Методология. 
Загадка премии

В данном разделе описывается постановка загадки премии по акциям, которая использовалась в данном исследовании, а также более подробно раскрывается суть подходов с учетом привычки агента и редких катастроф.

Постановка загадки

В данной работе изучалась загадка премии по акциям в модели C-CAPM, так как статичные неоклассические модели не могут учесть поведенческие особенности агента, такие как его отношение к риску в зависимости от горизонта планирования и уровня неприятия риска. Эти особенности влияют на величину премии за риск, которую требует агент. Известно, что инвестор воспринимает снижение котировок вдвое более болезненно, чем их рост на аналогичную величину (Солодухина, 2010). Следовательно, агент склонен переоценивать активы, которыми владеет, вследствие чего требует более высокую премию за риск. Такое объяснение причин появления исследуемой аномалии кажется авторам наиболее правдоподобным, чем и обусловлен выбор модели.

Вообще Consumption-CAPM (C-CAPM) — это двухпериодная модель со стохастическим дисконтирующим фактором, где ставка дисконтирования зависит от прироста потребления. Эта модель основывается на проблеме межвременного выбора агента и предположении о том, что он максимизирует свою полезность:

(4).

где:

— временной дисконт фактор;

— потребление агента в момент ;

функция полезности задается следующим образом:

— коэффициент риск-аверсии.

Репрезентативный агент максимизирует свою полезность в момент времени t, которая зависит от его потребления в момент. Функция полезности постоянна по коэффициенту риск-аверсии (CRRA). Также, если в функции полезности стремиться к 1, то полезность будет равна логарифму потребления.

Оптимальное потребление агента можно описать с помощью одного из условий первого порядка — уравнения Эйлера:

(5).

где:

— предельная полезность потребления на один дополнительный доллар в момент времени ;

— предельная полезность инвестирования актива i в момент времени, с учетом его продажи в момент по цене .

Данное уравнение позволяет сгладить потребление во времени, покупая активы в «хорошие» времена, т. е. сберегая, и, продавая их в «плохие», т. е. потребляя. Так, предельная полезность расходов в период t равна предельной полезности доходов в период t+1, что является оптимальным для агента. Активы, доходность которых негативно связанна с потреблением, дает «страховку» на трудные времена. Поэтому такие активы будут привлекательны для людей, даже если их ожидаемая доходность низка. Таким образом, систематический риск актива определяется ковариацией доходности по акциям и потреблением, а не доходностью по рынку, как в стандартной модели CAPM (Cuthberton, Nitzsche, 2005).

Если разделить обе части уравнения (5) на, то получим уравнение, описывающее C-CAPM:

(6).

где:

Стохастический дисконт фактор (СДФ) — это ядро логарифмического ценообразования или предельная норма замещения текущего потребления будущим. Данная норма зависит от предпочтений агента о распределении потребления во времени. Из-за того, что агент не располагает достоверной информацией о будущих ценах и доходностях активов, которые определяются случайным образом, то и его потребление будет случайной величиной.

Возьмем производную от функции полезности из уравнения (4):, а затем подставим ее в уравнение (6), то получим:

(7).

Наилучший способ оценить коэффициент неприятия риска и протестировать ограничения, которые появляются в модели с введением условия (7), — это предположить, что доходность по акциям и совокупное потребления имеют логнормальное распределение и гомоскедастичны.

Следовательно, исходя из первого предположения, уравнение (7) нужно прологарифмировать, а учитывая второе предположение, логарифм премии за риск любого актива по реальной безрисковой ставке является константой. Безрисковая реальная ставка линейна по потреблению. Тогда доходность по какому-либо другому активу будет также линейна по потреблению. Отсюда имеем:

(8).

где:

— ковариация доходности акций с приростом потребления;

— ковариация премии за риск с приростом потребления.

Из уравнения (8) мы находим коэффициент риск-аверсии .

Таким образом, постановка загадки была подробно представлена на основе расчетов Кэмпбелла, Ло и Маккинли для наилучшего понимания используемой в исследовании модели (Campbell, et al., 1997).