Оптимальное граничное управление теплопереносом.
Гиперболическая модель

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Результаты докладывались на конференции «Прикладная математика и фундаментальная информатика» (два доклада, Омск, апрель 2011 г.), на 1У-ой Международной конференции МПМО-2011 «Математика, ее приложения и математическое образование» (Улан-Удэ, июнь 2011 г.), на X международной Четаевской конференции (Казань, июнь 2012 г.), на конференции «Прикладная математика и фундаментальная информатика… Читать ещё >

Оптимальное граничное управление теплопереносом. Гиперболическая модель (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

Глава I. Предварительные сведения
- 1. 1. Схема обобщенного метода Лагранжа
- 1. 2. Матрицы Римана первого и второго рода. Случай постоянных коэффициентов
- 1. 3. Гиперболическая модель теплопроводности. Случай анизотропного материала
- 1. 4. Матрицы Римана одномерной гиперболической системы (1.15)
Глава II. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале
- 2. 1. Постановка задачи. Схема построения решения
- 2. 2. Задача граничного управления
- 2. 3. Выбор оптимального граничного управления
Глава III. Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном и трехмерном материале
- 3. 1. Матрицы Римана семейства систем Ьюи = 0. Случай двумерного анизотропного материла
- 3. 2. Постановка двумерной задачи управления. Схема решения. Случай анизотропного материла
- 3. 3. Построение класса Ж допустимых граничных управлений
  - 3. 4. Выбор оптимального граничного управления
  - 3. 5. Случай трехмерного материала

В последние десятилетия интенсивно развивается возникшая на стыке теории дифференциальных уравнений и теории управления проблематика, связанная с разработкой и анализом математических моделей управления волновыми процессами, описываемыми краевыми задачами для гиперболических уравнений.

Первые результаты такого типа для частных ситуаций были получены в 60-е и 70-е годы прошлого века в работах А. Г. Бутковского и ряда других авторов (см. книги [6] и [7] и ссылки в них).

Систематическое построение теории управления волновыми процессами на базе теории гиперболических уравнений началась в работах Ж.-Л. Лионса [36, 37, 81−83]. В частности, в работах [81−83] построен метод решения задачи точной управляемости для гиперболического уравнения второго порядка сведением к задаче точной наблюдаемости для сопряженного уравнения, получивший название НЦМ-метод, получивший свое развитие в исследованиях многих ученых, в том числе у В. Коморника и О.Ю. Эма-нуилова [76−80]. В работах [76, 78] предложен подход к решению задачи точный управляемости на основе теорем о распространении особенностейв [76, 78] для решения этой задачи использован аппарат априорных оценок карлемановского типа. В работе Д. Татару [84] этот аппарат применен для решения задачи точной управляемости абстрактным эволюционным уравнением.

Важный вклад в эту проблематику внесла вышедшая в 1995 году работа Ф. П. Васильева [9]. Предложенная в этой работе концепция теории двойственности для линейных систем управления позволила уточнить схему НиМ-метода, представить в виде, позволяющем применять этот метод для решения широкого класса задач управления системами с распределенными параметрами.

В последние годы продолжаются интенсивные исследования по математическим моделям граничного управления волновыми процессами.

В работах М. М. Потапова [46−51] и A.A. Дряженкова [52] построен приближенный метод решения взаимодвойственных задач управления и наблюдения для волнового уравнения с переменными коэффициентами с граничными управлениями различных типов.

Большой цикл В. А. Ильина, Е. И. Моисеева и их учеников посвящен граничному управлению колебаниями струн и стержней [4, 21−30, 38, 4045]. В каждом случае рассматривается задача поиска режима на концах, обеспечивающего переход за заданное время от начального вектора и, u’j) к заданномустроится зависящее от функциональных параметров семейство граничных уравненийиз построенных управлений выбирается методом Лагранжа оптимальное — реализующее минимум функционала, имеющего смысл граничной энергии систем или Lp-нормы управления. Во всех случаях построено явное представление оптимального граничного управления. К этому циклу примыкают работы А. И. Егорова и JI.H. Знаменской [14−16].

В работе A.B. Аргучинцева и В. П. Поплевко [3] рассматривается задача оптимального управления (граничного и стартового) полулинейной гиперболической системой первого порядка, получено необходимое условие оптимальности вариационного типа.

Одна из актуальных задач теории управления — разработка методов граничного управления процессами теплопроводности и диффузии. Большое внимание этой проблематике в рамках параболической теории теплопроводности уделено в книгах [13, 37, 8]- см. также статьи [2, 11, 12, 35] и ссылки в них.

В последние десятилетия получила свое развитие гиперболическая (волновая) теория теплопроводности, она устраняет неограниченность скорости теплопереноса в классической теории и описывает быстропро-текающие процессы [39, 57, 75, 34, 35, 5, 32]. Вышедший в последние годы цикл работ О. Г. Жуковой и Р. К. Романовского [17−20, 56] посвящен разработке математических моделей граничного управления теплоперено-сом в рамках этой теории. Рассматриваются краевые задачи для гиперболической системы уравнений теплопроводности, моделирующие теплопе-ренос в однородном изотропном материале — одномерном, двумерном и трехмерном. Ставится задача поиска температурного режима на границе тела, обеспечивающего заданное распределение температуры тела в заданный момент времени. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений. Подход состоит в сведении задачи гра1 ничного управления решениями смешанной задачи к задаче стартового управления решениями вспомогательной задачи Коши и использовании развитого ранее в работах Р. К. Романовского [53, 54] (см. также книгу [55]) аппарата матриц — функций Римана первого и второго рода, позволяющего строить явное представление решения задачи Коши для подклассов гиперболических систем.

Представляет теоретический и практический интерес продолжения этих исследований по двум направлениям.

I. Перенос указанных результатов по граничному управлению теп-лопереносом на случай анизотропного материала.

II. Выбор оптимального граничного управления, минимизирующего заданный функционал потерь.

Цель работы: решение задач граничного управления и оптимального граничного управления, поставленных в пунктах I и II.

Актуальность темы

диссертационной работы вытекает из вышесказанного.

Работа включает в себя введение, три главы, заключение и список литературы.

Во введении дается обзор литературы, аннотация результатов, обоснование актуальности темы диссертации.

1. В первая главе вводятся основные понятия и теоремы, на которые опирается дальнейшее изложение.

В § 1.1 приведена схема обобщенного метода Лагранжа из книги [1, глЗ].

В § 1.2 изложены систематически используемые в работе сведения из [53, 54] о матрицах Римана первого и второго рода одномерной гиперболической системы.

В § 1.3 приведена гиперболическая модель теплопроводности для случая анизотропного материала.

§ 1.4 содержит используемые в главе 2 сведения из работы [18] о матрицах Римана одномерной гиперболической системы теплопроводности.

Приведенная в § 1.3 гиперболическая система уравнений теплопроводности имеет вид дТ А' Г с р—1- шу ?7 = 0, д I.

• (0−1) т-У- + К&га (1Т + д = 0.

Здесь Т (х, 1), д (х,?) — температура и вектор плотности теплового потока в точке х в момент времени /, с, р — удельная теплоемкость и плотность, г — период релаксации, К — тензор теплопроводности — симметрическая положительно определенная матрица второго или третьего порядка:

Уравнения системы — закон сохранения энергии и релаксационное соотношение первого порядка. Скорость распространения теплового импульса.

2. В главах 2−3 рассматриваются поставленные выше задачи управления теплопереносом соответственно в стержне, анизотропной пластинке звездной формы, анизотропном пространственном теле звездной формы. Теплоперенос моделируется смешанной задачей для системы (0.1) соответствующей размерности (в случае стержня К = к > 0 — скаляр). Строится в каждом случае с использованием аппарата матриц Римана из [53, 54] класс допустимых граничных условий — обеспечивающих заданное распределение температуры тела в заданный момент времени, — затем из этого класса выбирается методом Лагранжа оптимальное граничное управление — минимизирующее заданный квадратичный функцонал потерь. Подход состоит в сведении задачи граничного управления решениями смешанной задачи к задаче стартового управления решениями вспомогательной задачи Коши для системы (0.1). При этом процедура построения класса допустимых управлений в двумерном и трехмерном случаях существенно отличается от примененной в указанных выше работах.

К = КТ, К> 0. по направлению любого орта йв!" или Ж конечна и дается формулой.

0.2).

20, 56].

3. В главе 2 рассматривается задача одностороннего граничного управления теплопереносом в конечном стержне длины /. Смешанная задача, моделирующая теплоперенос, имеет в векторно-матричной записи вид.

Ьи = + А— + В дг и = 0, (*, Ое[0,/]х[0,оо),.

0.3).

4=0 = о.

0.4).

Здесь.

Т 'а 0″ 2 = ' 1 1 ~0 0 «и =, А = 2 ¿-г1 -ъ-, В = 0 г-1 я. 0 -а, а = I——величина (0.2) для стержня, Ь= Т тер кер л — кусочно-гладкая, выполняется условие согласования //(0) = 0. Начальные данные выбраны нулевыми без потери общности для упрощения выполняемых вычислений. Задача (0.3)-(0.4) однозначно разрешима в классе кусочно-гладких функций со слабыми разрывами (скачками производных) на характеристиках, проходящих через точки (0, 0), (0,/) и точки разрыва //'(см. [10]).

Решение задачи оптимального граничного управления приводится в § 2.2, § 2.3 и состоит из двух этапов.

3.1. При фиксированных г > 0, ОДеС^О,/], <9(/) = 0 ищется температурный режим ц на левом конце стержня, обеспечивающий выполнение равенства.

Г (*, Г-ц>) = 0(*), «б[ О,/].

0.5).

Предполагается, что за время ?* движущийся с конца стержня со скоростью, а тепловой импульс успевает пройти весь стержень. Рассматривается крайний случай г Л а.

0.6).

Зафиксируем вектор-функцию Ш.

0.7).

Определим операторы А^, Ак, к = 1,2, равенствами Л = ак ехр[^^ул1 I у1 к (1 —^Ик (а)с1(т, к = 1,2,.

К = Рк К (5) + ]" С* + / - <т, О К рк = ак ехр

0.8) где ах = 1 / 2, а2 = Ь / 2, — элементы матрицы Римана второго рода системы (0.3): ехр (-/7(2г)).

4ат с1.

ТгГЯТг У ай ч у2 ту.

0.9) с1 = ф2 -(з / а)2, / (г) — функции Бесселя мнимого аргумента [58, с. 687].

Будем называть векторы (0.7) управлениями. Обозначим Н класс управлений, удовлетворяющих условию.

Л/г=Л1Л1+Л2/г2 = 6'(5), 5е[0,/], (0.10) где #($) — функция (0.5). Фиксируя в (0.10) произвольную компоненту Ик вектора (0.7), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода на другую компоненту, однозначно разрешимое в С1 [0, /].

ТЕОРЕМА 2.1. Каждому вектору heH отвечает решение pi задачи граничного управления (0.5), (0.6), вычисляемое по формуле i (t, h)=Alhl+A2h2, (0.11) где Akhk — функции (0.8).

3.2. Слагаемое (0.8) в правой части (0.11) указывает вклад компоненты hk вектора (0.7) в формирование требуемого температурного режима? на левом конце стержня. В качестве функционала потерь принимается «сумма квадратов» t.

F (h) = а JKAA,)2 + СA2h2)2]dt -> minheH. о.

F имеет смысл, с точностью до постоянного множителя, квадрата внутренней энергии, внесенной управлением на левом конце стержня за время t. Минимизация F эквивалентна минимизации Vf. Замена s = l-at приводит F к виду.

F (h) = J[(A hxf + (Л2 h2)2]ds, (0.12) где г f l-s} Ahk = ocke{s)hk{s) + J vxkI /-o-, — Jhk{a)d (j, e (s) = exp.

2 ат.

0.13).

Введем гильбертовы пространства.

Рассмотрим задачу оптимального управления.

F (h) —"min, Ah-0 = О, heX. (0.14).

Функция Лагранжа задачи (0.14) имеет вид 1.

J2?(A, Л) = F (h) + J A (s)(Ah — 6) ds, Л e Y. о.

Верны утверждения.

1°. Функция (0.12) выпукла, строго дифференцируема в каждой точке heX и имеет вторую производную Фреьие F" = const, при этом для любого /=[/1,/2]те1.

Fh)f = 2j[(A hx) Ax f, + (А2 h2) A2 f2]ds,.

F*f)f = 2 fxf + (A2 f2)2]ds,.

F7)f>c\ffx с = const > 0.

2°. АеНош (Х-«7), АХ = У.

Применение с учетом 1°, 2°, теорем 1, 2 из [1, п. 3.4.1] (в силу выпуклости Р здесь идет речь о глобальном экстремуме) приводит решение задачи (0.14) к решению системы уравнений М=6>, (/1,Я)бХх7, равносильной, как показывают вычисления, системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Д i//0) + K (s,&)i/{.

0.15) где.

2a1V (s) 0 а" 'К «0» .

0 2 a22e2(s) Рг, п = 0.

А, А 0 в K=[k (s,.

2[а, е (сг)у,(о-, 5) + Jv,(r, 5) v,(r, cr)^r], 0 < <т.

2[а, + Jv-(r, 5) v,(r, f7) i/r], S<(7<1, v (<<7.

0, s const > 0

Из альтернативы Фредгольма с учетом «хороших свойств» ядра и правой части /Г177 следует, что система (0 15) имеет единственное решение если выполняется требование.

-lgs^C), = JiT^y/Jo*, (016) где — множество собственных значений компактного оператора ЗС..

Каждая точка ¿-Г е отделена от остальных и непрерывно зависит от параметров, входящих в формулы для Я, К. Поэтому случай -1 е з{ЗС) имеет место «с вероятностью ноль». Будем говорить, что имеет место ситуация общего положения (0.16)..

Л, Л.

Подстановка в равенство (0.11) со слагаемыми (0.13) дает оптимальное граничное условие на левом конце стержня..

ТЕОРЕМА 2.2. Задача оптимального управления (0.14) имеет в обА /А Л Л щем положении (0.16) единственное решение И = И[, к1, где Ик — компоненты решения ф системы интегральных уравнений (0.15). Соответствующий оптимальный температурный режим на левом конце стержня дается формулой.

1 1т> 2 где, а = / тсрь Ь =^т / кср, у 1к-функции {0.9)..

4. Глава 3 посвящена распространению результатов главы 2 на случаи двумерного и трехмерного материала. В §§ 3.1−3.4 решается задача оптимального граничного управления теплопереносом в анизотропной пластинке, в § 3.5 эти результаты переносятся на случай анизотропного пространственного тела. Случай изотропного материала {К = к1) оговаривается в конце главы..

В двумерном случае Я.

Я, к = К2.

Яг К2 К22 ки = к1Ъ ки > 0, сЬг/С > 0..

Система (0.1) в векторно-матричной записи имеет вид.

Ьи =.

Г д к д л 5 А,-+ А-,-+ В.

—г ГЛ} д1 <9*! дх-, и = 0,.

0.17).

0 Ы'1 0 С) 0 м-1 и =, А,= т~хки 0 0, А 2 0 0.

Яг. 0 0 Т 1к22 0 0.

0 0 0 «.

В = 0 0 г" 1 0 0.

Пусть Т> - ограниченная область на плоскости ^ = звездная относительно точки (0,0), с кусочно-гладкой границей с уравнением в полярных координатах лс| = г (ф) > 0, 0 < < 2/г..

Рассматривается смешанная задача, моделирующая теплоперенос в пластинке Т> :.

Ьи = 0, (х,/)е?>х (0, сб), Ч=о = [°ДО] ти=г (<�р)=^<�рЛ.

0.18) где Ь — оператор (0.17), функция // непрерывна в своей области определения, выполняются условия согласования ¿-¿-((р, 0) = 0..

4.1. Введем семейство ортов П = со 5 а —, 0 < а < 2л со = = со2 вшог.

Построим семейство одномерных гиперболических систем и = О, а) еС1, а Я ^ + А (сл?- + Ъ dt vds.

0.19) где.

Л (?o) = eos, а А1 + sin, а А2,.

Ак, В — матрицы (0.17). Нетрудно получить: а. 0 яи о со.

КсоКо).

G) т т й =.

-sin" cosa где ат — величина (0.2).

Проведем на плоскости (5,/) характеристики $ = ±(2^ оператора и пусть.

— открытые углы с вершиной в (0,0), изображенные на рис. 0.1. Вычисления по формулам § 1.3 дают следующий результат..

ТЕОРЕМА 3.1 Матрицы Римана первого и второго рода Цкт, Уа семейства гиперболических систем (0.19) даются формулами мо= bexp (-?).

О) оК 1 -тата? -Ь~1Ка> Каю/ кищ+кп0)2.

О о о -,"0 / (О у где (0−20) °фСР ^.

Из формул для матрицы, в частности, следует: ехр.

К) чьумь:.

0.21).

4.2. В двумерном случае задача граничного управления (0.5) имеет вид.

0.22) где am = mnaa, r0= maх г (<�р), т за это время тепловой импульс, движущийся с границы по любому направлению (о со скоростью аш, успевает пройти весь путь до ближайшей точки границы дТ>. Предполагается в (х)eC°°(D) — здесь и далее символ ¿-" «обозначает множество функций из CUO (D) с носителем строго внутри V..

Продолжая в нулем из V в R2, представляя продолженную функцию интегралом Фурье, переходя к полярным координатам и представляя полученный интеграл по [0,2л-] в виде суммы интегралов по отрезкам [0,/г], [71,2тс, после преобразований получим:.

ЗГ СО в (х) = ва ((о х) da, ea (s) = (27r)~2 (eirse (rco) + e-irse (-ro))ydr, (0.23) о о где в — преобразование Фурье функции в, co-x = xl cosа + х2 sin а. Обозначим rco = aJ — г0 > г2ш = ао/ + Г0 «.

П = {{s, a,(p): (а,(р) е [0,/г]х [0,2 л-], гы < s < rlo }. Зафиксируем вектор-функцию h = s, a,(p) h2(s, a,.

Определим оператор, А равенством.

Ah = A]hl +Л2/*2, 5.

ЛА + J Ska)(s-a?*-aX)hk{(j, a,(p)d (j,.

0.25) иксаУл ~uCD1)nkyu, u., yjju. u, ra>.

1 ь где =—, Ь2 =—Ът — величина (0.20), дксо вычисляются по формулам.

0.21). Будем называть векторы (0.24) управлениями. Обозначим Я? класс управлений /г, удовлетворяющих требованию.

ЛЛ = 0 В (.(*, а,<�р)е П. (0.26).

Вычисление класса Ж сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода по 5 е г1со, г2ю на одну из компонент кк вектора к при фиксированной другой..

ТЕОРЕМА 3.2. Каждому вектору /ге Я? отвечает решение ?1 задачи граничного управления (0.22), вычисляемое по формуле ж р, И) = |[7] (^, а,(р, Г, Ь[) + Т2 а^Н^йа, о (0.27) сир где.

Тк (я, а,<�р, Г, Ик) =.

0, з + аа1<�г1ю, ька> + + (0.28) г1со.

4.3. Ищется векгор-функция /г е Ж, минимизирующая квадратичный функционал потерь 2 ж ж.

ЩИ) = \Л с1(р[тх2(за<�р, а,<�р,+ Т2 (*а<�р, а,(рАЮ]Аг ..

0 0 0 который имеет смысл, с точностью до постоянного множителя, квадрата внутренней энергии, внесенной управлением на границе пластинки за время Г. Замена {?, а, д>)—по формуле я = 8а (р+ат1 приводит 2Р к виду.

А) = Д[^Т (ГЛ)2 + (ГЛ)2] * <*<Р> (°-29).

П0.

5-у.

1а, л г1й.

Аналогично одномерному случаю вводятся гильбертовы пространства X = ?2 (По —" М2), 7 = ?2 (По —" М). Рассматривается задача оптимального управления.

И) —"пип, Ак-ва^-а0/) = 0, АеЛГ, (0.30) где <9а — функция (0.23), Л — оператор (0.25), 9* - функционал (0.29). Функция Лагранжа имеет вид.

Х) = &-(к) + ^М?, а, ф)[Ак-ва (к<1а (1(р9 ЛеУ. По.

Имеют место аналоги утверждений 1°, 2° в п. 3.2. Применение теорем 1, 2 из [1, п. 3.4.1] приводит решение задачи (0.30) к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода по я? Ьт, га (р на тройку.

ДЛ^] г сир.

М (5,а,<�Р)У|/(.У, а, ф)+ | N (5,сг,(0.31).

Па с гладкими М, 14, f, |ёе1М| > сот1> 0 (см. § 3.4). Повторение рассуждений, проведенных в п. 3.2, дает: в общем положении.

Жу/= | М1К|/й?<�Т, (0.32).

1й) система (0.31) имеет единственное решение у = По)..

Из выполненных построений с учетом 2л-периодичности М, Ы, га (р.

Л / Л Л по (р следует, что пара к = [1,Н1 удовлетворяет требованиям (0.24), (0.26) с заменой П на П0. Обозначим = |= на П0|..

Построение векторов (/г, /^е^ приводится, после вычисления ^/г, /?2 к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода на продолжение в ПП0 одной из компонент кк при фиксированном — с сохранением непрерывности и свойств (0.24) — продолжении другой..

ТЕОРЕМА 3.3. В ситуации общего положения (0.32) каждая векг пТ л, а ^ тор-функция к = 1, ] класса, где , — компоненты решения у системы интегральных уравнений (0.31), дает решение задачи оптимального граничного управления (0.30). Соответствующий оптимальный температурный режим на границе пластинки вычисляется по формулам (0.27), (0.28), где 8кт — функции (0.21), строящиеся по элементам матрицы Римана ю второго рода семейства одномерных гиперболических систем (0.19)..

5. В § 3.5 результаты § 3.1−3.4 распространены на случай трехмерного материала по схеме, изложенной в п. 4..

Здесь к2 къ к = к2 к22 к2ъ къ къ2.

К = КТ, К> 0..

Система (0.1) в векторно-матричной записи имеет вид.

Ьи = + А, д1 дхл АЯ +А, д х. В и = 0,.

0.33).

А, =.

0 М" 1 0 0 0 0 М'1 0 т~1кп 0 0 0 А2 = 0 0 0.

0 0 0 Т К22 0 0 0.

0 0 0 т кЪ1 0 0 0.

А, =.

0 0 0 ы т къ 0 0 0 т~ К2Ъ 0 0 0 т~ гзз 0 0 0.

Пусть 2Ь — ограниченная область в пространстве х = (х1,х2,х3), звездная относительно точки (0,0,0), с кусочно-гладкой границей с уравнением в сферических координатах = г (0>), <р = (<�р1,<�р2)&Е, Е = [0,2л]х[0,л]..

0.34).

Рассматривается смешанная задача, моделирующая теплоперенос в теле 2).

1и = 0, (х,/)еЭх (0, оо),.

0.35) где Ь — оператор (0.33), // е С (<�Э9)), вьшолняется условие согласования /1(р, 0) = 0..

5.1. Введем семейство ортов а=.

V С08<2] БШ «2.

О = - БШ", 8Н1<22 со $, а2 1 где.

А (го) = <�г>1А1 + щА2 + <щА3, Аь В — матрицы (0.33). Имеет место равенство.

А (со) = б1щ (аа, 0,0, —)г2 где ао 0 0 7−1 ЬФ V1 0 0 V1 1 6 1.

У / ёг С0 2? 2/7 -со ашСР.

0.36).

Построим семейство одномерных гиперболических систем и = 0, соеП, (0.37).

8111″,.

-соб а} 0 г К сп г, g = х? / =-,? = gx/, Т] = ук/. г.

Вычисления по формулам § 1.3 дают следующий результат..

ТЕОРЕМА 3.4. Матрицы Римана первого и второго рода ика, Ус семейства гиперболических систем (0.37) имеют вид.

О, Мейи^, ve=ехр (-^).

Ы л v гЭе ij* —углы, изображенные на рис. 0.1, с заменой характеристики.

Зсо на ?4® — dkco> dcoвеличины (0.20)..

Из формулы для матрицы V0J следует, в частности, формулы (0.21) для элементов v, 1а}, v12a), здесь о — орт (0.36)..

5.2. Задача граничного управления имеет вид (0.22) с заменой пластинки пространственным телом 2). Предполагается 0(х)е С°°(2)),.

2 г -2-, = шшйд, г0 = шахг (^)..

Продолжая в нулем из 2) в I3, аналогично (0.23) получим.

00.

9(х)= ва{са-х)с1а, = +е~^3(-гсо)Ус1г, (0.38).

Е0 (2Ж) О где Е0 = [0, /г]х[0,л-], а = {аъ а2), в — преобразование Фурье в. Обозначим.

Лт = - 'о" Гг со = + 'о. П = {(5, а, <р): (а, (р)еЕ0х Е, гы <б< г2а }. Зафиксируем вектор-функцию.

И = h (s>.

П], (0−39).

Определим оператор, А равенством (0.25), где со — орт (0.36), 5ктфункции (0.21). Будем называть векторы (0.39) управлениями..

Обозначим Я? класс управлений h, удовлетворяющих требованию Ml = ecc (s-aj* (s, a,(p)e П, где ва — функция (0.38)..

ТЕОРЕМА 3.5. Каждому he? f отвечает решение? задачи граничного управления (0.22) для тела О), вычисляемое по формуле ju ((p, f, h) = J fx{sa (p, a,(p, tA) + T^s^aMh^da, sagt = a>- Аф)®-^ (0.40) где Тк — функция (0.28) при, а = (аьа2) и (р = {ц,(р2), г (ф) — функция (0.34), (0^ — орт (0.36) с заменой, а на (р, Е0 на Е..

5.3. Решается задача оптимального управления.

-> тт, /геЖ, (0.41).

0 е ?0.

Замена $=$а (р+аю1 приводит # к виду (0.29), где 2Р П—>Пр Т10-+П0фа = (а1,а2), (р = (<�р1,(р2)..

Рассуждения, аналогичные проведенным в п. 4.3, приводят решение задачи (0.41) к решению системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода вида (0.31) по $&[гы, га<�р] на тройку [Л, Я], где Я — множитель Лагранжа (см. § 3.5)..

При условии (0.32) система имеет единственное решение.

Ч/ = (4,М)еС (П0), при этом к =^, /?2 ^ е Ж. Обозначим.

ЗГ^ = |/? € ¿-Г: А = [/2Ь на П0.

Вычисление класса ^ здесь также приводится к решению уравнения Вольтерра второго рода..

ТЕОРЕМА 3.6. В общем положении (0.29) каждая вектор-функция к = [к1,1г2]Т е дает решение задачи оптимального граничного управления (0.41). Соответствующий оптимальный температурный режим на границе тела 2) вычисляется по формуле (0.40)..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59−74], из них статьи [67−70] - в ведущих рецензируемых научных журналах, включенных в список ВАК..

Заключение.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты..

1. Решена задача оптимального одностороннего граничного управления теплопереносом в стержне с квадратичным функционалом потерь..

2. Вычислены матрицы Римана первого и второго рода семейств гиперболических систем, ассоциированных с двумерной и трехмерной гиперболической системой уравнений теплопроводности в общем случае анизотропного материала..

3. Построены зависящие от функциональных параметров классы граничных управлений теплопереносом в анизотропной пластинке и в анизотропном пространственном теле звездной формы..

4. Решена в каждом из этих случаев задача выбора оптимального граничного управления с квадратичным функционалом потерь. В качестве следствия получены решения задачи оптимального граничного управления теплопереносом в изотропном двумерном и трехмерном материале..

Показать весь текст

Список литературы

Алексеев, В.М. Оптимальное управление / В. М. Алексеев, В. М. Тихомиров, С В. Фомин // М.: Наука, 1979. 430 с
Алексеев, Г. В. Двухпараметрические экстремальные задачи граничного управления для стационарных уравнении тепловой конвекции / Г. В. Алексеев, Д. А. Терешко //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. — Т. 51, № 9. — С. 1645−166
Аргучинцев, А. В Вариационное условие оптимальности в задаче управления начально-краевыми условиями полулинейных гиперболических систем / A.B. Аргучинцев, В. П. Поплевко // Автоматика и телемеханика. -2008. № 4. — С. 17−28.
Бураханов, Б.М. Гиперболическая теплопроводность и второй закон термодинамики / Б. М. Бураханов, E.H. Лютикова, С. А. Медин. М., 2002. — 28с. — (Препринт /ОИВТРАН- № 2−462).
Бутковский, А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. М.: Наука, 1965. -476 с.
Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами / А. Г. Бутковский. М.: Наука, 1975. — 568 с.
Васильев, Ф.П. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления / Ф. П. Васильев, A 3. Ишмухаметов, М. М. Потапов. М.: Изд-во Московского университета, 1989. — 142 с.
Васильев, Ф.П. О двойственности в линейных задачах управления и наблюдения / Ф. П. Васильев // Дифференциальные уравнения. 1995. -Т.31, № 11. -С. 1893−1900.
Воробьева, Е В. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский // Сибирский математический журнал. 2000. — Т. 41, № 3. — С. 531−540.
Гасанов, К.К. Управление с минимальной энергией в процессах, описываемых уравнением теплопроводности с неклассическими краевыми условиями / К. К. Гасанов, А. Н. Гасанова // Естественные и технические науки. 2010. № 2. — С. 38−41.
Дождиков, В.И. Оптимизация управления процессом теплопроводности в твердом теле / В. И. Дождиков, C.B. Порядин, К. В. Дождиков // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2009. — Т. 14, № 4. — С. 704−705.
Егоров, А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами / А. И. Егоров. М.: Наука, 1978. — 464 с.
Егоров, А.И. Об управляемости колебаний системы связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами / А. И. Егоров, JI.H. Знаменская // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2006. — Т. 46, № 6. — С. 1002−1018.
Егоров, А.И. Об управляемости упругих колебаний последовательно соединенных объектов с распределенными параметрами / А. И. Егоров, J1.H. Знаменская // Труды института математики и механики УрО РАН.-2011.-Т. 17, № 1.-С. 85−92.
Егоров, А.И. Об управляемости упругих колебаний системы последовательно соединенных объектов с распределенными параметрами со свободными границами / А. И. Егоров, Л. Н. Знаменская // Труды МФТИ. 2012. -№ 4−16. — С. 62−68.
Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения. 2007 — Т. 43, № 5 — С. 650 654.
Жукова, О.Г. Двустороннее граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Сиб. журн. индустр. матем. 2007 — Т 10, № 4(32).- С. 32−40.
Жукова, О.Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О. Г. Жукова // Дифференциальные уравнения. 2008. — Т. 44, № 1. — С. 82−88.
Жукова, О.Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова // Дифференциальные уравнения. 2009. — Т. 45, № 12. — С. 650−654.
Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление смещением на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // ДАН. -2004. -Т.399, № 6. С. 727−731.
Ильин, В. А. Оптимальное граничное управление смещением на двух концах и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // ДАН. 2005. — Т.400, № 1. — С. 16−20.
Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление на одном конце при свободном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // ДАН. 2005. — Т.400, № 5.-С. 585−591.
Ильин, В.А. Оптимальное граничное управление упругой силой на одном конце при закрепленном втором конце и отвечающее ему распределение полной энергии струны / В. А. Ильин // ДАН. 2005. — Т.400, № 6.-С. 731−735.
Ильин, В.А. Оптимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени Т управления упругими граничными силами на двух концах струны / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // ДАН. 2007. — Т. 417, № 4. — С. 456−463.
Ильин, В.А. Оптимизация граничного управления смещением или упругой силой на одном конце струны за произвольное достаточно большое время / В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Автоматика и телемеханика. 2008. — № 3. — С. 7−16.
Ильин, В.А. Граничное управление смещением на одном конце струны при наличии нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. 2008. — Т. 44, № 11. — С. 1487−1498.
Ильин, В.А. Граничное управление упругой силой на одном конце струны при наличии модельного нелокального граничного условия одного из четырех типов и его оптимизация / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. 2009. — Т. 45, № 4. — С. 586−596.
Ильин, В.А. Оптимизация производимого смещением граничного управления колебаниями стержня, состоящего из двух разнородных участков / В. А. Ильин // Дифференциальные уравнения. 2011. — Т. 47, № 7. — С. 978−986.
Карташов, Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел / Э. М. Карташов. М.: Высш. школа, 1985. — 480 с.
Кирсанов, Ю.А. Некоторые проблемы явления теплопроводности / Ю. А. Кирсанов // Изв. РАН, Сер. Энергетика. 2005. — № 6. — С. 51−58.
Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Физматлит, 2012. — 572 с.
Корнеев, С.А. Гиперболические уравнения теплопроводности / С. А. Корнеев // Изв. РАН. Сер. Энергетика. 2001. — № 4. — С. 117−125.
Лелёвкина, Л.Г. Оптимальное управление процессом теплопроводности / Л. Г. Лелёвкина, С. Н. Скляр, О. С. Хлыбов // Автоматика и телемеханика. 2008.-№ 4. — С. 119−133.
Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972.-414 с.
Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. М.: Физматлит, 1987. — 368 с.
Лыков, A.B. Теория теплопроводности / A.B. Лыков. М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.
Моисеев, Е.И. Оптимальное граничное управление смещением колебаниями струны с нелокальным условием нечетности первого рода / Е. И. Моисеев, A.A. Холомеева // Дифференциальные уравнения. -2010.-Т. 46, № 11.-С. 1623−1630.
Моисеев, Е.И. Оптимальное граничное управление силой на одном конце струны при заданном режиме силы на другом конце / Е. И. Моисеев, A.A. Холомеева // Дифференциальные уравнения. 2011. — Т. 47, № 10. — С. 1492−1497.
Моисеев, Е.И. О нелинейной зависимости оптимального граничного управления от начальных и финальных данных / Е. И. Моисеев // Дифференциальные уравнения. -2011. Т. 47, № 11. — С. 1653−1657.
Моисеев, Е.И. Об оптимизации граничного управления колебаниями струны на одном ее конце при наличии заданного режима на другом конце/ Е. И. Моисеев, A.A. Холомеева//ДАН. 2012. — Т. 445, № 1. -С. 13−16.
Никитин, A.A. Оптимальное граничное управление колебаниями струны, производимое силой при упругом закреплении / A.A. Никитин // Дифференциальные уравнения. -2010. Т. 46, № 12. — С. 1773−1782.
Попов, А.Ю. Минимизация интеграла от модуля второй производной граничного управления колебаниями струны с закрепленным концом / А. Ю. Попов // Автоматика и телемеханика. 2007. — № 2. — С. 127 137.
Потапов, М.М. Разностная аппроксимация задач дирихле-наблюдения слабых решений волнового уравнения с краевыми условиями III рода / М. М. Потапов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. — Т. 47, № 8. — С. 1323−1339.
Потапов, М.М. Наблюдаемость нерегулярных решений третьей краевой задачи для волнового уравнения с переменными коэффициентами / М. М. Потапов // ДАН. 2007. — Т. 414, № 6. — С. 738−742.
Потапов, М.М. Об уточнении порогового момента в задачах с двусторонними управлениями и наблюдениями для волнового уравнения / М. М. Потапов // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2007. — Т. 8, № 1. — С. 147−153.
Потапов, М.М. Оценки нормальных решений в задачах с нерегулярными зонными управлениями для волнового уравнения / М. М. Потапов // Дифференциальные уравнения. 2009. — Т. 45, № 10. — С. 14 731 479.
Потапов, М.М. Оценки нормальных решений задач с зонными управлениями из ?2 Д^ волнового уравнения. / М. М. Потапов // Дифференциальные уравнения. -2010. Т. 46, № 7. — С. 931−941.
Потапов, М.М. Оптимизация порогового момента в неравенстве наблюдаемости для волнового уравнения с краевым условием упругого закрепления / М. М. Потапов, А. А. Дряженков // Труды МИАН. -2012.-Т. 277.-С. 215−229
Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Доклады АН СССР. 1982. — Т. 267, № 3. — С. 577−580.
Романовский, Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Математический сборник. 1985. — Т. 127, № 4. — С. 494−501.
Романовский, Р.К. Метод Римана для гиперболических систем / Р. К. Романовский, Е В. Воробьева, Е. Н. Стратилатова. Новосибирск: Наука, 2007. — 172 с.
Романовский, Р.К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / Р. К. Романовский, О. Г. Жукова // Сиб. журн. индустр. матем. 2008 — Т 11, № 3(35).-С.119−125.
Соболев, С. Л. Локально-неравновесные модели процессов переноса / С Л. Соболев // Успехи физ. наук. 1997. — Т. 167, № 10. — С. 10 951 106.
Тихонов, А Н. Уравнения математической физики / А Н. Тихонов, А. А. Самарский. М.: Наука, 1999. — 736 с.
Чурашева, Н.Г. Матрицы Римана гиперболической системы уравнений теплопроводности. Случай анизотропного тела / Н. Г. Чурашева // Омский научный вестник. 2009. — № 3. — С. 29 — 33.
Чурашева, Н.Г. Граничное управление теплопереносом в анизотропном двумерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева // Омский научный вестник. 2010. — № 3. — С. 14−18.
Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление процессом распространения тепла в одномерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Депонир в ВИНИТИ 28.02.11. № 96 В-2011.
Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // ДАН. 2012. — Т. 446, № 2. — С. 138−141.
Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в одномерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения. 2012. — Т. 48, № 9. -С. 1256−1264.
Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в изотропном теле / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Докдады АН ВШ РФ. 2012. — Т. 19, № 2. С. 54−60.
Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в двумерном анизотропном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева // Вестник Омского университета. 2012. № 2. — С. 63−66.
Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в анизотропной пластинке / Н. Г. Чурашева // Прикладная математика и фундаментальная информатика: Сборник научных трудов под редакцией А. В. Зыкиной. Омск: Изд-во ОмГТУ. — 2012. — С. 37−41.
Чурашева, Н.Г. Оптимальное граничное управление теплопереносом в трехмерном материале. Гиперболическая модель / Н. Г. Чурашева, Р. К. Романовский // Дифференциальные уравнения, (в печати).
Шашков, А.Г. Волновые явления теплопроводности: Системно-структурный подход / А. Г. Шашков, В. А. Бубнов, С. Ю. Яновский. Минск: Наука и техника, 1993. — 279 с.
Эмануилов, О.Ю. Точная управляемость гиперболическими уравнениями. Ч. 1 / О.Ю. Эмануилов// Автоматика. 1990. — № 3. — С. 10−13.
Эмануилов, О.Ю. Граничная управляемость гиперболическими уравнениями /О.Ю. Эмануилов // Сибирский математический журнал. -2000. Т. 41, № 4, — С. 944−959.
Bardos, С. Sharp sufficient conditions for the observaton, control and stabilization of wave equation from the boundary / C. Bardos, G. Lebeau, J. Rauch // SIAM J. Control Optim. 1992. — V. 30, № 5. — P. 1024−1065.
Komornik, V. Exact controllability and stabilization / V. Komornik // Lecture Notes in Control and Inform. 1990. — V. 148. — P. 149−192.
Lions, J.-L. Controllabilite exacte des systemes distribues / J.-L. Lions // Acad. Sci. Ser I. Math. 1986. — № 302. — P. 471−475.
Lions, J.-L. Controllabilite exacte, stabilization et perturbation des systemes distribues / J.-L. Lions. -V. 1: Controllabilite exacte. Paris: Masson, 1988.
Lions, J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems / J.-L. Lions // SIAM Rev. 1988. — V. 30, № 1. — P. 1−68.
Tataru, D. Boundary controllability of conservative PDEs / D. Tataru // Appl. Math. Optim. 1995. — V. 31. — P. 257−295.

Заполнить форму текущей работой