Методы коллокаций и Галеркина

Методы коллокаций и Галеркина.

Метод коллокаций.

Пусть необходимо определить функцию, удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению.

(2.50).

и линейными краевыми условиями.

(2.51).

причем.

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций.

(2.52).

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция удовлетворяет неоднородным краевым условиям.

(2.53).

а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

. (2.54).

Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить и рассматривать лишь систему функций ..

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций.

. (2.55).

Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем.

и аналогично.

Составим функцию . Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь.

.(2.56).

Если при некотором выборе коэффициентов c_{i выполнено равенство}.

при.

то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции и коэффициенты c_{i в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция обращалась в нуль в заданной системе точек из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция R называетсяневязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.}.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений.

. (2.57).

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты, после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).

Пример. Методом коллокации и методом сеток решить краевую задачу.

(2.58).

1. Метод коллокаций.

В качестве базисных функций выберем полиномы.

.

Эти полиномы удовлетворяют краевым условиям: За точки коллокации возьмем следующие абсциссы:

Ограничиваясь двумя базисными функциями, положим.

Найдем функцию

(2.59).

В точках коллокации получим.

.

Подставляя сюда (2.59), найдем.

(2.60).

Решив эту систему, определим коэффициенты :

=0.957, =? 0.022.

Следовательно, приближенное решение будет иметь вид.

..

Например, при x=0 получим y(0)=0.957.

2. Метод сеток.

Для грубого решения выбираем шаг h=½ (см. рис. 2)..

Рис. 2. Иллюстрация к методу сеток.

Полагая, ввиду симметрии уравнения и краевых условий, будем иметь:

(2.61).

Таким образом, нужно определить лишь две ординаты y₀ и. Полагая x=0 и пользуясь симметричными формулами для производных.

.

получим:

Аналогично, при x=½, то есть при i=1, получаем.

Учитывая теперь (2.61), найдем систему.

Решая эту систему, отыщем y₀=0.967, y₁=0.721. Итак, сравним: метод коллокации дает y₀=0.957, а метод сеток y₀=0.967.

Метод Галеркина.

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями.

(2.62).

(2.63).

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы.

(2.64).

где - некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а - какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям.

(2.65).

и, кроме того функции при образуют в классе функций c_{2[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.}.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через G класс функций y(x), принадлежащих c_{2[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций полна в классе G, если для любого и любой функции можно указать такое n и такие параметры, что имеет место неравенство}.

где.

Это означает, что для любой допустимой функции найдется такая функция, которая на [a, b] будет сколь угодно точно приближать функцию y(x) вместе с ее производными и .

Докажем, что если для некоторой функции F(x) и полной системы функций выполняется соотношение ортогональности.

(2.66).

то функция. Для этого из полной системы последовательной ортогонализацией построим полную ортогональную систему

причем иначе были бы линейно зависимы. Разлагая по новой системе функцию F(x), найдем.

Подставляя это разложение в соотношение ортогональности (2.66), придем к равенству.

(2.67).

Вычислим последний интеграл:

так как.

Таким образом, уравнение (2.67) принимает вид.

.

Полагая здесь k=1, получим, и так как, то. Полагая k=2, получим, и так далее. Следовательно, все коэффициенты в разложении функции F(x) равны нулю и поэтому F(x) тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y(x), удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы было ортогонально при любых, то это означало бы, что , и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при, то в разложении по системе входят и более старшие коэффициенты, то есть.

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности к функциям полной системы для, то есть.

(2.68) где.

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов a_k. Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение.

Если оператор нелинейный, то система (2.68) тоже будет нелинейной и решение ее весьма затруднительно. Если же оператор линейный, то система (2.68) также будет линейной и можно решать задачу с большим числом коэффициентов.

В методе Галеркина функция должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому можно выбрать в виде.

.

и коэффициенты найти как решение системы уравнений.

Таким же образом отыскиваются функции. Выберем, например, полную систему в виде многочленов последовательных степеней:

.

Коэффициенты найдем из однородных краевых условий (2.65).

(2.65^а).

при всех .

Так, для и условия (2.65^а) принимают вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных: и. Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например,. Аналогично отыскивают коэффициенты для .

Для простых условий вида то есть функции можно вычислять по правилу.

или.

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами a_{k уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L.}.

Пример 1. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения.

с условиями.

В качестве системы базисных функций выберем.

Ограничимся четырьмя функциями, то есть k=0, 1, 2, 3. Решение будем искать в виде.

Найдем функцию.

Так как.

а, ,.

то получим.

Потребует теперь ортогональности функции F(x) к функциям. Это приводит к системе.

Подставляя сюда вместо выражение этой функции и производя интегрирования, найдем.

Решение этой системы:

Следовательно,.

Пример 2.

Решим задачу.

Положим и выберем полную систему функций.

Ограничиваясь k=1, легко получить.

Если же взять два члена, то получим.

Можно рассчитать следующую таблицу: