Методы анализа линейных электрических цепей

Федеральное Агентство по Образованию Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тихоокеанский Государственный университет»

Институт информационных технологий Кафедра: «Электроника и Электротехника»

Курсовая работа по дисциплине: «Теоретические основы электротехники»

на тему: «Методы анализа линейных электрических цепей»

ТОГУ ИИТ ВМ-41 № 40 700 227 Вариант 7

Выполнил: студент гр. ВМ-41

Линник М.А.

Проверил: д. ф.-м. н., профессор Кузьменко А.П.

Хабаровск 2005

• Введение
• 1. Задание
• 2. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях
• 2.1 Составление уравнений относительно переменных состояния цепи
• 2.2 Определение точных решений уравнений состояния
• 2.3 Решение уравнений состояния численным методом
• 3. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии
• 3.1 Определение функции передачи, её нулей и полюсов
• 3.2 Определение переходной и импульсной характеристик
• 3.3 Определение и анализ входного и выходного импульса.
• 4. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии
• 4.1 Определение амплитудно-фазо-частотной (АФЧХ), амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик функции передачи
• 4.2 Определение амплитудного и фазового спектра входного сигнала
• 4.3 Определение амплитудного и фазового спектра выходного сигнала
• 4.4 Определение выходного сигнала по вещественной характеристике при помощи приближенного метода Гиллемина
• 5. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии
• 5.1 Разложение в ряд Фурье заданной периодической функции, определение амплитудного и фазового спектров
• 5.2 Определение тока на выходе

• Заключение

  .

• Список используемой литературы

Во всех современных электротехнических устройствах, предназначенных для различных технических целей, происходят те или иные энергетические преобразования. Во многих из них электрическая энергия перераспределяется между отдельными элементами этих устройств.

Практическое применение расчета электрических цепей очень важно. В курсовой работе требуется провести анализ линейной разветвленной электрической цепи различными методами.

Первый метод основан на применении метода переменных состояния при постоянном воздействии. Второй метод является операторным, и основан на преобразовании Лапласа.

Третий и четвертый являются частотными (спектральными) методами при различных видах воздействия (при периодическом и апериодическом).

Цель курсовой работы состоит в овладение современными методами анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях в переходном и установившемся режимах с применением вычислительной техники.

При выполнении курсовой работы применялась программа MathCAD 12, Mathematica 5.0, Maple 9.5, Electronics Workbench 5,12, что позволило значительно упростить вычисления и проверить правильность выполнения работы. Большинство графиков и схем оформлено при помощи программ Microsoft Visio 2003 и Splan 4.0.

1. Задание

На рисунке 1.1 представлена анализируемая цепь. Параметры элементов цепи следующие:, ,, ,, ,, ,. Здесь — единичная ступенчатая функция (функция включения). График одиночного импульса приведён на рисунке 1.2. Параметры одиночного и последовательности импульсов:, , .

Рисунок 1.1. Схема анализируемой цепи

Рисунок 1.2. График одиночного импульса

2. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

2.1 Составление уравнений относительно переменных состояния цепи

Уравнения состояния — это система уравнений, определяющих режим электрической цепи. В более узком смысле — это система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т. е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники. Количество переменных состояния, следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

В данной задаче переменными состояния являются напряжения на ёмкостях и ток в индуктивности: и. Это связано с тем, что именно эти электрические параметры на этих элементах определяют энергию магнитную и электрическую накапливаемую на и элементах соответственно. Ток на элементе подчиняется первому закону коммутации, т. е. является непрерывной функцией, а напряжение на элементе — второму закону коммутации.

При этом переменные состояния образуют систему из наименьшего числа переменных, полностью определяющих реакции всех ветвей цепи при заданных начальных условиях и приложенных при внешних воздействиях.

Требуемая система уравнений может быть получена из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа. При этом целесообразно записывать напряжения и токи на емкости и индуктивности через переменные состояния: для емкостей и

, а для индуктивности и .

Для составления уравнений сначала укажем направления токов в ветвях (рисунок 2.1), а затем построим граф ЭЦ с указанием направлений тока в ветвях и дерево этого графа (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.1. Схема исследуемой цепи с направление токов в ветвях

Число узлов, число линейно-независимых уравнений по ЗТК, число ветвей, число линейно-независимых уравнений по ЗНК

Рисунок 2.2.

Последовательно исключая токи не связанные с переменными состояния получим систему

Эта полученная система дифференциальных уравнений относительно переменных состояния записанная в нормализованном виде в форме Коши.

Подставив численные значения, получим следующую систему уравнений

Эта система в матричной форме записи имеет вид:

где — вектор (матрица) — столбец производных переменных состояния, — квадратная матрица коэффициентов при переменных состояния, учитывающая все соединения элементов в ЭЦ, — вектор (матрица) — столбец переменных состояния, — матрица коэффициентов источников тока и ЭДС, — вектор (матрица) — столбец параметров источников питания.

В нашем случаи это:

2.2 Определение точных решений уравнений состояния

Найдём решение нашего матричного уравнения. Так как, значит решение будет иметь следующий вид:

где — матричная функция. Найдем эту матричную функцию. Для этого продифференцируем. Получим

. Из сравнения этой системы матричных уравнений с полученной нами ранее имеем, что. Разделив левую и правую части на и проинтегрируя получим:

.

Первое слагаемое учитывает влияние независимых начальных условий (Н.Н.У.), а второе учитывает сам переходный процесс. В результате решения матричных уравнений, записанных в нормализованной форме Коши, являются точным, т. е. можно построить зависимость любой электрической переменной от времени и .

Решение системы можно записать следующим выражением:

Так как в нашей цепи действуют источник постоянного тока J и источник постоянной ЭДC E, то решение может быть представлено в более простом виде:

Здесь — матричная экспоненциальная функция; - вектор-столбец начальных значений переменных состояния; - единичная матрица.

Начальные значения переменных состояния могут быть определены из анализа схемы до коммутации. Предполагается, что в схеме до коммутации существовал установившийся режим постоянного тока, что позволяет представить схему в следующем виде (Рисунок 2.3):

Рисунок 2.3. Эквивалентная схема замещения

Анализ схемы позволяет определить независимые начальные условия

переменная цепь спектр период

В матричном виде

Для определения матричной экспоненциальной функции используем разложение в ряд Тейлора:

Число членов разложения должно быть равно числу переменных состояния., являются некоторыми функциями времени (коэффициенты разложения в ряд Тейлора),

Эти коэффициенты определим с учетом собственных значений матрицы. Эти собственные значения, , можно найти из равенства .

После подстановки численных значений получим

Откуда

Фактически эти собственные значения совпадают с корнями характеристического уравнения (в классическом методе). Это значит собственные значения должны иметь теже свойства.

Первое собственное значение действительное, отрицательное, а два других являются комплексно — сопряженными с отрицательной вещественной частью, значит переходной процесс имеет затухающий колебательный характер с собственной частотой и коэффициентом затухания .

С учетом полученных собственных значений определяем коэффициенты разложения в ряд Тейлора:

Откуда для, получаем выражения:

Применяя преобразование Эйлера или получим:

Подставив все найденные значение в выражение

находим решение. Решение будет:

2.3 Решение уравнений состояния численным методом

Решение системы уравнений может быть найдено с помощью какого-либо численного метода интегрирования дифференциальных уравнений. В этих методах интересующий промежуток разбивается на равные малые интервалы h. Приближённые дискретные значения переменных состояния определяются последовательно, на каждом шаге, начиная от времени t = 0.

Решение системы с использованием явного метода Эйлера (метод Рунге-Кутта первого порядка) имеет вид

:

Начальным значениям переменных состояния соответствует k = 0. Оценить временной интервал Dt_расч расчета можно на основе известных собственных значений матрицы

как .

Здесь — минимальное собственное значение (если собственные значения являются вещественными, отрицательными и различными, или вещественная часть комплексного собственного значения, если собственные значения являются комплексно сопряженными). Тогда шаг расчета может быть найден исходя из выражения:. N — число шагов, на которые разбит интервал Dt_расч. Положим N=1000, тогда. Погрешность расчёта в методе Рунге-Кутта пропорциональна квадрату шага.

Таблица значений расчета численным методом Рунге-Кутта 1 порядка (методом Эйлера). Указаны шаги с 1−30 и 970−1000.

Рисунок 2.4. Изменение тока на катушке индуктивности

Рисунок 2.5. Изменение напряжения на конденсаторе

Рисунок 2.6. Изменение напряжения на конденсаторе

3. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии

3.1 Определение функции передачи, её нулей и полюсов

Анализу подлежит схема представленная на рисунке 1.1. Начальные условия в цепи нулевые. В момент t = 0 на вход цепи источником тока подан импульс (рисунок 1.2) с амплитудой, и длительностью .

Передаточные (системные) функции цепи могут быть определены как отношение выходной величины к входной. В нашем случаи функция передачи (по току) может быть представлена в виде

где и

операторные изображения выходного и входного сигналов, соответственно, а — оператор Лапласа.

Для определения заменим схему исходной цепи (рисунок 3.1) ее операторной схемой замещения, в которой сопротивления ёмкостей и индуктивности равны, соответственно. Далее, составим уравнения по законам Кирхгофа (тока и напряжения) для операторной схемы замещения.

Рисунок 3.1. Операторная схема замещения анализируемой цепи

Решив данную систему, выразим :

Подставив численные значения, найдем функцию передачи

.

Таким образом, функция передачи будет иметь вид:

Полюсы функции передачи могут быть найдены путём нахождения корней полинома третьей степени, находящегося в знаменателе самой функции:

Таким образом:

Совпадение полюсов функции передачи, и с собственными значениями матрицы —, и даёт информацию о правильности нахождения передаточной функции.

Таким же образом из числителя функции передачи находятся нули функции.

Таким образом:

Наиболее наглядным способом охарактеризовать передаточную функцию является графическое расположение ее полюсов и нулей на комплексной плоскости, называемое диаграммой полюсов-нулей. (Рисунок 3.2).

Рисунок 3.2. Диаграммой полюсов-нулей.

Тип используемых элементов, а также структура цепи ограничивают области комплексной плоскости в которых могут располагаться нули и полюсы. В линейной пассивной цепи с потерями (с резистивными элементами) полюсы передаточной функции лежат в левой полуплоскости. Только при этом условии свободные составляющие токов и напряжений затухают. При отсутствии потерь (резистивных элементов) все корни знаменателя будут чисто мнимыми. Нули передаточной функции, корни числителя, при учете потерь могут располагаться в любой части комплексной плоскости. Их положение не связано с характером изменения во времени свободных составляющих токов и напряжений. Отсутствие нулей передаточной функции на мнимой оси физически означает, что при любой частоте гармонического напряжения на входе цепи на выходе будет какое-то напряжение. При отсутствии резистивных элементов все корни числителя передаточной функции (так же как и знаменателя) находятся на мнимой оси. Передаточные функции, полюса которых не лежат в правой полуплоскости комплексной плоскости, называются устойчивыми. В устойчивой цепи свободные колебания, определяемые частотами собственных колебаний, при затухают.

В данном случае, из трех полюсов, два из них являются комплексно-сопряжёнными. Это означает, что свободная составляющая тока будет состоять из затухающей синусоидальной составляющей.

3.2 Определение переходной и импульсной характеристик

Переходная характеристика цепи представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной ступенчатой функции (функции Хевисайда 1(t) — функция включения) и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от: , либо с помощью формулы разложения:

где и

числитель и знаменатель передаточной функции соответственно, а — корни выражения :

Таким образом, подставляя корни и применяя преобразования Эйлера (чтобы избавиться от комплексных чисел) получим: Данное выражение легко может быть проверено на крайних точках временного интервала (при и). Например, установившееся значение тока в нагрузке равно, и оно же может быть получено из расчета схемы, заменяя индуктивность закороченным участком цепи, а емкость — разрывом (по постоянному току).

Переходная характеристика цепи представлена на рисунке 3.3. Значения переходной характеристики в точках при и могут быть определены на основании предельных соотношений операционного исчисления. В соответствии с этим, значение функции, например, в начальный момент времени () может быть определено как предел произведения операторного изображения функции на операторную переменную при стремлении последней к бесконечности. Для переходной характеристики будем иметь:

Импульсная характеристика цепи? представляет собой реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции и может быть найдена как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:, либо с помощью формулы разложения:

где и числитель и знаменатель передаточной функции соответственно, а — полюсы :

Таким образом получим:

Импульсная характеристика цепи представлена на рисунке 3.4. Из приведенного выражения видно, что переходной процесс носит затухающий колебательный характер с частотой, равной собственной частоте рассматриваемой цепи. Первое слагаемое в определяется действием на входе цепи импульса тока и существует только для. В дальнейшем переходной процесс протекает за счет энергии, накопленной в электрическом поле конденсаторов и магнитном поле индуктивности в результате действия импульса тока. Подобного вида решения (с — функцией) возникают всякий раз, когда степени полиномов числителя и знаменателя передаточной функции оказываются равными. Коэффициент при соответствует части входного импульса поступающей в нагрузку.

Рисунок 3.3. Переходная характеристика .

Рисунок 3.4.Импульсная характеристика .

3.3 Определение и анализ входного и выходного импульса.

Входной импульс в данном задании представляет собой первый период синусоиды. Его можно представить в виде:

где 1(t) — единичная ступенчатая функции (функции Хевисайда), частота синусоиды

Применяя теорему о запаздывания (свойство переноса в области действительных переменных), свойство линейности и опираясь на таблицу оригиналов и изображений, найдём операторное изображение для одиночного импульса тока:

Так как функция передачи, выразим :

Для того чтобы найти оригинал этой функции, воспользуемся теоремой о свертки или в данном случаи методом наложения — интегралом Дюамеля:

где — входной импульс, — импульсная характеристика цепи (производная от переходной характеристики). Также для нахождения оригинала можно воспользоваться программным пакетом MathCAD 12 для преобразований Лапласа.

Рисунок 3.5. График выходного сигнала

Рисунок 3.6. График входного и выходного сигналов (и)

4. Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии

4.1 Определение амплитудно-фазо-частотной (АФЧХ), амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристик функции передачи

Амплитудно-частотная характеристика — это зависимость от частоты модуля входной, выходной или передаточной функции цепи, выраженных в комплексной форме. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) является одной из самых важных характеристик любой цепи и позволяет исследовать искажения вносимые цепью в спектр входного сигнала. Наличие частотно — зависимых элементов (L и C) в исследуемой цепи приводит к неравномерному изменению составляющих спектра входного сигнала.

Наиболее простой способ получения АЧХ цепи — это замена в выражении для операторной переменной p на мнимую частоту .

Сначала выделим действительную и мнимую части спектральной характеристики:

Теперь нахождение модуль полученной комплексной функции частоты:

Построенная по данному выражению АЧХ имеет вид, представленный на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1. АЧХ анализируемой цепи.

По построенной характеристике может быть определена полоса пропускания. Полоса пропускания — полоса частот, в пределах которой затухание остаётся ниже определённого значения. То есть коэффициент передачи для этой полосы не более чем в отличается от его максимального значения. Это же соответствует снижению уровня сигнала на 3 дБ. Для рассматриваемой цепи максимальное значение передаточной функции достигается на частоте и составляет. Границе полосы пропускания соответствует значение передаточной функции. Это значение достигается на частоте. Таким образом, полоса пропускания равна: .

Фазо-частотная характеристика — зависимость от частоты аргумента входной, выходной или передаточной функций цепи, выраженных в комплексной форме. Таким образом, для данной цепи ФЧХ будет иметь вид:

.

Построенная по данному выражению ФЧХ имеет вид, представленный на рисунке 4.2.

Рисунок 4.2 ФЧХ анализируемой цепи

Амплитудно-фазо-частотная характеристика цепи (годограф) связывает воедино изменение коэффициента передачи (в нашем случае, по току —) и фазового сдвига между выходным и входным током? во всем диапазоне частот. Годограф включает сведения, которые содержатся как в АЧХ, так и в ФЧХ. Годограф является параметрической кривой, параметром которой является частота. Длина вектора, проведенного из начала координат к какой-либо точке годографа, соответствует абсолютному значению передаточной функции на этой частоте, а угол между ним и положительным направлением вещественной оси — аргументу передаточной функции

.

На рисунке 4.3 представлен годограф для рассматриваемой цепи. Нулевой частоте (постоянному току) соответствует точка с координатой на вещественной оси, очень большой (в пределе бесконечной) частоте соответствует точка с координатой на вещественной оси. На этих граничных частотах влияние реактивных элементов на фазовый сдвиг отсутствует.

Рисунок 4.3. Годограф анализируемой цепи

4.2 Определение амплитудного и фазового спектра входного сигнала

Для нахождения спектральной характеристики входного сигнала можно воспользоваться непосредственно прямым преобразованием Фурье. Второй путь решения этой задачи основан на аналогии между преобразованиями Лапласа и Фурье и состоит в замене в операторном изображении входного сигнала операторной переменной p на мнимую частоту. В итоге после простых преобразований получим:

Амплитудный спектр входного сигнала может быть найден как модуль спектральной характеристики сигнала (для этого воспользуемся преобразованиями Эйлера):

Рисунок 4.4. Амплитудный спектр входного сигнала (АЧХ)

Максимальное значение спектральной характеристики достигается при и составляет. Определенная по уровню ширина спектра сигнала составляет. Между шириной спектра сигнала и его длительностью существует следующее соотношение:. Для данного вида сигнала получаем:. Эта константа называется базой сигнала. Уменьшение длительности импульса в 10 раз приводит к такому же (в 10 раз) увеличению ширины его спектра. Наличие широкого спектра у коротких импульсов дает возможность использования таких импульсов для исследования частотных свойств различных цепей. В математическом смысле спектр несинусоидального сигнала неограничен.

Использование теоремы Рейли позволяет обоснованно ограничить спектр сигнала полосой частот, которой соответствует основная часть энергии сигнала. Рассматривая действие импульса тока на сопротивлении в 1 Ом, определим потребляемую сопротивлением энергию и энергию, определенную на основании теоремы Рейли из спектра входного сигнала для найденной выше ширины спектра .

Таким образом, ограничивая спектр сигнала определенной по шириной спектра, мы учитываем от полной энергии. Эта информация может быть полезной, например, для выбора полосы пропускания фильтра.

Фазовый спектр входного сигнала определяется как аргумент от входной спектральной характеристики:

.

Скачки на угол в узлах фазового спектра вызваны изменением знака косинуса. У неискажающей цепи амплитудная характеристика должна быть постоянной, а фазовая в бесконечной полосе частот. При этом тангенс угла наклона фазовой характеристики оказывается равным времени запаздывания сигнала. Частотные характеристики реальных передающих систем всегда отличаются от идеальных: амплитудная характеристика всегда отклоняется от постоянной, а фазовая — от линейной. Оценку искажений производят простым сравнением графиков амплитудного и фазового спектров с графиками АЧХ и ФЧХ цепи. Сравнивая их, на выходе можно ожидать небольшого искажения сигнала. Для резистивной цепи выходной сигнал был бы подобен входному сигналу и имел бы ту же длительность. В данном случае цепи содержащей частотно-зависимые элементы значительные изменения будут иметь место и для фазового спектра входного сигнала. Это приведет к нарушению фазовых соотношений между составляющими сигнала и станет другой причиной искажения формы выходного сигнала.

Рисунок 4.5. Фазовый спектр входного сигнала (ФЧХ).

4.3 Определение амплитудного и фазового спектра выходного сигнала

Амплитудно-частотная характеристика выходного сигнала может быть получена перемножением амплитудно-частотных характеристик входного сигнала

и цепи: .

Рисунок 4.6. АЧХ выходного сигнала

равнение АЧХ с соответствующей характеристикой позволяет предположить значительное искажение формы выходного сигнала. Искажения связаны с различием величины передаточной функции для различных составляющих спектра входного сигнала. Для резистивной цепи выходной сигнал был бы подобен входному и имел бы ту же длительность.

Фазовый спектр выходного сигнала может быть получен суммированием аргумента спектральной характеристики и ФЧХ цепи:

Рисунок 4.8. Фазовый спектр выходного сигнала

Рисунок 4.7. АЧХ входного и выходного сигнала

4.4. Определение выходного сигнала по вещественной характеристике при помощи приближенного метода Гиллемина

Метод Гиллемина является одним из методов позволяющих восстановить функцию времени (какой — либо сигнал) по известной вещественной (или мнимой) частотной характеристике. Метод основан на такой аппроксимации, когда аппроксимирующая частотную характеристику функция либо ее производные состоят из последовательности бесконечно коротких импульсов. Последовательность бесконечно коротких импульсов представляет собой заданную функцию в так называемой квантованной форме. Погрешность метода преимущественно связана со ступенчатым характером аппроксимирующей функции. Уменьшение этой погрешности требует увеличения общего числа членов в аппроксимации. Исходная частотная характеристика аппроксимируется кусочно-линейным образом, после чего два последовательных дифференцирования позволяют свести аппроксимирующую функцию к последовательности бесконечно коротких импульсов. Окончательное выражение для искомой функции времени f (t) полученной по вещественной частотной характеристике имеет вид:

Здесь — величины бесконечно коротких импульсов, — координаты импульсов на частотной оси. Вещественная частотная характеристика может быть определена из соотношений:

; ,

где ——-фазо-частотная характеристика цепи, ?? ?фазо-частотная характеристика входного сигнала, — амплитудно-частотная характеристика входного сигнала, — амплитудно-частотная характеристика цепи (передаточной функции).

Аппроксимацию проведем на отрезке с шагом, т. е. отрезок разбивается на 40 частей () Она позволяет найти точки, где, необходимые для записи и построения первой производной вещественной частотной характеристики .

Рисунок 4.8. График вещественной частотной характеристики и её аппроксимация

Первая производная от частотной характеристики находится как отношение приращения значений функции к приращению значений аргументов:

.

А вторая производная от вычисляется как приращение от первой производной

Значение первой и второй производных вещественной частотной характеристики

Рисунок 4.9. Первая производная ;

Имея значения для выражения можно найти аппроксимацию для. Для этого можно воспользоваться выражением вида:

Рисунок 4.10. Аппроксимированный выходной сигнал по

Рисунок 4.11. Вторая производная ;

Рисунок 4.12. Аппроксимированный выходной сигнал по

Применяя выражение, можно восстановить zвыходной сигнал :

5. Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии

5.1 Разложение в ряд Фурье заданной периодической функции, определение амплитудного и фазового спектров

Разложение периодической последовательности импульсов может быть осуществлено с учетом очевидной связи комплексной амплитуды гармоники ряда Фурье и спектральной плотности (частотным спектром) одиночного импульса той же формы. Точность представления сигнала гармоническим рядом зависит от количества гармоник, удерживаемых в разложении сигнала. Определим число гармоник по известной ширине спектра входного сигнала, определенной по уровню 0,1: и с учетом частоты сигнала, равным частоте первой (основной) гармоники

: .

Коэффициенты ряда Фурье (амплитуды k-тых гармоник) могут быть найдены по формуле:

.

Начальные фазы определяются как аргумент комплексного числа :

Таблица параметров гармоник входного сигнала

Рисунок 5.1. Амплитудный спектр входного сигнала

На рис. 5.1 представлен амплитудный спектр входного сигнала. Огибающая дискретного спектра периодического сигнала совпадает с амплитудно-частотной характеристикой одиночного импульса. При всех частотах амплитуды спектра периодической функции отличаются от значений спектральной плотности непериодической только постоянным множителем

т. е.

Увеличение периода следования импульсов ведет к уменьшению расстояния между соседними гармониками амплитудного спектра. При увеличении периода до бесконечности дискретный амплитудный спектр периодической последовательности переходит в непрерывный спектр одиночного импульса. При этом амплитуды гармоник становятся бесконечно малыми. Вид этого спектра наглядно позволяет судить о свойствах периодических функций времени, например, по скорости уменьшения амплитудного спектра можно судить о степени гладкости периодической функции, а по наличию или отсутствию гармоник на высоких частотах — есть ли участки с быстрыми изменениями. Амплитудный спектр является четной функцией частоты, а фазовый — нечетной функцией.

Рисунок 5.2. Фазовый спектр входного сигнала

Таким образом, входной сигнал можно представить как

Рисунок 5.3. Аппроксимация отрезком ряда Фурье входного сигнала

5.2 Определение тока на выходе

Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ передаточной функции, полученной нами в пункте 4.1, для значений ,. Тогда амплитуды и начальные фазы k-тых гармоник найдем по формулам:

Таблица параметров гармоник выходного сигнала

Согласно проделанным вычислениям можно выписать выражения для отрезка ряда Фурье аппроксимирующего выходной сигнал

Рисунок 5.4. Аппроксимация отрезком ряда Фурье тока на выходе цепи

Заключение

Целью курсовой работы являлось овладение основными современными методами анализа линейной электрической цепи при различных воздействиях на нее. Итогом данной курсовой работы является анализ различных методов расчета сложных цепей: анализ цепей во временной области, операторный метод анализа цепей, частотный метод анализа цепей. Были рассмотрены достоинства и недостатки каждого метода друг перед другом.

В первой части работы предлагалось провести анализ цепи во временной области методом переменных состояния. Прежде всего стоит отметить его преимущество при исследовании переходных процессов в электрических цепях с большим количеством реактивных элементов: в классическом методе расчета сложность и объем расчетов напрямую зависит от их количества, объясняется это тем, что чем выше порядок характеристического уравнения, тем более громоздкой и трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирования. Также стоит отметить, что для вычислительной техники неудобен, в плане обработки и вычислений, интегро-дифференциальный вид решаемых уравнений. Метод переменных состояния представляет собой более упорядоченный способ нахождения состояния системы в функции времени, использующий матричный способ решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в нормализованной форме Коши, последовательность действий при решении более алгоритмизована и более подходит для программной реализации. Существует множество численных способов решения уравнений в такой форме, в частности метод Эйлера, используемый в этой работе при выполнении задания. Это также является преимуществом при автоматизации данного метода.

Вторая часть работы заключается в использовании операторного метода при анализе цепи операторным методом при апериодическом воздействии. Данный метод имеет явные преимущества перед классическим (который, как стоит отметить, можно теоретически применять в решении задач любой степени сложности). Частотный метод заключается в переходе из временной области в область операторных изображений, при помощи прямого преобразования Лапласа. Это помогает избежать операций интегрирования и дифференцирования, заменив эти операции делением и умножением соответственно. В операторном методе используется функция передачи. При помощи этой функции мы можем определить нули и полюса и посмотрев на их изображение получить информацию о свойствах исследуемой цепи, например посмотрев на расположение нулей можно сказать содержит ли цепь резистивные элементы (нули находятся только на мнимой оси) или посмотрев на изображение полюсов можно сказать будут ли в цепи затухания (полюса лежат в левой полуплоскости) и т. д. Так же при помощи передаточной функции можно определить переходную и импульсную характеристики.

В третьей части курсовой работы предлагалось провести анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии. В этом методе так же использовали найденную ранее передаточную функцию — находили фазо-частотную, амплитудно-фазовую и амплитудно-частотную характеристики. Таким образом АЧХ и ФЧХ характеризуют зависимости от частоты соответственно амплитуды и начальной фазы отклика цепи на внешнее воздействие. АФЧХ (он же годограф) — позволяет судить об АЧХ и ФЧХ одновременно. В этой части использовался метод Гиллемина — это приближенный метод получения функции времени по мнимой или действительной частотной характеристике.

И в четвертой части использовался частотным методом при периодическом воздействии. Здесь мы использовали функцию разложения в ряд Фурье. Преимущество использования комплексной формы ряда Фурье состоит в том, что она позволяет непосредственно найти амплитуды и начальные фазы гармоник. Точность представления сигнала гармоническим рядом зависит от количества гармоник, удерживаемых в разложении сигнала. Суммирование мгновенных значений отдельных гармоник сигнала на сопротивлении нагрузки позволяет получить результирующий выходной сигнал. Оправданность такого подхода связана с применимостью принципа суперпозиции (метода наложения) к линейным электрическим цепям.

Как видно наилучшим методом расчета является спектральный, но все же для расчета простых цепей разумней применять операторный метод. Расчеты переходных процессов операторным и спектральным методами весьма похожи друг на друга. Но в отличие от реальных спектров операторные изображения — это абстрактные математические величины, которые, правда, упрощают расчет.

Также в работе были применены различные методы вычислительной математики, которые в свою очередь подтвердили полученные аналитические решения уравнений.

Анализ графиков решений показал, что характер их изменения весьма соответствует характеру физической реализации цепи с данным включением и элементов.

Таким образом, в курсовой работе были использованы основные современные методы расчета и анализа электрических цепей.

Список используемой литературы

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996.

2. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы анализа цепей. — М.: Энергоатомиздат, 1989. 5-е изд. — 528.

3. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. — М.: Энергоатомиздат, 1975. 4-е изд. — 752

4. Кирьяков Д. В. Mathcad 12. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 576

5. Попов В. П. Основы теории цепей. — М.: Высшая школа, 2003. 4-е изд.

6. Теоретические основы электротехники под редакцией профессора П. А. Ионкина. — М.: Высшая школа, 1976.