Портфель рискованных активов. 
Множество инвестиционных возможностей. 
Эффективная граница

Задание 1

Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями = 10%, = 20%, = 30%, ковариационная матрица доходностей этих активов равна:

? =.

• 1) Найти портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности, если
• а) короткие продажи разрешены
• б) короткие продажи запрещены

Определить ожидаемую доходность и среднеквадратическое отклонение доходности найденного портфеля.

Решение а) короткие продажи разрешены;

Рассматривается задача отыскания портфеля ценных бумаг с наименьшим риском при разрешенных коротких продажах (- любое).

Решение данной задачи при разрешенных коротких продажах сводится к решению следующей задачи:

— любое, i=1,2,3.

Функция является положительной, квадратичной, а, следовательно, является выпуклой. Таким образом, рассматриваемая задача относится к задачам нелинейного квадратичного программирования.

Решение подобного рода задачи включает два этапа:

1. Составим функцию Лагранжа:

), где.

.

где — дисперсия доходности ценной бумаги i — ого вида, i = 1,2, … n.

— ковариация между доходностями ценных бумаг i — ого и j — ого видов.

2. Необходимым и достаточным условием существования минимума данной функции являются:

В общем случае система имеет вид:

Решение этой системы является вектором, соответствующим портфелю с наименьшим риском.

Таким образом, определим портфель ценных бумаг с наименьшим риском при разрешенных коротких продажах для рассматриваемой задачи:

Функция Лагранжа имеет вид:

Разрешим данную систему методом Гаусса:

b.
0,2.		0,2.
	0,2.	— 0,2.
0,2.	— 0,2.	0,5.
b.
	1/5.	— 1/5.
	— 1/5.	3/10.
			— 5.
b.
		— 1.
		1/10.
			— 10.
b.
			— 5.
			— 20.
b.
				— ¼.
				¾.
				1/ 2.
				— 1/20.

Таким образом, портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности при разрешенных коротких продажах имеет вид:

=.

Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг является линейной комбинацией ожидаемых доходностей ценных бумаг, входящих в этот портфель, то есть:

Для рассматриваемого случая:

Дисперсия доходности портфеля определяется следующим равенством:

.

где — дисперсия доходности ценной бумаги i — ого вида, i = 1,2, … n.

— ковариация между доходностями ценных бумаг i — ого и j — ого видов Среднеквадратическое отклонение доходности портфеля определяется по формуле:

Таким образом, для рассматриваемой задачи имеем:

Ответ: портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности, то есть с наименьшим риском, при разрешенных коротких продажах имеет вид:

= ;

ожидаемая доходность найденного портфеля ценных бумаг: ;

среднеквадратическое отклонение доходности портфеля: .

б) короткие продажи запрещены.

Рассмотрим случай, когда короткие продажи запрещены (:

где — дисперсия доходности ценной бумаги i — ого вида, i = 1,2, … n.

— ковариация между доходностями ценных бумаг i — ого и j — ого видов.

При запрещенных коротких продажах портфель ценных бумаг не менее рискован. Отыскание портфеля с наименьшим риском в случае, когда короткие продажи запрещены, сводится к решению задачи:

Необходимо привести задачу к стандартному виду (все условия должны быть записаны в виде неравенств типа (?0), а условие неотрицательности должно быть наложено на все переменные):

Исключим выражение из выражения. То есть выражение примет вид:

Стандартная задача квадратичного программирования имеет вид:

Составим функцию Лагранжа.

Минимум функции Лагранжа достигается, если.

(*).

Решение задачи (*) сводится к решению ЗЛП:

где — искусственные переменные, z — дополнительная переменная.

— если оптимальное решение задачи не содержит сопряженных базисов.

Решение этой системы является вектором, соответствующим портфелю с наименьшим риском.

Таким образом, определим портфель ценных бумаг с наименьшим риском при запрещенных коротких продажах для рассматриваемой задачи:

=0,15*.

Функция Лагранжа имеет вид:

0,15*.

Задача линейного программирования имеет вид:

Полученную систему решим симплекс-методом:

Итак, имеем:

• 1) Все оценки векторов — условий в (m+1) строке неположительны.
• 2) Целевая ячейка равна 0.
• 3) Искусственные переменные y1 y2 не входят в базис (следовательно, этим искусственным переменным будут соответствовать нулевые координаты).
• 4) Условия сопряженности: выполнены.

Тогда оптимальное решение m-задачи имеет вид:

(0; 7/11; 0; 1/55; 0; 0; 0; 4/11).

Таким образом, получаем, что портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности, то есть с наименьшим риском, при запрещенных коротких продажах имеет вид: = (0; 0,636 364;0,363 636).

Для рассматриваемой задачи получим:

Таким образом, получили, что портфель ценных бумаг с наименьшей дисперсией доходности, то есть с наименьшим риском, при запрещенных коротких продажах имеет вид: = (0; 0,636 364;0,363 636).

Ожидаемая доходность найденного портфеля ценных бумаг.

Среднеквадратическое отклонение доходности портфеля.

Задание 2.

Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями = 10%, = 20%, = 30%, ковариационная матрица доходностей этих активов равна:

? =.

Задана ожидаемая доходность портфеля R = 25%.

Найти портфель ценных бумаг с наименьшей и наибольшей дисперсией доходности при заданной ожидаемой доходности портфеля R.

Решение Решение данной задачи при разрешенных коротких продажах сводится к решению следующей задачи:

— любое, i=1,2,3.

.

Составим систему уравнений:

->min.

Из уравнений (2) и (3) найдем:

— 0,5.

0,1*(x-0,5)^2+0,1*(1,5−2*x)^2+0,25*(x)^2+0,2*(x-0,5)*x-0,2*(1,5−2*x)*x.

Подставим в (1).

=.

Тогда.

f=.

f'=.

=0,407 407.

Рассмотрим случай, когда короткие продажи разрешены (:

=0,407 407.

— 0,5= - 0,9 259.

=0,685 185.

: =.

0,161 015.

Ответ:; 0,161 015- портфель с наименьшим риском при фиксированной доходности 25%, короткие продажи разрешены.

Рассмотрим случай, когда короткие продажи запрещены.

Ответ:

; - портфель с наибольшим риском при фиксированной доходности 25%, короткие продажи запрещены.

; - портфель с наименьшим риском при фиксированной доходности 50%, короткие продажи запрещены.

Задание 3.

Даны ценные бумаги трех видов с ожидаемыми доходностями = 10%, = 20%, = 30%, ковариационная матрица доходностей этих активов равна:

? =.

Найти множество портфелей, определяющих эффективную границу множества инвестиционных возможностей при использовании данных ценных бумаг, записать уравнение эффективной границы, если:

а) Короткие продажи разрешены.

Так как короткие продажи разрешены, — любое. Для нахождения множества портфелей, определяющих эффективную границу множества инвестиционных возможностей необходимо решить систему:

Составим функцию Лагранжа:

ценный бумага инвестиционный доходность.

По теореме Куна-Таккера получим:

Решим данную систему методом Гаусса:

Таким образом, получаем:

— множество портфелей с наименьшим риском.

Для получения уравнения границы инвестиционных возможностей подставим координаты в :

Далее найдем уравнение, определяющее множество инвестиционных возможностей :

где.

.

.

.

Из положительной квадратичной функции.

следует, что, А > 0, C > 0 и B2 — 4AC < 0.

В нашем случае:

Тогда.

A = 1,481 481.

B = -0,81 481.

C = 0,137 037.

xв=-b/2a=0,275.

При 0,275.

).

Найдем портфель с наименьшим риском:

— 0,25 0,750,5.

Ответ:

Множество портфелей, определяющих эффективную границу множества при разрешенных коротких продажах имеет вид:

Портфель с наименьшим риском при: -0,25 0,750,5;

Уравнение эффективной границы множества инвестиционных возможностей при разрешенных коротких продажах имеет вид:

при.

а) Короткие продажи запрещены.

Так как короткие продажи запрещены:. Эффективная граница множества инвестиционных возможностей определяется множеством портфелей с наименьшем риском при заданной доходности, т. е.:

.

Предварительно находим характеристики портфеля с наименьшим риском:

;

Множество портфелей с наименьшим риском при заданной доходности находится из решения системы:

В рамках нашей задачи система имеет вид:

Составим функцию Лагранжа:

По теореме Куна-Таккера получим:

Базис оптимального решения задачи не должен содержать сопряженных векторов-условий, т. е. в базис не должны входить одновременно векторы соответствующие и .

Используя полученную систему, построим множество портфелей с наименьшим рисков при заданной доходности, определяющее эффективную границу.

" Вычеркнем" из таблицы векторы и и получим:

O1.	O2.	O3.	?1.	?2.	?3.	a.	b.
0,4.	— 0,6.	1,1.	— 1.		— 1.
0,1.	0,2.	0,3.
— 0,4.	0,6.	— 1,1.		— 2.
0,1.	0,2.	0,3.
— 1.		— 1,7.		— 2.		— 0,6.
— 0,1.		0,1.				— 0,2.
— 2,7.				— 2.		— 4.
							— 10.
— 1.						— 2.

Таким образом, получаем:

Определим множество :

— множество портфелей с наименьшим риском на множестве .

Для получения уравнения границы инвестиционных возможностей подставим координаты в :

3,1.

— 26.

Тогда уравнение эффективной границы на множестве примет вид:

Ответ:

Множество портфелей, определяющих эффективную границу множества при запрещенных коротких продажах имеет вид:

.

Эффективная граница множества инвестиционных возможностей при запрещенных коротких продажах имеет вид: