Методы многомерной оптимизации: многомерная оптимизация методом Хука и Дживса

МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Отчет по лабораторной работе за курс:

«Теория оптимального планирования и управления»

кафедры 302

Тема

«Методы многомерной оптимизации: многомерная оптимизация методом Хука и Дживса»

Выполнила студентка

группы 03−323:

Ежова О.С.

Преподаватель:

Красовская М.А.

Москва

Постановка задачи

Найти методом Хука и Дживса с непрерывным шагом:

MIN F₁(x)= (Х₁-4)⁴ +(X₁-3 X₂)²,

с начальной точкой X₀=(1;0)

Предусмотреть ввод точности .

Провести: многомерный оптимизация дживс розенброк

1. Нахождение экстремума функции F₁(X) при различных значениях начальной точки;

2. Определение экстремума заданной функции при различных значениях точности (=0.01, =0.1, =0.001);

Алгоритм метода

Графики функции

Результаты работы программы

Начальная точка (1;0)

1) Начальная точка X₀ = [1;0]

Точность е = 0.1

Опт. значение аргумента (3,8826;1,3109)

Опт. значение функции 0,269 660 220 874 356

Кол-во итераций метода 3

2) Точность е = 0.01

Опт. значение аргумента (4,0037;1,3344)

Опт. значение функции 1,4 801 924 616 0121E-7

Кол-во итераций метода 3

3) Точность е = 0.001

Опт. значение аргумента (3,9957;1,3321)

Опт. значение функции 6,387 997 156 7203E-7

Кол-во итераций метода 3

Начальная точка (-2;2)

1) Точность е = 0.1

Опт. значение аргумента (3,7289;1,2470)

Опт. значение функции 0,554 697 770 081 615

Кол-во итераций метода 5

2) Точность е = 0.01

Опт. значение аргумента (3,9867;1,3287)

Опт. значение функции 2,1 760 924 199 8115E-7

Кол-во итераций метода 6

3) Точность е = 0.001

Опт. значение аргумента (3,9907;1,3305)

Опт. значение функции 5,7 392 449 263 5677E-7

Кол-во итераций метода 7

Начальная точка (4;2)

1) Точность е = 0.1

Опт. значение аргумента (4,5855;1,5198)

Опт. значение функции 0,118 199 132 492 491

Кол-во итераций метода 2

2) Точность е = 0.01

Опт. значение аргумента (4,5914;1,5296)

Опт. значение функции 0,122 304 388 908 469

Кол-во итераций метода 2

3) Точность е = 0.001

Опт. значение аргумента (4,0108;1,3372)

Опт. значение функции 6,237 550 527 5578E-7

Кол-во итераций метода 5

Листинг программы

unit Xuk;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids;

type

TForm1 = class (TForm)

Edit2: TEdit;

Edit4: TEdit;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label4: TLabel;

ComboBox1: TComboBox;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Label9: TLabel;

StringGrid1: TStringGrid;

Edit1: TEdit;

Edit6: TEdit;

Edit7: TEdit;

Button1: TButton;

Edit3: TEdit;

Label3: TLabel;

Edit5: TEdit;

Edit8: TEdit;

procedure FormCreate (Sender: TObject);

procedure Button1Click (Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

type Tper = class (TObject)

private

one:real;

two:real;

end;

procedure schityvanie;

function func (h:real):real;

procedure sechenie (var c: real);

var

Form1: TForm1;

alfa, t1, t2,x1,x2,e, F: real;

k, j, v, q: integer;

x, y, xp, d: Tper;

xstr, ystr, dstr: string;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1. FormCreate (Sender: TObject);

begin

ComboBox1.Items.Add ('(x1−2)^4+(x1−2*x2)^2');

ComboBox1.Items.Add ('4*x1+8*x2−2*x1²−2*x2²');

x:=Tper.Create;

xp:=Tper.Create;

y:=Tper.Create;

d:=Tper.Create;

end;

//считывание начальных значений

procedure schityvanie;

var

o, s, i, p: integer;

str, str1: string;

flaag:boolean;

begin

str1:='';

x.one:=0;

x.two:=0;

flaag:=true;

for o:=0 to 9 do

for s:=0 to Form1. StringGrid1.RowCount do

Form1.StringGrid1.Cells[o, s]: ='';

o:=0;

Form1.StringGrid1.RowCount:=10;

s:=2;

x.one:=StrToFloat (Form1.Edit2.Text);

x.two:=StrToFloat (Form1.Edit3.Text);

e:=StrToFloat (Form1.Edit4.Text);

j:=1;

Form1.stringgrid1.Cells[0,0]:='K';

Form1.stringgrid1.Cells[1,0]:='Xk/F (Xk)';

Form1.stringgrid1.Cells[2,0]:='j';

Form1.stringgrid1.Cells[3,0]:='dj';

Form1.stringgrid1.Cells[4,0]:='yj';

Form1.stringgrid1.Cells[5,0]:='shag';

Form1.stringgrid1.Cells[6,0]:='yj+1';

Form1.stringgrid1.Cells[7,0]:='d';

Form1.stringgrid1.Cells[8,0]:='shag';

Form1.stringgrid1.Cells[9,0]:='y3+shag*d';

end;

//вычисление значения функции

function func (h:real):real;

begin

If Form1. ComboBox1. Text='(x1−2)^4+(x1−2*x2)^2' then

func:=((y.one+h*d.one)-2)*((y.one+h*d.one)-2)*((y.one+h*d.one)-2)*((y.one+h*d.one)-2)+

((y.one+h*d.one)-2*(y.two+h*d.two))*((y.one+h*d.one)-2*(y.two+h*d.two))

else func:=4*(y.one+h*d.one)+8*(y.two+h*d.two)-2*(y.one+h*d.one)*(y.one+h*d.one)-2*(y.two+h*d.two)*(y.two+h*d.two);

end;

//метод золотого сечения

procedure sechenie (var c: real);

var

a, b, Fn, Fm, m, n:real;

begin

Fn:=0;

Fm:=0;

a:=StrToFloat (Form1.Edit5.Text);

b:=StrToFloat (Form1.Edit8.Text);

alfa:=0.618;

n:=a+(1-alfa)*(b-a);

m:=a+alfa*(b-a);

Fn:=func (n);

Fm:=func (m);

While (b-a)>=e do

begin

If Fn > Fm then

begin

a:=n;

n:=m;

Fn:=Fm;

m:=a+alfa*(b-a);

Fm:=func (m);

end

else

begin

b:=m;

m:=n;

Fm:=Fn;

n:=a+(1-alfa)*(b-a);

Fn:=func (n);

end;

end;

c:=(a+b)/2;

end;

//метод Хука и Дживса

procedure TForm1. Button1Click (Sender: TObject);

var

j, w, num:integer;

Shag, Zfun, per: real;

flag:boolean;

arg:string;

begin

q:=0;

k:=0;

num:=2;

j:=0;

Shag:=0;

schityvanie;

xstr:='['+FloatToStrF (x.one, ffFixed, 7,4)+';'

+ FloatToStrF (x.two, ffFixed, 7,4)+']';

y.one:=x.one;

y.two:=x.two;

Zfun:=func (0);

Form1.stringgrid1.Cells[1,2]: =FloatToStr (Zfun);

ystr:='['+FloatToStrF (x.one, ffFixed, 7,4)+';'

+ FloatToStrF (x.two, ffFixed, 7,4)+']';

flag:=false;

while not flag do

begin

for j:= 1 to num do

begin

w:=j mod 2;

inc (q);

case j of

1:

begin

d.one:=1;

d.two:=0;

end;

2:

begin

d.one:=0;

d.two:=1;

end;

end;

dstr:='['+FloatToStrF (d.one, ffFixed, 2,2)+';'

+ FloatToStrF (d.two, ffFixed, 2,2)+']';

sechenie (Shag);

If w <> 0 then

begin

inc (k);

Form1.stringgrid1.Cells[0,q]: =IntToStr (k);

Form1.stringgrid1.Cells[1,q]:=xstr;

end;

Form1.stringgrid1.Cells[2,q]:=IntToStr (j);

Form1.stringgrid1.Cells[3,q]:=dstr;

Form1.stringgrid1.Cells[4,q]:=ystr;

Form1.stringgrid1.Cells[5,q]:=FloatToStr (Shag);

y.one:=y.one+shag*d.one;

y.two:=y.two+shag*d.two;

ystr:='['+FloatToStrF (y.one, ffFixed, 7,4)+';'

+ FloatToStrF (y.two, ffFixed, 7,4)+']';

Form1.stringgrid1.Cells[6,q]: =ystr;

If q>9 then Form1. StringGrid1.RowCount:=Form1.StringGrid1.RowCount+1;

end;

xp.one:=x.one;

xp.two:=x.two;

x.one:=y.one;

x.two:=y.two;

Per:=sqr ((x.one-xp.one)*(x.one-xp.one)+(x.two-xp.two)*(x.two-xp.two));

If (per

else

begin

d.one:=x.one-xp.one;

d.two:=x.two-xp.two;

dstr:='['+FloatToStrF (d.one, ffFixed, 7,4)+';'

+ FloatToStrF (d.two, ffFixed, 7,4)+']';

sechenie (Shag);

y.one:=x.one+shag*d.one;

y.two:=x.two+shag*d.two;

ystr:='['+FloatToStrF (y.one, ffFixed, 7,4)+';'

+ FloatToStrF (y.two, ffFixed, 7,4)+']';

xstr:=ystr;

If w = 0 then

begin

Form1.stringgrid1.Cells[7,q]: =dstr;

Form1.stringgrid1.Cells[8,q]:=FloatToStr (Shag);

Form1.stringgrid1.Cells[9,q]:=ystr;

end;

If q>100 then

begin

flag:=true;

ShowMessage (`функция не оптимизируется');

end;

end;

If q>2 then

begin

Zfun:=func (0);

Form1.stringgrid1.Cells[1,q]: =FloatToStr (Zfun);

end;

end;

Form1.Edit1.Text:=FloatToStr (k);

Form1.Edit6.Text:='['+FloatToStrF (x.one, ffFixed, 7,4)+';'

+ FloatToStrF (x.two, ffFixed, 7,4)+']';

Form1.Edit7.Text:=FloatToStr (Zfun);

end;

end.

Сводные таблицы

Хук и Дживс

Розенброк

Выводы

В ходе лабораторной работы был изучен метод многомерной оптимизации Хука и Дживса с непрерывным шагом.

Метод относится к категории методов, в которых используется поиск по направлению. Алгоритмы, в которых используется такой поиск, называют алгоритмами ускоряющего шага. Каждая итерация этих алгоритмов состоит из двух этапов: поиск вдоль координатных осей, или, исследующий поиск; поиск по образцу, или ускоряющий шаг.

Была написана программа и с помощью неё изучена функция

F (X) = (Х₁-4)⁴ +(X₁-3X₂)²

Для наглядности результатов были проварьированы точность (основное значение критерия остановки) и начальная точка.

Были сделаны следующие выводы:

— количество итераций увеличивается с увеличением точности

— количество итераций увеличивается в зависимости от удаленности начальной точки от оптимального решения.

Экспериментальное сравнение алгоритмов Хука-Дживса и Розенброка по числу вычислений и по числу вызова оптимизируемой функции в процессе оптимизации показывает в пользу алгоритма Розенброка. Но в методе Розенброка вычислительные затраты идут на пересчет системы ортогональных направлений.