имеют капитал, выраженный в единицах потребляемого товара. Они могут инвестировать часть капитала от 0 до 1 в рисковый актив, а оставшуюся часть — в безрисковый. Также агенты не могут получать как трудовой, так и нетрудовой доход.

Более того, в модель вводится фирма, которая имеет свободный доступ к двум производственным технологиям. Она инвестирует часть своего капитала в рисковую технологию, а оставшуюся часть в безрисковую, сохраняя при этом пропорцию инвестирования постоянной. Так как фирма имеет постоянную отдачу от масштаба, то ее стоимость равняется ее капиталу.

После проведения расчетов было получено, что коэффициент неприятия риска составляет 10,2, следовательно, присутствует загадка премии по акциям, хотя и довольно слабая. Далее была применена модель с учетом привычки, где привычка составляла 80% от предыдущего уровня потребления. Были сгенерированы выборочное среднее и дисперсия прироста потребления так, что значение коэффициента риск-аверсии получилось небольшим. В результате значение коэффициента неприятия риска было равно 2,81 при доходности безрискового актива 1% и премии за риск 6%, что решило загадку премии по акциям. В модели заключается следующая интуиция: при снижении потребления относительного предыдущего периода увеличивается неприятие риска агентом, что, в свою очередь, увеличивает премию за риск, которую он будет требовать.

Дж. Кэмпбелл и Дж. Кокрейн в своей работе «By Force Of Habit: A Consumption-based Explanation Of Aggregate Stock Market Behavior» показали, что модификация поведения рационального агента в модели ценообразования активов (CAPM) может помочь понять загадку премии по акциям (Campbell, Cochrane, 1999). Суть модификации заключается во введении в функцию полезности медленно изменяющейся внешне заданной привычки агента. Модель авторов имеет три отличительные черты:

• 1. Уровень привычки агента задается извне и больше зависит от совокупного уровня потребления в экономике, нежели от индивидуального потребления самого агента.
• 2. Уровень привычки изменяется медленно по отношению к изменению потребления.
• 3. Привычка нелинейно адаптируется к историческому потреблению. Нелинейность сохраняет уровень привычки всегда ниже уровня потребления, а предельную полезность конечной и положительной величиной.

Авторы представили потребление как независимый и равномерно распределенный логнормальный процесс и ввели в степенную функцию полезности привычку агента:

(3).

где:

— уровень привычки агента;

— субъективный дисконтирующий фактор времени агента.

Взаимосвязь между привычкой агента и потреблением может быть описана с помощью коэффициента излишка потребления. Если данный коэффициент будет небольшим, то кривизна функции полезности будет сильной. Также излишек потребления определяет волатильность стохастического дисконт фактора в модели, а, следовательно, влияет и на премию за риск. Так как потребление снижается из-за введения привычки, кривизна функции полезности увеличивается, что приводит к падению цены рискового актива и увеличению его доходности.

Из модели были сгенерированы данные для 500 000 месяцев, а затем из них рассчитывались годовые данные для сравнения с историческими. Данные были взяты за период 1889—1992 гг. Была получена доходность (коэффициент Шарпа) на уровне 0,5. Однако для этого коэффициент неприятия риска должен быть не менее 41. Тогда при среднем приросте потребления 1,89% и таком коэффициенте риск-аверсии в должна быть равна 1,9 чтобы получить безрисковую ставку равную 1%. При в<1 безрисковая ставка должна быть больше 90% в год. Таким образом, авторы исследования также пришли к загадке премии по акциям.

Однако если задать коэффициент риск-аверсии равным 2, то коэффициент излишка потребления тоже будет небольшим. Тогда коэффициент измеряющий кривизну функции будет высоким и составит 35, а дисконтирующий фактор — 0,89, что меньше 1. Следовательно, были получены допустимые значения всех показателей и загадки премии по акциям и безрисковой ставки были решены.

Тем не менее, есть работы, которые ставят под сомнение возможность решения загадки, т.к. приводимые в литературе объяснения высокой ставки по рисковым активам не кажутся правдоподобными. Примером такой работы может служить «The Equity Premium: It’s Still, А Puzzle» Н. Кошерлакоты (Kocherlakota, 1996).

В отличие от Р. Мера и Э. Прескотта в постановке загадки вместо индивидуального прироста потребления берется прирост потребления на душу населения, агенты максимизируют ожидаемые полезности, присутствуют транзакционные издержки. Привычка агента была задана в соответствии с идеей «Catching up with the Joneses» А. Абеля (Abel, 1990), т. е. полезность агента выводится исходя из потребления на душу населения (в данном случае).

Было выявлено, что загадка премии по акциям не решается таким образом. К тому же, она является устойчивым явлением. Автор полагает, что может быть дано всего два объяснения большой разнице между доходностями рискового и безрискового активов. Либо стоимость покупки/продажи акций и облигаций сильно различаются, либо агенты слишком нетерпимы к риску. Тем не менее, оба объяснения не кажутся правдоподобными.

Другим известным решением загадки является подход редких катастроф. Одним из первых кто его применил был Т. Ритц в работе «The Equity Risk Premium: A Solution» (Rietz, 1988). Целью данного исследования было объяснить высокую премию за риск и низкую доходность безрисковых активов в рамках модели класса Эрроу-Дебрё. Основная идея работы заключалась во введении кризисного состояния рынка в модель. Автор полагает, что высокая премия за риск не содержит никакой загадки в экономике, где нетерпимые к риску агенты требуют высокой премии за риск, т.к. боятся понести большие убытки в случае обвала рынка. В этом случае премия за риск выступает в качестве компенсации за возможные потери во время кризиса.

Были смоделированы разные состояния экономики, при которых ВВП сокращался либо в половину от ожидаемого значения, либо на три четверти, либо его совсем не было (за исключением чистого роста во время кризиса). В первых двух случаях для различных уровней вероятности кризиса в экономике величина премии за риск составляет 5−7%, безрисковая ставка — 0−3%.

Последний случай является беспрецедентным крахом экономики. Для того чтобы получить приемлемые значения коэффициента риск-аверсии, дисконтирующего фактора, безрисковой ставки и премии за риск вероятность такого спада в экономике должна быть крайне мала (не более 0,001).

В результате Т. Ритц специфицировал модель Мера и Прескотта, введя в нее маловероятные катастрофы. После такой модификации ограничения модели стали менее жесткими, а также были приведены объяснения большой премии за риск и низкой безрисковой ставке.

Позже, в 2005 году было проведено исследование Р. Барро «Rare events and the equity premium», основной задачей которого было расширить анализ Т. Рица и дать правдоподобное объяснение загадке премии по акциям и связанным с ней загадкам (Barro, 2005). В данной работе в отличие от предыдущих представлены результаты расчетов не только для рынка США, но также для других развитых и развивающихся стран.

Изучалась модель ценообразования «фруктового дерева» с экзогенным стохастическим выпуском продукции (фруктов). Так как экономика является закрытой в отличие от предыдущего исследования, то вся продукция полностью потребляется. Также было выдвинуто предположение о том, что все права собственности полностью защищены.

Использовалась аддитивная по времени функция полезности с неэластичной полезностью. В функции выпуска были введены два показателя, отвечающие за различные типы маловероятных катастроф. В первом случае выпуск резко сокращается, но права собственности сохраняются. Примером такого события может являться Великая депрессия. Во втором случае во время всеобщего кризиса, например, ядерной войны, происходит потеря прав собственности, что, по мнению автора, эквивалентно концу света с точки зрения ценообразования активов. Вероятности этих событий малы и независимы друг от друга.

Сначала исследовалось влияние изменения вероятности катастроф на показатели. При увеличении вероятности наступления катастрофы первого типа с 0 до 0,01 и коэффициенте риск-аверсии 3, доходность безрискового актива упадет с 9,3% до 2,6%, а премия за риск станет 3,4% вместо 3,9%. Также, на показатели влияет размер катастрофы. Если выпуск снижается на 60%, то безрисковая ставка станет -4,3%, а премия за риск 8,1%. Если выпуск упадет на 25%, то безрисковая ставка будет равна 8%, а премия за риск всего 0,5%. Следовательно, была выявлена сильная обратная взаимосвязь между вероятностью катастрофы первого типа и доходностью безрискового актива. Однако при увеличении вероятности катастрофы второго типа доходности рискового и безрискового активов увеличиваются, причем на одинаковую величину, следовательно, премия за риск не изменяется.

При одновременном увеличении вероятности катастрофы первого типа с 0,01 до 0,015 и второго типа с 0 до 0,025, доходность по безрисковому активу упадет с 2,6% до 1,8%, а рискового наоборот увеличит с 6% до 6,8% (премия за риск увеличится с 3,4% до 5%).

В модели без учета катастроф для получения премии за риск 7%, коэффициент риск-аверсии должен быть равен 175, однако при введении в модель редких катастроф может быть получено значение коэффициента риск-аверсии на уровне 3, с учетом приемлемых значений остальных показателей. Таким образом, введение вероятности редких катастроф помогает решить загадку премии по акциям.

Другим известным исследованием, оценивающим возможность подхода редких катастроф решить загадку премии по акциям, является статья К. Джулиарда и А. Гош «Can Rare Events Explain the Equity Premium Puzzle?» (Julliard, Ghosh, 2008). Постановка загадки была такой же как у Р. Меры и Э. Прескотта и Т. Рица, но с тем отличием что состояние экономики в начальный момент времени с равной вероятностью могло быть хорошим или кризисным, однако в последующие периоды вероятность катастроф была низкой.

Сначала с помощью метода GMM было оценено уравнение Эйлера. Также был использован метод обобщенного эмпирического правдоподобия (GEL), т.к. он имеет ряд преимуществ перед стандартным GMM. В отличие от других статей, использовавших подход редких катастроф, здесь не применялись специальные предположения об их распределении или калибровки. Вместо этого авторами была использована методология, с помощью которой определялось ближайшее распределение к истинному неизвестному распределению данных на основе дивергенции Кульбака-Лейблера в теории информации.

После этого на основании распределений редких катастроф были сгенерированы данные, что позволило выявить загадку премии по акциям на временном ряде той же длинны, что и исторические данные по рынку.

Наконец, авторы пытались с помощью редких катастроф дать объяснение слабой объясняющей силе модели C-CAPM в ценообразовании кросс-секционной доходности активов. Однако в работе отмечается, что данный подход ухудшает объясняющую способность модели, т.к. для решения загадки требуется низкое значение коэффициента риск-аверсии, а для этого вероятность наступления катастрофы должна быть высокой. Во время кризисов и спадов в экономике потребление сокращается, доходность рисковых и безрисковых активов падает, поэтому модель хуже объясняет премию за риск.

Было обнаружено, что в модели C-CAPM все еще присутствует загадка премии по акциям, т.к. для получения приемлемых значений прироста потребления, рисковой и безрисковой ставок требуется слишком высокий коэффициент неприятия риска. Поэтому авторы полагают, что подход редких катастроф не является решением загадки.

Кроме того, авторы подчеркивают, что их результат получился противоположным результату Р. Барро ввиду нескольких причин. Во-первых, Р. Барро калибровал модель с годовыми данными, используя накопленное за все предыдущие кризисы многолетнее снижение выпуска. Во-вторых, он предполагал, что снижение потребления во время кризиса равно снижению ВВП.

Кроме того, интерес могут представлять работы:

• · А. Абеля, где впервые была выдвинута идея об экзогенном задании привычки «Catching up with the Joneses» в рамках подхода с учетом привычки агента (Abel, 1990). В данной модели привычка агента зависит от среднего потребления в экономике, а не от его собственного потребления.
• · К. Габэкса, в которой автор утверждает, что подход редких катастроф может решить не только загадку премии по акциям, но и 9 других загадок, встречающихся в макроэкономике (Gabaix, 2007);
• · П. Сэйкконнена и А. Рипатти, которые использовали метод Монте-Карло чтобы показать влияние редких катастроф с вероятностью, отличающейся от действительной, на первые выборочные моменты, и, кроме того, выявили, что при введении в модель редких катастроф, GMM работает из-за «проблемы песо» («peso problem») (Saikkonnen and Ripatti, 2000);
• · Б. Кхана, в которой изучались данные по 39 развитым и развивающимся странам, и была произведена попытка выявить детерминанты премии за риск, чтобы найти решение для загадки премии по акциям (Khan, 2009);
• · Г. Жу, использовавшего модель перекрывающихся поколений в модели C-CAPM, и применившего калибровку к возрасту агентов, в результате чего были получены допустимые значения показателей (Ju, 2010);
• · Б. Ли, в которой была протестирована модель C-CAPM в рамках подхода с учетом привычки агента для 17 стран и оценена методом GMM. Было выявлено, что в стандартной модели C-CAPM загадка не решается в отличие от гетерогенной мировой C-CAPM и мировой избыточной C-CAPM (Li, 2010);

Таким образом, нами были представлены основные работы по теме исследования, однако на их основе нельзя сделать однозначного вывода о том может ли быть решена загадка премии по акциям с помощью одного из описанных подходов, так как они содержат противоречивые выводы. Как у подхода с учетом привычки агента, так и у подхода редких катастроф есть свои приверженцы и противники. Мы попытаемся проверить оба подхода в данном исследовании и привести свои суждения об объясняющей силе подходов.

Таблица 1. Обзор литературы